Системы линейных уравнений. Их решение. Системы линейных уравнений. Виды

Основные определения

В общем случае линейная система, составленная из К линейных уравнений относительно n неизвестных примет вид:$$\left. \begin{gathered} a_{11}x_1+a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \ldots \\ a_{k1}x_1+a_{k2}x_2 + \ldots + a_{kn}x_n = b_k \end{gathered} \right\}$$ где x1, x2, ..., xn - неизвестные; a11, a12, ..., akn - коэффициенты при неизвестных; b1, b2, ..., bk - свободные члены.

Определение 1. Решением системы (1) называется совокупность из n чисел (с1, с2, ..., сn), которые, будучи подставленными в систему (1) на место неизвестных x1, x2, ..., xn, обращают все уравнения системы в истинные равенства.

Не всякая система вида (1) имеет решение. Например, очевидно, что система$$\left. \begin{aligned} 3x_1+4x_2=7 \\ 3x_1+4x_2=12 \end{aligned} \right\}$$ не имеет ни одного решения. А вот система$$\left. \begin{aligned} 3x_1+4x_2=7 \\ 3x_1+4x_2=7 \end{aligned} \right\}$$ имеет бесконечное множество решений. Поэтому, прежде чем начать решать составленную систему, необходимо выяснить, есть ли вообще решение. Это необходимо делать хотя бы потому, что в общем случае поиск решения системы уравнения оказывается долгим и сложным делом.

Определение 2. Систему уравнений (1), имеющую хотя бы одно решение, называют совместной, систему, не имеющую решений, - несовместной.

Определение 3. Решения $$\left( c_1^{(1)}, c_2^{(1)}, \ldots c_n^{(1)} \right)$$ и $$\left( c_1^{(2)}, c_2^{(2)}, \ldots c_n^{(2)} \right)$$ считают различными, если хотя бы одно из чисел $$c_i^{(1)}$$ не совпадает с соответствующим числом $$c_i^{(2)}$$.

Например, система$$\left. \begin{aligned} 3x_1+4x_2=0 \\ 6x_1+8x_2=0 \end{aligned} \right\}$$ имеет различные решения $$c_1^{(1)}=c_2^{(1)}=0$$ и $$c_1^{(2)}=4; \; c_2^{(2)}=-3$$. Системы, имеющие хотя бы 2 различных решения, имеют бесконечное количество разных решений.

Определение 4. Если совместная система имеет единственное решение, то она называется определенной ; если совместная система имеет по крайней мере два различных решения, то она называется неопределенной.

Решение системы линейных уравнений

Чтобы выяснить имеет ли составленная система решение или нет, а, если имеет решение, то их количество, применяют следующую теорему.

Теорема 1. Если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, то такая система совместна и имеет хотя бы одно не нулевое решение.

Пример. Определить совместность системы$$\left. \begin{aligned} 3x_1+4x_2=7 \\ 3x_1+4x_2=12 \end{aligned} \right\}.$$

Решение. Составим матрицу системы $$\begin{pmatrix} 3 4 \\ 3 4 \end{pmatrix} $$ и определим ее ранг (т.е. число независимых строк или столбцов:$$rang \begin{pmatrix} 3 4 \\ 3 4 \end{pmatrix} =rang \begin{pmatrix} 3 4 \end{pmatrix} =1$$

Составим расширенную матрицу системы$$\left( \begin{aligned} 3 4 \\ 3 4 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} 7 \\ 12 \end{aligned} \right)$$ и определим ее ранг (т.е. число независимых строк или столбцов:$$rang \left( \begin{aligned} 3 4 \\ 3 4 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} 7 \\ 12 \end{aligned} \right) =2$$

Как видим, ранг обычной матрицы не равен рангу расширенной, следовательно системы несовместна, т.е. не имеет ни одно решения.

Пример. Определить совместность системы$$\left. \begin{aligned} 3x_1+4x_2=7 \\ 3x_1+4x_2=7 \end{aligned} \right\}.$$

Решение. Составим матрицу системы$$\begin{pmatrix} 3 4 \\ 3 4 \end{pmatrix}$$ и определим ее ранг (т.е. число независимых строк или столбцов:$$rang \begin{pmatrix} 3 4 \\ 3 4 \end{pmatrix} =rang \begin{pmatrix} 3 4 \end{pmatrix} =1$$

Составим расширенную матрицу системы$$rang \left( \begin{aligned} 3 4 \\ 3 4 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} 7 \\ 7 \end{aligned} \right)$$ и определим ее ранг (т.е. число независимых строк или столбцов:$$rang \left( \begin{aligned} 3 4 \\ 3 4 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} 7 \\ 7 \end{aligned} \right) =rang \left( \begin{aligned} 3 4 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} 7 \end{aligned} \right) =1$$

Как видим, ранг обычной матрицы равен рангу расширенной, следовательно системы совместна, т.е. имеет хотя бы одно решение.

Заметим, что положительный ответ на вопрос "совместна ли система?" не гарантирует единственность возможного решения.

Виды систем линейных уравнений.

Определение 5. Если система$$\left. \begin{gathered} a_{11}x_1+a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = 0 \\ \ldots \\ a_{k1}x_1+a_{k2}x_2 + \ldots + a_{kn}x_n = 0 \end{gathered} \right\}$$ совместна, то она имеет бесконечное множество ненулевых (невырожденных) решений и называется однородной системой.

Однородная система всегда совместна и всегда имеет хотя бы одно нулевое решение.

Определение 6. Если система имеет единственное нулевое решение, то такая система называется вырожденной.

Определение 7. Если система имеет количество уравнений меньшее, чем количество неизвестных, то такая система называется недоопределенной, а если количество уравнений больше, чем количество неизвестных, то – переопределенной.

Матрицы таких систем (недоопределенной и переопределенной) как правило прямоугольные. Решаются такие системы специальными методами, относящимися к разделу линейного программирования.