Множества

Множества

Начнем рассмотрение с понятия "множество элементов" или просто "множество". Это основное понятие, которое нельзя определить через другие базовые понятия. Содержательно под множеством понимается некоторая совокупность элементов, объединенных по некоторому принципу. Например, можно говорить о "множестве людей", "множестве машин", "множестве учеников 10 А класса", "множестве целых чисел". Множества бывают конечными, как например, множество учеников 10 А класса, или бесконечными, как, например, множество целых чисел.

Задать множество можно, указав какие элементы принадлежат множеству. Если множество конечно и имеет небольшое число элементов, то можно просто перечислить эти элементы, заключив перечисление в фигурные скобки.

Пример 1

$$X = \{0, 1, 2, 3\}$$- конечное множество из четырех элементов – начального отрезка натуральных чисел.

Иногда при перечислении используется двоеточие между начальными и конечными элементами множества.

Пример 2

$$Y = \{1 .. 100\}$$ – множество целых чисел от 1 до 100.

Пример 3

$$М = \{ Январь .. Декабрь\}$$ - множество из 12 элементов, представляющих названия месяцев года.

Часто множество задается указанием свойства, характерного для его элементов. Свойство задается после вертикальной черты, отделяющей имя элемента от описания свойства.

Пример 4

$$К = \{x | 100 < x < 200\}$$ – множество целых чисел, больших 100 и меньших 200.

Пример 5

$$O = \{ x | x = 2 * i + 1, i = 0 .. n\}$$ – множество нечетных чисел.

Элементы множества и само множество связаны отношением "принадлежит". Тот факт, что элемент $$x$$ принадлежит множеству $$A$$, будем записывать следующим образом: $$x \in A$$. Тот факт, что элемент $$x$$ не принадлежит множеству, записывается так:$$x \notin A$$.

Два множества могут быть связаны отношением "содержится". Множество $$A$$ содержится в множестве $$B$$, если все элементы из $$А$$ принадлежат множеству $$В$$. В этом случае говорят, что $$А$$ – подмножество $$В$$ и записывают это следующим образом: $$A \subseteq B$$. Если для множеств $$A$$ и $$B$$ выполняются соотношения: $$A \subseteq B$$ и $$B \subseteq A$$ то множества $$А$$ и $$В$$ совпадают, считаются эквивалентными, что записывается обычным равенством: $$А = В$$.

Если $$A \subseteq B$$ и $$А \ne В$$, то $$А$$ называется собственным подмножеством $$В$$, что записывается так: $$A \subset B$$

Множества характеризуется таким параметром как мощность множества. Для конечных множеств его мощность – это число его элементов, для бесконечных множеств мощность задается специальными символами. Различают мощность счетного множества – множества, элементы которого можно перечислять, и мощность несчетных множеств. Примерами счетных множеств являются множество натуральных чисел и множество целых чисел, примером несчетного множества – множество вещественных чисел.

Если $$X$$ – некоторое множество, то с ним можно связать множество всех подмножеств $$X$$. Такое множество обозначается как $$2^X$$. Его элементами являются подмножества множества $$X$$. Принято считать, что подмножеством каждого множества является пустое множество – множество, не содержащее элементов. Пустое множество обозначается символом $$\varnothing$$.

Если $$X$$ – конечное множество мощности $$n$$, то мощность множества $$2^X$$ равна $$2^n$$.

Пример:

Пусть $$X = \{a, b, c\}$$- множество мощности 3 из трех элементов.

Тогда $$2^X = \{ \varnothing, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\}\}$$- множество мощности $$2^3$$ из восьми элементов, каждый из которых является множеством – подмножеством $$X$$.