Введение в логику

Математическая логика

Показывать лекцию целиком
Записаться

Логика, которой мы пользуемся в повседневной жизни, имеет свои законы. Чтобы прийти в своих рассуждениях к правильным выводам, наши рассуждения должны соответствовать законам логики. Математическая логика – это наука о выводах, позволяющая формализовать рассуждения.

Поскольку рассуждения могут быть самыми разными – простыми и сложными, то их формализация требует разных подходов. Поэтому математическая логика это сложная математическая дисциплина, в которой выделяются различные части:

  • логика высказываний;
  • логика предикатов;
  • темпоральная логика – формализация рассуждений, учитывающих, что события происходят в разные моменты времени;
  • модальная логика – формализация рассуждений, учитывающих возможности появления тех или иных событий.
    •

    Логика высказываний

    Логика высказываний – простейший, но крайне важный фрагмент математической логики. Именно он изучается в рамках школьной программы. Логика высказываний, как следует из названия, занимается формализацией высказываний. Под высказыванием понимается утверждение, отвечающее закону "исключающего третьего", - оно либо истинно, либо ложно. При формализации – высказыванию ставится в соответствие логическая переменная, которая может принимать только два значения. Эти два возможных значения в разных контекстах обозначаются по-разному – Истина и Ложь, true и false, 1 и 0, T и F. Именования значений могут быть разными, но смысл всегда один и тот же. Одно значение интерпретируется как истина, другое – ложь.

    При рассуждениях мы используем так называемые "логические связки:

  • Союзное слово "И", связывающее два высказывания, означает, что высказывание А И В истинно тогда, и только тогда, когда истинны оба высказывания - и "А", и "В". В логике высказываний две переменные А и В могут быть связаны операцией "И". Результат этой операции есть Истина, тогда и только тогда, когда значение Истина имеют обе переменные. Так что операция "И" в логике высказываний соответствует логической связке – союзу И, который мы используем при рассуждениях в повседневной жизни. Операция "И" в логике высказываний имеет много разных имен и обозначений – конъюнкция, логическое умножение, $$, \wedge , And$$. Имена могут быть разными, - смысл (семантика) операции всегда один и тот же. В повседневной жизни вместо "И" могут применяться и другие связки, имеющие тот же смысл. Пример высказывания: "Петя силен в математике и в информатике". Тот же смысл имеет и высказывание "Петя силен как в математике, так и в информатике". При формализации этому высказыванию может соответствовать запись: $$X1 X2$$, где истинность $$X1$$ содержательно означает истинность высказывания – "Петя силен в математике". Аналогично интерпретируется и переменная $$X2$$. В другом контексте формальная запись может иметь вид $$X1 And X2$$, смысл записи от этого не изменится.
  • Другая, не менее часто используемая связка, задается союзным словом "ИЛИ". В повседневной жизни эта связка может интерпретироваться по-разному. Суждение А ИЛИ В может быть истинным, когда истинно или "А", или "В", или как "А", так и "В". Пример высказывания: "Летом Петя обязательно посетит Москву или Питер". В этом высказывании посещение Москвы не исключает посещения Питера. Если же рассмотреть высказывание "Петя будет учиться в Москве или в Питере", то оно интерпретируется однозначно – Петя собирается учиться либо в Москве, либо в Питере, но не в обоих городах сразу. Для повседневной речи в связке "ИЛИ" есть некоторая неопределенность. В логике высказываний неопределенности нет, поскольку здесь определены две различные операции – операция "ИЛИ" и "Исключающее ИЛИ". У первой операции несколько синонимичных наименований – дизъюнкция, логическое сложение, $$|, \vee , OR$$. Исключающее ИЛИ называют еще сложением по модулю 2. Для операции используется обозначение XOR или символ $$\oplus$$.Формальная запись первого высказывания о намерениях Пети может задаваться формулой логики высказывания $$X1\ OR\ X2$$, второго высказывания - $$X1\ XOR\ X2$$ с соответствующей интерпретацией переменных $$X1$$ и $$X2$$.
  • Слова "Не", "Нет", "Неправда", "Неверно" используются в повседневной речи для отрицания истинности некоторого высказывания. В логике высказываний есть соответствующая операция отрицания "НЕ", для которой используются и другие обозначения $$- \sim,\neg, !, NOT$$. Операцию отрицания называют еще инверсией.
  • Когда нужно выразить тот факт, что два высказывания утверждают одну и ту же истину, обычно говорят – "это одно и то же" или "нет разницы". В логике высказываний соответствующая операция называется привычным для математиков термином – "Равно", "Тождественно" или "Эквивалентно". Для этой операции чаще всего используется знаки: $$=, ==, \leftrightarrow$$ или $$\equiv$$.
  • Еще одна, крайне важная для рассуждений, логическая связка передается в повседневной жизни сочетаниями: "если А, то В" или "А влечет В", "из А следует В". В математической логике соответствующая операция называется импликацией, операцией следования, для которой обычно используется знак $$\to$$ или $$\Rightarrow$$.
    •

    Цепочку рассуждений, основанных на высказываниях, можно записать в виде некоторой формулы логики высказываний. Формулы логики высказываний строятся из логических переменных, логических констант (True и False), логических функций, частным случаем которых являются рассмотренные нами операции – конъюнкция, дизъюнкция, импликация и другие операции, а также скобок, управляющих порядком вычисления формулы.

    О формулах логики высказываний мы еще будем подробно говорить в последующих уроках.

    Предыдущее занятие Следующее занятие
    Вернуться к учебному плану
    ^