Операции над множествами

Пусть $$А$$ и $$В$$ – два множества. Тогда над ними определена операция $$\cup$$ - операция объединения: $$С = А \cup B$$ . Множество $$С$$ содержит элементы множеств $$А$$ и $$В$$.

Пример:

$$А = \{a, b, c\};\ B = \{d, e, f\};\ C = A \cup B=\{a,b,c,d,e,f\}$$

Пример:

$$А = \{a, b, c\};\ B = \{d, c, f\};\ C = A \cup B=\{a,b,c,d,f\}$$

Пример:

$$А = \{a, b, c\};\ B = \{\{d,e\}, \{1, 2, 3\}\}; C = A \cup B=\{a,b,c,\{d,e\},\{1,2,3\}\}$$

Пусть $$А$$ и $$В$$ – два множества. Тогда над ними определена операция $$\cap$$ - операция пересечения: $$С = А \cap B$$ . Множество $$С$$ содержит только те элементы множества $$А$$, которые содержатся в $$В$$, то есть элементы, принадлежащие обоим множествам.

Пример:

$$А = \{a, b, c\};\ B = \{d, e, f\};\ C = А \cap B=\varnothing$$

Пример:

$$А = \{a, b, c\};\ B = \{b, c, f\};\ C = А \cap B= \{b,c\}$$

Пример:

$$А = \{a, b, c\};\ B = \{\{d, e\},\{1,2,3\}\};\ C = А \cap B=\varnothing$$

Операции объединения и пересечения можно определить для произвольного числа аргументов.

Пусть $$А$$ и $$В$$ – два множества. Тогда над ними определена операция $$\setminus$$ - операция разности: $$С = А \setminus B$$ . Множество $$С$$ содержит только те элементы множества $$A$$, которые не содержатся в $$В$$.

Пример:

$$А = \{a, b, c\};\ B = \{d, e, f\};\ C = A \setminus B=A$$

Пример:

$$А = \{a, b, c\};\ B = \{b, c, f\};\ C = A \setminus B= \{a\}$$

Пример:

$$А = \{a, b, c\};\ B = \{\{d,e\}, \{1, 2, 3\}\};\ C = A \setminus B=A$$

Пусть $$А$$ и $$В$$ – два множества. Тогда над ними определена операция $$\times$$ - операция декартова произведения двух множеств: $$С = А \times B$$. Множество $$С$$ содержит элементы, каждый из которых представляет пару $$<a, b>$$, где $$a$$ – элемент множества $$А$$, $$b$$ – элемент множества $$В$$.

Пример:

$$А = \{a, b\};\ B = \{d, e\};\ C = А \times B = \{<a, d>, <a, e>, <b, d>, <b, e>\} $$

Пример:

$$А = \{a, b\};\ B = \{b, f\};\ C = А \times B = \{<a, b>, <a, f>, <b, b>, <b, f>\}$$

Пример:

$$А = \{a, b\};\ B = \{\{d,e\}, \{1, 2\}\};\ C = А \times B = \{<a, \{d, e\}>, <a, \{1, 2\}>, <b, \{d, e\}>, <b, \{1, 2\}>\}$$

Заметим, что в частном случае, когда множества $$А$$ и $$В$$ эквивалентны:

$$C = A \cup A;\ C = A \capA; \ C = A \setminus A= \varnothing $$

$$C = А \times A = A^2$$ – декартова степень множества – множество мощности $$n^2$$, где $$n$$ – мощность множества $$А$$, состоящее из пар элементов $$А$$.