Матричная запись системы. Метод Гаусса. Метод Крамера. Матричный способ

Правило Крамера

Основные задачи изучения системы (3.1), лекции 3:

Далее рассмотрим, в частности, систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными.$$\left\{ \begin{aligned} a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_1 \\ a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=b_2 \\ a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=b_3 \end{aligned} \right.$$

Составим из коэффициентов при неизвестных системы (4.2) определитель этой системы$$\Delta= \begin{vmatrix} a_{11} a_{12} a_{13} \\ a_{21} a_{22} a_{23} \\ a_{31} a_{32} a_{33} \end{vmatrix}.$$

Умножим обе части первого уравнения почленно на алгебраическое дополнение А11 элемента а11, второе уравнение - на алгебраическое дополнение А21 элемента а21, а третье - на алгебраическое дополнение А31 элемента а31.$$\left\{ \begin{aligned} a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_1 \\ a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=b_2 \\ a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=b_3 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} A_{11} \\ A_{21} \\ A_{31} \end{aligned} \right.$$

Сложим все три полученных уравнения, умножив предварительно на соответствующие алгебраические дополнения, получим$$\begin{gathered} (a_{11}A_{11}+a_{21}A_{21}+a_{31}A_{31})x + (a_{12}A_{11}+a_{22}A_{21}+a_{32}A_{31})y + \\ +(a_{13}A_{11}+a_{23}A_{21}+a_{33}A_{31})z = b_1 A_{11}+b_2 A_{21}+b_3 A_{31} . \end{gathered}$$

Коэффициенты при y и z в силу свойства определителя (см. лекц. 1, теорема 2) равны нулю, а коэффициент при х на основании тех же свойств (см. лекц. 1, теорема 1) равен $$\Delta$$, т.е. $$a_{11}A_{11}+a_{21}A_{21}+a_{31}A_{31}=\Delta$$, поэтому равенство (4.3) примет вид:$$\Delta x = \Delta_x ,$$ $$\text{где} \quad \Delta_x= \begin{vmatrix} b_1 a_{12} a_{13} \\ b_2 a_{22} a_{23} \\ b_3 a_{32} a_{33} \end{vmatrix} =b_1 A_{11}+b_2 A_{21}+b_3 A_{31} .$$

Заметим, что определитель $$\Delta _{х}$$ получается из определителя $$\Delta$$ путем замены коэффициентов а11, а21, а31 при неизвестном х свободными членами или замены первого столбца $$\Delta$$ коэффициентов при искомом х столбцом свободных членов. Аналогично получаются другие равенства:$$\Delta y = \Delta_y , \quad \Delta z = \Delta_z ,$$ $$\text{где} \quad \Delta_y \begin{vmatrix} a_{11} b_1 a_{13} \\ a_{21} b_2 a_{23} \\ a_{31} b_3 a_{33} \end{vmatrix}; \Delta_z \begin{vmatrix} a_{11} a_{12} b_1 \\ a_{21} a_{22} b_2 \\ a_{31} a_{32} b_3 \end{vmatrix}.$$

Определители $$\Delta _{y}$$ и $$\Delta _{z}$$ получают из определителя системы $$\Delta$$ заменой второго и третьего столбцов $$\Delta$$ коэффициентов при y и z столбцом свободных членов.

Рассмотрим следующие случаи.

Пример 1. Решить систему$$\left\{ \begin{aligned} 2x-4y+z=3 \\ x-5y+3z=-1 \\ x-y+z=1 \end{aligned}. \right.$$

Решение. Вычислим все определители.$$\Delta= \begin{vmatrix} 2 -4 1 \\ 1 -5 3 \\ 1 -1 1 \end{vmatrix} =-8; \quad \Delta_x= \begin{vmatrix} 3 -4 1 \\ -1 -5 3 \\ 1 -1 1 \end{vmatrix} =-16; \quad \Delta_y= \begin{vmatrix} 2 3 1 \\ 1 -1 3 \\ 1 1 1 \end{vmatrix} =0; \quad \Delta_z= \begin{vmatrix} 2 -4 3 \\ 1 -5 -1 \\ 1 -1 1 \end{vmatrix} =8.$$

Так как $$\Delta = -8 \ne 0$$, то данная система имеет единственное решение, которое найдем по формулам Крамера (4.7):$$x=\frac{\Delta_x}{\Delta}=\frac{-16}{-8}=2;\;y=\frac{\Delta_y}{\Delta}=\frac{0}{-8}=0;\;z=\frac{\Delta_z}{\Delta}=\frac{8}{-8}=-1,$$ т.е. (2, 0, -1) - искомое решение системы.

Пример 2. Решить систему$$\left\{ \begin{aligned} 2x+3y=5; \\ 4x+6y=7. \end{aligned} \right.$$

Решение. Вычислим определители$$\Delta= \begin{vmatrix} 2 3 \\ 4 6 \end{vmatrix} =0; \; \Delta_x= \begin{vmatrix} 5 3 \\ 7 6 \end{vmatrix} =9 \ne 0; \; \Delta_y= \begin{vmatrix} 2 5 \\ 4 7 \end{vmatrix} =-6 \ne 0 ,$$

т.е. система решений не имеет (случай 2)

Пример 3. Решить систему$$\left\{ \begin{aligned} x-y+2z=-2; \\ 2x-2y+4z=4; \\ 3x-3y+6z=3. \end{aligned} \right.$$

Решение. Нетрудно убедиться в том, что $$\Delta = 0$$ и $$\Delta _{х} = \Delta _{y} = \Delta _{z} = 0$$. Данная система не имеет решений, так как первое и третье уравнения противоречивы. Если умножить первое уравнение на 3 и вычесть из полученного уравнение третье, то придем к ложному равенству 0 = 3.

Пример 4. Решить систему$$\left\{ \begin{aligned} 2x+3y-z=3 \\ 4x+6y-2z=6 \\ 3x-y+2z=-1 \end{aligned}. \right.$$

Решение. Нетрудно убедиться в том, что $$\Delta = 0$$ и $$\Delta _{х} = \Delta _{y} = \Delta _{z} = 0$$. Так как второе уравнение получается из первого умножением на 2, то данная система равносильна системе двух уравнений относительно трех неизвестных$$\left\{ \begin{aligned} 2x+3y-z=3 \\ 3x-y+2z=-1 \end{aligned} \right.$$ Так как$$\Delta= \begin{vmatrix} 2 3 \\ 3 -1 \end{vmatrix} = -11 \ne 0,$$ то можно найти решение последней системы$$\left\{ \begin{aligned} 2x+3y=z+3 \\ 3x-y=-2z-1 \end{aligned} \right.$$ в которой переменная z является свободной, и, следовательно, исходная система имеет бесконечное множество решений, которое можно найти либо по формулам Крамера, либо методом исключений. В результате получим (-5z/11; (7z+11)/11; z), где z может принимать произвольные значения.

Однородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Если в системе (4.2) свободные члены равны нулю, то есть b1 = b2 = b3 = 0, то систему$$\left\{ \begin{aligned} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = 0 \\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = 0 \\ a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = 0 \end{aligned} \right.$$ называют однородной. Тогда систему (4.8), в которой хотя бы один из свободных членов не равен нулю, называют неоднородной. Очевидно, что для однородной системы (4.8) $$\Delta _{х} = 0; \Delta _{y} = 0; \Delta _{z} = 0$$ и равенства (4.4) и (4.6) примут вид:$$\Delta \cdot x=0; \; \Delta \cdot y =0; \; \Delta \cdot z = 0.$$

Если $$\Delta \ne 0$$, то из (4.9) следует, что система (4.8) имеет единственное решение х = 0; y = 0; z = 0. Отсюда следует вывод, что чтобы однородная система (4.8) имела непрерывное решение, необходимо, чтобы $$\Delta = 0$$. Действительно, если в тройке (х, y, z), например, $$х \ne 0$$, то из равенства $$\Delta х = 0$$ следует, что $$\Delta = 0$$.

Справедливо и обратное утверждение, т.е. если $$\Delta = 0$$, то система (4.8) обязательно имеет ненулевое решение (причем бесчисленное множество).

Пусть в системе (4.8) первые два уравнения независимы, а третье является линейной комбинацией первых двух. Тогда система (4.8) равносильна следующей системе двух уравнений с тремя неизвестными$$\left\{ \begin{aligned} a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=0 \\ a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=0 \end{aligned}. \right.$$

Пусть для (10)$$\begin{vmatrix} a_{11} a_{21} \\ a_{21} a_{22} \end{vmatrix} \ne 0,$$ тогда систему (8) можно записать в виде$$\left\{ \begin{aligned} a_{11}x+a_{12}y=-a_{13}z \\ a_{21}x+a_{22}y=-a_{23}z \end{aligned} \right.$$ и решить по правилу Крамера, что дает$$x=\frac{ \begin{vmatrix} -a_{13}z a_{12} \\ -a_{23}z a_{22} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a_{11} a_{12} \\ a_{21} a_{22} \end{vmatrix} } = \frac{ \begin{vmatrix} a_{12} a_{13} \\ a_{22} a_{23} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a_{11} a_{12} \\ a_{21} a_{22} \end{vmatrix} } \cdot z; \; y= \frac{ \begin{vmatrix} a_{11} a_{13} \\ a_{21} a_{23} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a_{11} a_{12} \\ a_{21} a_{22} \end{vmatrix} } \cdot (-z).$$

Полагая$$z=K\cdot \begin{vmatrix} a_{11} a_{12} \\ a_{21} a_{22} \end{vmatrix},$$ получим решение системы (10) в виде:$$x=K\cdot \begin{vmatrix} a_{12} a_{13} \\ a_{22} a_{23} \end{vmatrix} ; \; y=-K \cdot \begin{vmatrix} a_{11} a_{13} \\ a_{21} a_{23} \end{vmatrix} ; \; z=K\cdot \begin{vmatrix} a_{11} a_{12} \\ a_{21} a_{22} \end{vmatrix}.$$

Пример 5. Решить систему$$\left\{ \begin{aligned} 2x+3y+5z=0 \\ 4x+2y-6z=0 \end{aligned}. \right.$$

Решение. Так как$$\begin{vmatrix} 2 3 \\ 4 2 \end{vmatrix} =-8 \ne 0$$ , то, применяя формулы (11), найдем$$x=K\cdot \begin{vmatrix} 3 5 \\ 2 -6 \end{vmatrix} =-28K; \; y=-K \cdot \begin{vmatrix} 2 5 \\ 4 -6 \end{vmatrix} =32K; \; z=K\cdot \begin{vmatrix} 2 3 \\ 4 2 \end{vmatrix} =-8K,$$ то есть множество решений будет E={(-28K; 32K; -8K)}

или, вынося общий множитель 4 E={(-7K; 8K; -2K)}.

Замечание. Определители в формулах (4.11) легко запомнить как получить: матрице из коэффициентов системы (4.10)$$\begin{pmatrix} a_{11} a_{12} a_{13} \\ a_{21} a_{22} a_{23} \end{pmatrix}$$ поочередно вычеркивать столбцы коэффициентов при x, y, z, что будет давать соответствующие определители для x, y, z, причем при y надо брать знак минус.

Метод Гаусса последовательного исключения неизвестных

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными$$\left. \begin{gathered} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n=b_2 \\ \ldots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n=b_m \end{gathered} \right\}$$

Элементарными преобразованиями системы (4.12) называют:

Очевидно, что элементарные преобразования переводят линейную систему в эквивалентную.

Ступенчатой системой называется система линейных уравнений вида$$\left. \begin{aligned} a_{11}x_1+ a_{12}x_2+ \ldots+ a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{22}x_2+ \ldots+ a_{2n}x_n=b_2 \\ \ldots \\ a_{kk}x_k+ \ldots+ a_{kn}x_n=b_k \end{aligned} \right\},$$

где $$k \le n, \; a_{ii} \ne 0 \forall i \in \overline{1,k}$$. Коэффициенты aii называются главными, или ведущими, элементами системы. Например, система$$\left. \begin{aligned} 4x_1 + 3x_2 - \phantom{0}x_3 + \phantom{0}x_4 + 7x_5 =2 \\ -x_2 + 3x_3 \phantom{+03x_4} + \phantom{0} x_5 =3 \\ \phantom{0}x_3 + 3x_4 + 2x_5 =5 \\ x_4 + \phantom{0} x_5 =7 \end{aligned} \right\}$$ имеет ступенчатый вид.

Если в системе (4.13) k = n, то ее называют треугольной. Очевидно, что в этом случае она является определенной.

Если k < n, то k неизвестных х1, х2, ..., хк, называют главными элементами. Они могут быть выражены через остальные n – k неизвестные, называемые свободными. В этом случае система (4.13) будет называться неопределенной.

Вернемся к произвольной системе (4.12) и для определенности будем считать, что $$а_{11} \ne 0$$. Если это не так, то тождественными линейными преобразованиями системы (4.12) можно всегда добиться выполнения данного условия. Исключим х1 из всех уравнений, кроме первого. Для этого обе части первого уравнения умножим на a21/a11 и вычтем из соответствующих частей второго уравнения. Затем обе части первого уравнения умножим на a31/a11 и вычтем из соответствующих частей третьего. И так поступим с каждым следующим уравнением. Далее таким же образом исключаем х2 из третьего, четвертого и так далее уравнений. В результате таких преобразований мы получим совместную ступенчатую систему или придем к несовместимой системе, в которой одно из уравнений имеет отличный от нуля свободный член, а все остальные коэффициенты левой части равны нулю. В последнем случае система (4.12) также будет несовместимой.

Пример 6. Решить систему$$\left\{ \begin{aligned} x_1+2x_2+x_3=9; \\ x_1+x_2+2x_3=8; \\ 2x_1+x_2+x_3=7. \end{aligned} \right.$$

Решение. Вычисления удобно записывать по так называемой схеме единственного деления, в которой оперируют с коэффициентами системы.

В результате получаем треугольную систему:$$\left. \begin{aligned} x_1+2x_2+\phantom{4}x_3=\phantom{-}9; \\ -x_2+\phantom{4}x_3=-1; \\ -4x_3=-8. \end{aligned} \right\}$$

Делая обратный ход, найдем х3 = 2; х2 = 3; х1 = 1, т.е. решение (1, 3, 2).

Замечание. Последний столбец является контрольным. В нем суммируются элементы соответствующих строк.

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Рассмотрим для определенности систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:$$\left. \begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_2 \\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=b_3 \end{aligned} \right\}.$$

Составив матрицы из коэффициентов системы, неизвестных и свободных членов, т.е.$$A= \begin{pmatrix} a_{11} a_{12} a_{13} \\ a_{21} a_{22} a_{23} \\ a_{31} a_{32} a_{33} \end{pmatrix}; \; X= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}; \; B= \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix},$$ перепишем систему (14) в матричной форме:$$AX=B$$

Искомой в этом уравнении является матрица-столбец (или вектор-столбец) Х. Пусть А – невырожденная матрица, то есть $$detA \ne 0$$, и, следовательно, она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части (4.15) на А-1 слева, получаем:

A-1(AX)=A-1B=>(A-1A)X=A-1B=>EX=A-1B, т.е.

$$X=A^{-1}B$$ и есть искомое решение системы (4.14). Действительно, подставив (4.16) в (4.14), получим:

A(A-1B)=(A-1A)B=EB=B.

Пример 7. Решить систему матричным методом:$$\left\{ \begin{aligned} x+2y+z=3; \\ 2x+y-z=-6; \\ 3x+y+2z=1. \end{aligned} \right.$$

Решение. Запишем систему в матричной форме:$$\underbrace{ \begin{pmatrix} 1 2 1 \\ 2 1 -1 \\ 3 1 2 \end{pmatrix} }_{A} \cdot \underbrace{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} }_{X} = \underbrace{ \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 1 \end{pmatrix} }_{B}$$ и убедимся, что данная система совместно и имеет единственное решение. Для этого найдем главный определитель системы (детерминант матрицы A ).$$\Delta=|A|=\det A= \begin{vmatrix} 1 2 1 \\ 2 1 -1 \\ 3 1 2 \end{vmatrix} =-12 \ne 0.$$

Так как детерминант матрицы A отличен от нуля, следовательно обратная матрица существует и указанный метод применим к решению системы.

Для составления присоединенной матрицы А* найдем алгебраические дополнения$$\begin{gathered} A_{11}=(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}1 -1 \\ 1 2 \end{vmatrix}=3; \; A_{21}=-\begin{vmatrix}2 1 \\ 1 2 \end{vmatrix}=-3; \; A_{31}=\begin{vmatrix}2 1 \\ 1 -1 \end{vmatrix}=-3; \\ A_{12}=-\begin{vmatrix}2 -1 \\ 3 2 \end{vmatrix}=-7; \; A_{22}=\begin{vmatrix}1 1 \\ 3 2 \end{vmatrix}=-1; \; A_{32}=-\begin{vmatrix}1 1 \\ 2 -1 \end{vmatrix}=3; \\ A_{13}=\begin{vmatrix}2 1 \\ 3 1 \end{vmatrix}=-1; \; A_{23}=-\begin{vmatrix}1 2 \\ 3 1 \end{vmatrix}=5; \; A_{33}=\begin{vmatrix}1 2 \\ 2 1 \end{vmatrix}=-3; \end{gathered}$$

Составляем присоединенную матрицу А*:$$A^*= \begin{pmatrix} 3 -3 -3 \\ -7 -1 3 \\ -1 5 -3 \end{pmatrix},$$ следовательно, обратная матрица будет$$A^{-1}=\frac{1}{\det A}\cdotA^*=-\frac{1}{12} \begin{pmatrix} 3 -3 -3 \\ -7 -1 3 \\ -1 5 -3 \end{pmatrix},$$

Тогда $$X=A^{-1}B=-\frac{1}{12} \begin{pmatrix} 3 -3 -3 \\ -7 -1 3 \\ -1 5 -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 1 \end{pmatrix} =-\frac{1}{12}\cdot \begin{pmatrix} 3\cdot 3 + (-3)\cdot(-6)+(-3)\cdot 1 \\ (-7)\cdot 3 + (-1)\cdot(-6)+3\cdot 1 \\ (-1)\cdot 3 + 5\cdot(-6)+(-3)\cdot 1 \end{pmatrix} =-\frac{1}{12}\cdot \begin{pmatrix} 24 \\ -12 \\ -36 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}.$$ Т.е. х = -2; у = 1; z = 3.

Условие совместности общей линейной системы. Теорема Кронекера - Капелли

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:$$\left. \begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n=b_2 \\ \ldots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n=b_n \end{aligned} \right\}.$$

Этой системе поставим в соответствие две матрицы. Первую$$A= \begin{pmatrix} a_{11} a_{12} \ldots a_{1n} \\ a_{21} a_{22} \ldots a_{2n} \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \\ a_{m1} a_{m2} \ldots a_{mn} \end{pmatrix},$$ составленную из коэффициентов при неизвестных системы (4.17), называемую основной, и вторую$$\left( \begin{aligned} a_{11} a_{12} \ldots a_{1n} \\ a_{21} a_{22} \ldots a_{2n} \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \\ a_{m1} a_{m2} \ldots a_{mn} \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} b_1 \\ b_2 \\ \ldots \\ b_m \end{aligned} \right)$$ называемую расширенной матрицей системы (4.17).

ТЕОРЕМА (Кронекер и Капелли). Для того, чтобы система линейных уравнений (4.17) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы А был равен рангу ее расширенной матрицы В, то есть Rg A = Rg B.

Для системы (17) возможны следующие случаи:

При этом:

если r = n ( n - число неизвестных), то система имеет единственное решение;

если r < n, то система имеет бесконечное число решений, которые находятся следующим образом:

Пример 8. Решить систему$$\left. \begin{aligned} x_1+\phantom{2}x_2-3x_3=-1 \\ 2x_1+\phantom{2}x_2-2x_3=\phantom{-}1 \\ x_1+\phantom{2}x_2+\phantom{0}x_3=\phantom{-}3 \\ x_1+2x_2-3x_3=\phantom{-}1 \end{aligned} \right\}$$

Решение. Составим основную$$A= \begin{pmatrix} 1 1 -3 \\ 2 1 -2 \\ 1 1 1 \\ 1 2 -3 \end{pmatrix}$$ и расширенную$$\left( \begin{aligned} 1 1 -3 \\ 2 1 -2 \\ 1 1 \phantom{-} 1 \\ 1 2 -3 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} -1 \\ \phantom{-}1 \\ \phantom{-}3 \\ \phantom{-}1 \end{aligned} \right)$$ матрицы системы. Найдем Rg A и Rg B с помощью элементарных преобразований.$$\left( \begin{aligned} 11-3\\21-2\\11\phantom{-}1\\12-3 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} -1\\\phantom{-}1\\\phantom{-}3\\\phantom{-}1 \end{aligned} \right) \Rightarrow \left( \begin{aligned} 11-3\\0-14\\004\\010 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} -1\\\phantom{-}3\\\phantom{-}4\\\phantom{-}2 \end{aligned} \right) \Rightarrow\\\Rightarrow \left( \begin{aligned} 11-3\\01-4\\010\\004 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} -1\\-3\\\phantom{-}2\\\phantom{-}4 \end{aligned} \right) \Rightarrow \left( \begin{aligned} 11-3\\01-4\\004\\004 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} -1\\-3\\\phantom{-}5\\\phantom{-}4 \end{aligned} \right) \Rightarrow\\\Rightarrow \left( \begin{aligned} 11-3\\01-4\\004\\000 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} -1\\-3\\\phantom{-}5\\\phantom{-}1 \end{aligned} \right)$$

Анализируя решение получаем, что Rg A = 3, Rg B = 4, т.е. данная система несовместна.

Пояснения к РЕШЕНИЮ. При переходе от первой матрицы ко второй с помощью первой строки получены нули в первом столбце остальных строк; при переходе от второй матрицы к третьей поменяли местами третью и четвертую строки, при переходе от третьей к четвертой матрице с помощью второй строки получен нуль во втором столбце третьей строки; при переходе от четвертой матрицы к пятой с помощью третьей строки получен нуль в третьем столбце четвертой строки.

Пример 9: Исследовать на совместность и решить систему$$\left. \begin{aligned} x_1-2x_2+3x_3-4x_4=\phantom{-}4 \\ x_2-\phantom{4}x_3+\phantom{4}x_4=-3 \\ x_1+3x_2\phantom{-13x_2}-3x_4=\phantom{-}1 \\ -7x_2+3x_3+\phantom{4}x_4=-3 \end{aligned} \right\}$$

Решение. Составим основную и расширенную матрицы системы, соответственно:$$A= \begin{pmatrix} 1 -2 \phantom{-}3 -4 \\ 0 \phantom{-}1 -1 \phantom{-}1 \\ 1 \phantom{-}3 \phantom{-}0 -3 \\ 0 -7 \phantom{-}3 \phantom{-}1 \end{pmatrix} \text{и } B= \left( \begin{aligned} 1 -2 3 -4 \\ 0 1 -1 1 \\ 1 3 0 -3 \\ 0 -7 3 1 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} 4 \\ -3 \\ 1 \\ -3 \end{aligned} \right)$$

Как и в примере 8, найдем Rg A и Rg B с помощью элементарных преобразований матрицы В.$$\left( \begin{aligned} 1-23-4\\01-11\\130-3\\0-731 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} +4\\-3\\+1\\-3 \end{aligned} \right) \Rightarrow \left( \begin{aligned} 1-23-4\\01-11\\05-31\\00-48 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} +4\\-3\\-3\\-24 \end{aligned} \right) \Rightarrow\\\Rightarrow \left( \begin{aligned} 1-23-4\\01-11\\002-4\\00-12 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} +4\\-3\\12\\-6 \end{aligned} \right) \Rightarrow \left( \begin{aligned} 1-23-4\\01-11\\001-2\\0000 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} +4\\-3\\6\\0 \end{aligned} \right)$$

Очевидно, RgA = RgB = 3 < 4, где 4 - число неизвестных, т.е. система имеет бесконечное множество решений.

Составим подсистему, состоящую из первых трех уравнений:$$\left\{ \begin{aligned} x_1-2x_2+3x_3-4x_4=4 \\ x_2-x_3+x_4=-3 \\ x_3-2x_4=6 \end{aligned} \right. \text{ или } \left\{ \begin{aligned} x_1-2x_2+3x_3=4x_4+4 \\ x_2-x_3=-x_4-3 \\ x_3=2x_4+6 \end{aligned} \right.$$

Последнее уравнение дает выражение для x3 через x4:x3=2x4+6. Подставив полученное x3 во второе уравнение системы и приведя подобные получим выражение для x2 через x4:x2=x4+3. И, наконец, используя найденные x3 и x2, из первого уравнения найдем x1:x1=8. Таким образом имеем следующее множество решений: {(-8); (x4+3); (2x4+6)}, где x4 - произвольная постоянная.

Пример 10: Исследовать и решить систему$$\left\{ \begin{aligned} \phantom{3}x_1+2x_2+3x_3=14 \\ 3x_1+2x_2+\phantom{3}x_3=10 \\ \phantom{3}x_1+\phantom{3}x_2+\phantom{3}x_3=6 \\ 2x_1+3x_2-\phantom{3}x_3=5 \\ \phantom{3}x_1+\phantom{3}x_2\phantom{+33x_3}=3 \end{aligned} \right.$$

Решение. Составим основную и расширенную матрицы системы, соответственно:$$A= \begin{pmatrix} 1 2 3 \\ 3 2 1 \\ 1 1 1 \\ 2 3 -1 \\ 1 1 0 \end{pmatrix} ; \quad B= \left( \begin{aligned} 1 2 3 \\ 3 2 1 \\ 1 1 1 \\ 2 3 -1 \\ 1 1 0 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} 14 \\ 10 \\ 6 \\ 5 \\ 3 \end{aligned} \right)$$ и применим к матрице В элементарные преобразования для приведения ее к треугольному виду:$$\left( \begin{aligned} 123\\321\\111\\23-1\\110 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} 14\\10\\6\\5\\3 \end{aligned} \right) \Rightarrow \left( \begin{aligned} 123\\0-4-8\\0-1-2\\0-1-7\\0-1-3 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} 14\\-32\\-8\\-23\\-11 \end{aligned} \right) \Rightarrow\\ \Rightarrow \left( \begin{aligned} 123\\0-1-2\\0-1-2\\0-1-7\\0-1-3 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} 14\\-8\\-8\\-23\\-11 \end{aligned} \right) \Rightarrow \left( \begin{aligned} 123\\012\\00-5\\00-1 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} 14\\8\\-15\\-3 \end{aligned} \right) \Rightarrow\\ \Rightarrow \left( \begin{aligned} 123\\012\\001\\001 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} 14\\8\\3\\3 \end{aligned} \right) \Rightarrow \left( \begin{aligned} 123\\012\\001 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} 14\\8\\3 \end{aligned} \right).$$

В матрице В пришлось вычеркнуть две строки, но полученная матрица приведена к треугольному виду. RgA = RgB = 3 = n ( n - число неизвестных), то есть система имеет единственное решение. Используя последнюю матрицу, запишем данную систему$$\left\{ \begin{aligned} x_1+2x_2+3x_3=14; \\ x_2+2x_3=\phantom{1}8; \\ x_3=\phantom{1}3. \end{aligned} \right.$$

Решая систему, найдем x3=3; x2=2; x1=1. Ответ (1, 2, 3).