Функции

Дадим теперь определение понятия "функция". Начнем с частного, но важного случая функций, действующих из $$А$$ в $$В$$.

Если мы понимаем, что такое отношение, то понять, что такое функция совсем просто. Функция – это частный случай отношения. Каждая функция является отношением, но не каждое отношение является функцией. Какие же отношения являются функциями? Какое дополнительное условие должно выполняться, чтобы отношение являлось функцией?

Вернемся к рассмотрению отношения $$R$$, действующего из области определения $$А$$ в область значений $$В$$. Рассмотрим элемент $$x$$ из $$А$$. Этому элементу соответствует в $$В$$ элемент $$y$$, такой, что пара $$<x, y>$$ принадлежит $$R$$, что часто записывают в виде: $$xRy$$ (например, $$5 > 3$$). Отношению $$R$$ могут принадлежать и другие пары, первым элементом которых может выступать элемент $$x – (xRz, xRu, xRv)$$. Для функций такая ситуация невозможна.

Функция – это отношение $$R$$, в котором элементу $$x$$ из области определения соответствует единственный элемент $$y$$ из области значений.

Пример:

Отношение "иметь брата", представленное на рис.1, функцией не является. Из точки $$Е$$ в области определения идут две дуги в разные точки области значений, следовательно это отношение функцией не является. Содержательно, Елена имеет двух братьев, так что однозначного соответствия между элементом $$x$$ из $$А$$ и элементом $$y$$ из $$В$$ нет.

Если же рассмотреть отношение на тех же множествах "иметь старшего брата", то такое отношение функцией является. У каждого человека братьев может быть много, но только один из них является старшим братом. Функциями являются и такие родственные отношения как "отец" и "мать".

Обычно, когда речь идет о функциях, то для общего обозначения функции используется буква $$F$$, а не $$R$$, как в случае отношений, и общая запись имеет привычный вид: $$y = F(x)$$.

Пример:

Рассмотрим хорошо известную функцию $$y = Sin(x)$$. Областью определения этой функции является вся действительная ось: $$x \in (- \infty, +\infty)$$. Область значений функции замкнутый интервал на действительной оси: $$y \in [-1,+1} $$ . График этой функции синусоида, каждой точке на оси $$X$$ соответствует единственная точка графика $$y = Sin(x)$$.

Взаимно однозначная функция

Пусть отношение $$R$$ задает функцию $$F$$. Что можно сказать об обратном отношении $$R^{-1}$$? Является ли оно также функцией? Совсем не обязательно. Рассмотрим примеры отношений, являющихся функциями.

Для отношения "имеет старшего брата" обратное отношение – это отношение "имеет брата или сестру". Конечно же, это отношение функцией не является. У старшего брата может быть много сестер и братьев.

Для отношений "отец" и "мать" обратным отношением является отношение "сын или дочь", которое также не является функцией, поскольку детей может быть много.

Если рассмотреть функцию $$у = Sin(x)$$, то обратное отношение $$x = Arcsin(y)$$ функцией не является, поскольку одному значению $$y$$ соответствует сколь угодно много значений $$x$$. Чтобы рассматривать отношение $$Arcsin$$ как функцию приходится ограничивать возможные значения $$x$$. Отношение $$Arcsin$$ является функцией, если $$y \in [-1,+1]$$, а $$x \in \left [- \frac{ \pi}{2}, +\frac{ \pi}{2} \right ]$$

Взаимно однозначные функции называют также $$1-1$$ функциями.

Бинарное отношение из $$А$$ в $$В$$ задает функцию с одним аргументом. Отношение арности $$n$$ задает функцию с $$n – 1$$ аргументами. Понятно, чтобы $$n+1$$-арное отношение представляло функцию от n аргументов, необходимо, чтобы кортежу из $$n$$ элементов соответствовал единственный элемент в области значений функции. Функция, у которой $$n$$ аргументов, записывается в привычном виде:

$$Y = F(X_1, X_2, … X_n)$$