Подпространства линейного пространства. Евклидово пространство. Линейные преобразования в линейном пространстве. Представление линейного преобразования матрицей. Действия над линейными преобразованиями. Примеры линейных преобразований

Таблица коэффициентов системы (9.1)$$\begin{bmatrix} \alpha_1^1 \alpha_1^2 \ldots \alpha_1^k \\ \alpha_2^1 \alpha_2^2 \ldots \alpha_2^k \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \\ \alpha_k^1 \alpha_k^2 \ldots \alpha_k^k \end{bmatrix}$$

определяет матрицу преобразования одной системы координат в другую. Заметим, так как старые единичные векторы линейно независимы, т.е. $$\sum p_k \overrightarrow{e}_k=0$$, только тогда, когда $$p_{k} \equiv 0$$, и определитель системы (9.1) отличен от нуля$$\Delta= \begin{bmatrix} \alpha_1^1 \alpha_1^2 \ldots \alpha_1^k \\ \alpha_2^1 \alpha_2^2 \ldots \alpha_2^k \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \\ \alpha_k^1 \alpha_k^2 \ldots \alpha_k^k \end{bmatrix} \ne 0,$$ то новые векторы тоже будут линейно независимыми.

Систему (9.1) можно записать в свернутом виде:$$E_m=\sum_k \alpha_m^k\overrightarrow{e}_k,\; m=1,2,\ldots,r.$$

Система (9.2), как и система (9.1), дает новые единичные векторы $$\overrightarrow{E}_m$$ как функции старых единичных векторов $$\overrightarrow{e}_k$$.

Имеет место и обратный случай: возможно восстановление старых единичных векторов по известным новым. Эта задача математически сводится к решению системы (9.1) относительно $$\overrightarrow{e}_r$$. В результате имеем$$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{e}_1=\beta_1^1\overrightarrow{E}_1+\beta_1^2\overrightarrow{E}_2+\ldots+\beta_1^r\overrightarrow{E}_r; \\ \overrightarrow{e}_2=\beta_2^1\overrightarrow{E}_1+\beta_2^2\overrightarrow{E}_2+\ldots+\beta_2^r\overrightarrow{E}_r; \\ \ldots \\ \overrightarrow{e}_r=\beta_r^1\overrightarrow{E}_1+\beta_r^2\overrightarrow{E}_2+\ldots+\beta_r^r\overrightarrow{E}_r \end{aligned} \right.$$ или в свернутом виде$$\overrightarrow{e}_k=\sum_m \beta_k^m \overrightarrow{E}_m .$$

Матрица $$\beta$$ линейного преобразования (9.4), очевидно, будет обратной матрице $$\alpha$$ - прямого преобразования (9.2), и, следовательно, общий элемент матрицы $$\beta$$ можно записать как$$\beta_k^m=\frac{A_m^k}{\Delta},$$ где $$A_m^k$$ - алгебраическое дополнение элемента $$\alpha_m^k$$ определителя $$\Delta$$ матрицы $$\alpha$$.

Рассмотрим сумму произведений $$\sum_m \alpha_m^k\beta_j^m$$. При k = j она равна единице, а при $$k \ne j$$ должна быть тождественно равна нулю. Это вытекает из того, что $$\beta = \alpha ^{-1}$$, а произведение таких матриц есть единичная матрица, у которой элементы находятся на главной диагонали, равны 1, а все остальные - нулю.

Пользуясь символом КронекераПо определению $$\delta_m^n=\left\{ \begin{aligned}1,\quad m=n\\0,\quad m\ne n \end{aligned}.\right$$. , определим сумму произведений$$\sum_m \alpha_m^k\beta_j^m=\delta_j^k\quad\text{и}\quad\sum\alpha_m^k\beta_k^l=\delta_m^l.$$

И наконец, общий элемент матрицы $$\alpha$$ можно записать как$$\alpha_m^k=\frac{B_k^m}{\Delta},$$ где $$B_k^m$$ - алгебраическое дополнение элемента $$\beta_k^m$$ определителя $$\Delta$$ матрицы $$\beta$$.

Определение 16. Говорят, что в линейном пространстве R задано скалярное произведение, если каждой паре векторов х и у из R поставлено в соответствие такое число (х,у), что выполняются следующие условия:

Определение 17. Линейное пространство, в котором задано скалярное произведение, называется евклидовым пространством и обозначается Е.

Определение 18. Длиной или модулем вектора х в евклидовом пространстве называют корень квадратный из его скалярного квадрата и обозначают $$|x|=x=\sqrt{(x,x)}$$.

Из определения 18 вытекают два свойства модуля:

Определение 19. Вектор х, длина которого равна 1, называют нормированным вектором.

Из определения 19 следует интересный вывод: всякий ненулевой вектор можно нормировать, т.е. умножить вектор на число $$\lambda=\frac{1}{|x|}$$. Полученный вектор $$y=\frac{x}{|x|}$$ будет нормированным.

Определение 20. Угол $$\phi$$ между векторами х и у определяется равенством $$\cos(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})=\frac{(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})}{|\overrightarrow{x}|\cdot|\overrightarrow{y}|}$$.

Из определения 20 следует математическое выражение для скалярного произведения$$(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})=|\overrightarrow{x}|\cdot|\overrightarrow{y}|\cdot\cos(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}).$$

Определение 21. Два вектора евклидова пространства называют ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, т.е. $$(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})=0$$.

Это определение следует из анализа формулы (9.5). Действительно, если длины векторов x и y не равны нулю, то только cos(x^y) может дать нуль в произведении, а это значит, что угол между векторами должен быть равен 90 $$\deg$$.

Определение 22. Базис е1, е2, ..., еr евклидова пространства называется ортогональным, если векторы попарно ортогональны.

Определение 23. Если базис евклидова пространства е1, е2, ..., еr ортогонален и модули |еi|=1 при i = 1, 2, ..., n, то базис называют ортонормированным.

Выразим скалярное произведение через координаты перемножаемых векторов. Пусть теперь е1, е2, ..., еr - произвольный базис евклидова пространства R, в котором заданы два вектора х и y. Распишем векторы в координатной форме по заданному базису

x=x1e1+x2e2+...+xnen; y=y1e1+y2e2+...+ynen

и найдем скалярное произведение этих векторов. В результате имеем$$\begin{gathered} (x,y)=(x_1 e_1+x_2 e_2+\ldots+x_n e_n;\; y_1 e_1+y_2 e_2+\ldots+y_n e_n)= \\ =x_1 y_1(e_1 e_1)+x_1 y_2(e_1 e_2)+\ldots+x_1 y_n(e_1 e_n)+ \\ +x_2 y_1(e_2 e_1)+x_2 y_2(e_2 e_2)+\ldots+x_2 y_n(e_2 e_n)+\ldots+x_n y_1(e_n e_1)+ \\ +x_n y_2(e_n e_2)+\ldots+x_n y_n(e_n e_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n x_i y_j(e_i e_j). \end{gathered}$$

Если базис е1, е2, ..., еr ортонормирован, то в силу определения (19) скалярного произведения все произведения (еi, ej) будут равны нулю при $$i \ne j$$ и единице, при i = j. Значит,$$(x,y)=x_1 y_1+x_2 y_2+\ldots+x_n y_n .$$

Если х = y, то из выражения (9.6) получаем$$(x,x)=x_1 x_1+x_2 x_2+\ldots+x_n x_n=x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2,$$ откуда можно выразить модуль (длину) вектора в ортонормированном базисе$$|x|=\sqrt{(x,x)}=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}.$$

Выражение (9.7) часто называют нормой вектора х = (х1, х2, ..., хn). Возвращаясь к определению (26), найдем выражение $$\lambda$$ как$$\lambda=\frac{1}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}}.$$

Теорема. Попарно ортогональные и отличные от нуля векторы линейно независимы.

Доказательство. Пусть х1, х2, ..., хn - ненулевые векторы, попарно ортогональные, т.е. (xi, xj) = 0, если $$i \ne j$$. Предположим, что векторы х1, х2, ..., хn линейно зависимые, т.е. существуют такие $$\alpha _{1}, \alpha _{2}, \dots , \alpha _{n}$$, не равные нулю, при которых$$\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+\ldots+\alpha_n x_n=0$$

Для определенности (без ограничения общности) положим $$\alpha _{1} \ne 0$$. Умножим равенство (9.9) скалярно на вектор х1, и с учетом того, что все произведения (хi, хj) будут равны нулю при $$i \ne j$$, останется только одно произведение $$\alpha _{1}(x_{1}, x_{1}) = 0$$, но $$(x_{1}, x_{1}) \ne 0$$, следовательно $$\alpha _{1} = 0$$, что противоречит нашему предположению. Значит, предположение неверно и теорема доказана.

Линейные преобразования в линейном пространстве

Определение 24. Если некоторая величина характеризуется полностью одним числом, не зависящим от базиса линейного пространства, то такую величину называют скалярной, или скаляром. Скалярная величина обозначается одной буквой, без выделения.

Одним из основных понятий математики является функциональная зависимость. Говорят, что скалярная величина у является функцией скалярного аргумента х, если каждому значению переменной х, взятому из некоторого множества допустимых значений, соответствует определенное значение переменной у. Закон соответствия обычно записывают в виде y = f(x), где f - символическое обозначение некоторой функции.

Функции в общем случае зависят от одного или от нескольких вещественных переменных. Если функция зависит от трех вещественных переменных, то тогда говорят о функции, аргументом которой является вектор пространства V3.

Поэтому понятие функциональной зависимости можно обобщить на векторные функции от векторного аргумента. Здесь мы ограничимся самыми простейшими типами, к которым относятся линейные функции. Векторные функции являются линейными операторами и обозначаются как y=Ax. С этой точки зрения операции над множествами, приведенные на рис. 7.1 лекции 7, можно рассматривать как примеры линейных операторов: позиция а - операция прибавления числа 5, позиция б - операция вычитания числа 3, позиция в - операция умножения на число 3, т.е. оператор А обозначает правило, по которому элементам множества А ставятся в соответствие элементы множества Б.

Определим два линейных пространства R и R1 над числовым полем К, и пусть вектор х принадлежит линейному пространству R, а вектор у - линейному пространству R1.

Определение 25. Оператором А называют любой закон (правило), по которому каждому вектору $$х \in R$$ ставят в соответствие вектор $$у \in R_{1}$$ и обозначают у = Ах.

Определение 26. Оператор А называют линейным, если выполняются условия: $$А(х_{1} +х_{2}) = Ах_{1} +Ах_{2}, \ \forall х_{1} ,х_{2} \in R; А(\lambda х) = \lambda А(х) \ \forall х \in R \vee \lambda \in К$$.

Из определения 25 следует, что линейный оператор А определяет преобразование А вектора $$х \in R$$ в вектор $$у \in R_{1}$$. Вектор у называют образом вектора х, а вектор х - прообразом вектора у. Тогда очевидно, что множество L всех образов у = Ах, где $$х \in R$$, образует подпространство линейного пространства R1. Действительно, если $$у_{1} \in L$$ и $$у_{2} \in L$$, то сумма у1 + у2 = Ах1 + Ах2 = А(х1 +х2) = А(х3) тоже будет принадлежать L, а при умножении у на $$\lambda$$ имеем $$\lambda у = \lambda А(х) = А(\lambda х)$$, т.е. $$\lambda y \in L$$, откуда на основании определения 32 следует, что L - является подпространством пространства R1.

Таким образом, преобразование R в L с помощью линейного оператора А есть отображение пространства R в пространство R1.

Представление линейного преобразования матрицей

Пусть в n -мерном пространстве R задано преобразование А, которое переводит вектор $$х \in R$$ в вектор у m -мерного пространства R1, т.е. задано преобразование у = Ах. Определим в пространствах R и R1 базисы соответственно l1, l2, ..., ln и g1, g2, ..., gm. Тогда векторы х и у могут быть представлены в координатной форме следующим образом$$x=x_1 l_1+x_2 l_2+\ldots+x_n l_n;\; y=y_1 g_1+y_2 g_2+\ldots+y_m g_m ,$$ а координаты образа у выражают через координаты прообраза х$$y=A(x_1 l_1+x_2 l_2+\ldots+x_n l_n)=x_1 A(l_1)+x_2 A(l_2)+\ldots+x_n A(l_n).$$

Сравним выражение (9.11) вектора у с выражением (9.10). В результате получим gi = A(li), т.е. образ базиса l1, l2, ..., ln. Разложим А(l1), А(l2), ..., А(ln) по базису g1, g2, ..., gm:$$\left\{ \begin{gathered} A(l_1)=a_{11}g_1+a_{21}g_2+\ldots+a_{m1}g_m; \\ A(l_2)=a_{12}g_1+a_{22}g_2+\ldots+a_{m2}g_m; \\ \ldots \\ A(l_n)=a_{1n}g_1+a_{2n}g_2+\ldots+a_{mn}g_m. \end{gathered} \right.$$

Заметим, что выражение (9.12) идентично по своей структуре формулам перехода (9.1).

Подставим выражения (9.12) в формулу (9.11), получим$$\begin{gathered} y=x_1(a_{11}g_1+a_{21}g_2+\ldots+a_{m1}g_m)+x_2(a_{12}g_1+ \\ +a_{22}g_2+\ldots+a_{m2}g_m)+\ldots+x_n(a_{1n}g_1+a_{2n}g_2+\ldots+a_{mn}g_m)= \\ =(a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n)g_1+(a_{21}x_1+ \\ +a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n)g_2+\ldots+(a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n)g_m. \end{gathered}$$

Сравнив последнее выражение с выражением (9.10) для у, можно записать связь между yj и xi как$$\left\{ \begin{gathered} y_1=a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n; \\ y_2=a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n; \\ \ldpts \\ y_m=a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n. \end{gathered} \right.$$

Если теперь из коэффициентов системы (9.13) составить матрицу$$A= \begin{pmatrix} a_{11} a_{12} \ldots a_{1n} \\ a_{21} a_{22} \ldots a_{2n} \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \\ a_{m1} a_{m2} \ldots a_{mn} \end{pmatrix},$$ а из элементов хi и уj матрицы-столбцы$$x= \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} ; \quad y= \begin{pmatrix} y_1\\y_2\\ \vdots \\ y_m \end{pmatrix},$$ то систему уравнений (9.13) можно записать в матричном виде y = Ax, именно в таком виде, в каком ранее мы определили линейное преобразование А. Матрица А, определяемая формулами (9.14), называется матрицей линейного преобразования А.

Представим систему (9.12) в матричной записи L = A'(g), где обозначено$$L= \begin{pmatrix} A(l_1)\\A(l_2)\\ \vdots \\A(l_m) \end{pmatrix} ;\ g= \begin{pmatrix} g_1\\g_2\\ \vdots \\g_n \end{pmatrix} ;\ A'= \begin{pmatrix} a_{11} a_{21} \ldots a_{n1} \\ a_{12} a_{22} \ldots a_{n2} \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \\ a_{1m} a_{2m} \ldots a_{nm} \\ \end{pmatrix}.$$

Заметим, что матрица A' преобразования является транспонированной матрицей по отношению к матрице А и определяется выражением (9.14).

Определение 27. Если преобразование А переводит какой-либо ненулевой вектор х в нулевой, т.е. А(х) = 0 при $$х \ne 0$$, то преобразование А называют вырожденным.

Вырожденное преобразование А задается вырожденной матрицей, у которой detA = 0 (или по теории матриц ранг такой матрицы меньше ее размера).

В дальнейшем будем рассматривать наиболее важный случай, когда матрица преобразования А задается квадратной матрицей, т.е. когда m = n. Тогда говорят, что пространства R и R1 совпадают или что преобразование А задано в n -мерном пространстве с базисом l1, l2, ..., ln и отображает это пространство в себя.

Таким образом, каждому линейному преобразованию А в заданном базисе l1, l2, ..., ln соответствует квадратная матрица А порядка n и, наоборот, каждая квадратная матрица А порядка n определяет некоторое линейное преобразование А в заданном базисе l1, l2, ..., ln.

Действия над линейными преобразованиями

Сложение преобразований. Пусть в n -мерном пространстве R с базисом l1, l2, ..., ln заданы два линейных преобразования А и В, определяемые как y = Ax и z = Bx.

Определение 28. Суммой линейных преобразований А и В называют преобразование С, обозначаемое С = А + В, если для каждого вектора x из пространства R справедливо Сх = (А + В)х = Ax + Вx. Тогда говорят, что преобразование С преобразует вектор х в вектор q равный сумме векторов у и z, т.е. q = y + z.

Из определения 28 очевидно, что матрица С, определяющая преобразование С, должна быть равна сумме матриц преобразований А и В: С = А + В.

Умножение преобразования на число. Пусть в n -мерном пространстве R с базисом l1, l2, ..., ln задано линейное преобразование А, определяемом как y = Ax, и некоторое число $$\lambda$$.

Определение 29. Произведением линейного преобразования А и числа $$\lambda$$ называют преобразование С, обозначаемое $$С = \lambda А$$, если для каждого вектора x из пространства R справедливо $$Сх = (\lambda А)х = \lambda Ax$$. Тогда говорят, что преобразование С преобразует вектор х в вектор q, равный $$\lambda y$$, где у = Ax.

Произведение преобразований. Пусть в n -мерном пространстве R с базисом l1, l2, ..., ln заданы два линейных преобразования А и В, определяемых как y = Ax и z = Bу, т.е. вектор x преобразуется преобразованием А в вектор y, который в свою очередь преобразуется в вектор z преобразованием В.

Определение 30. Произведением преобразований А и В называют преобразование С, обозначаемое С = ВА, если для каждого вектора $$x \in R$$ справедливо Сх = (ВА)х = В(Ax) = Ву = z.

Заметим, что в этом случае матрица преобразования С, определяющая произведение преобразований А и В, будет выражаться произведением матриц соответствующих преобразований: С = ВА.

Обратное преобразование. Пусть в n -мерном пространстве R с базисом l1, l2, ..., ln задано линейное преобразование А выражением y = Ax, где A - невырожденная квадратная матрица, для которой определена обратную матрицу A-1 как A-1A = AA-1 = Е, где Е - единичная матрицаЕдиничная матрица - это диагональная матрица, все элементы которой равны единице, или единичная матрица - это квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю..

Определение 31. Обратным преобразованием х = A-1у назовем такое, которое будет обратно прямому преобразованию y = Ax, причем произведение прямого и обратного преобразования будет переводить вектор в самого себя, т.е. х = A-1у = A-1Ax = Еx = х.

Очевидно, что матрица A-1 обратного преобразования А-1 будет являться обратной по отношению к матрице прямого преобразования А.

Примеры линейных преобразований

Пример 1. Пусть преобразование А есть поворот всех векторов 0Х плоскости х0y, т.е. поворот плоскости х0y вокруг начала координат на угол $$\phi$$ против часовой стрелки. Это преобразование линейно, так как безразлично, сначала ли сложить векторы а и b, а потом повернуть их на угол $$\phi$$, или сначала повернуть векторы на указанный угол, а потом сложить их (рис. 9.1, а).

Так же будет безразлично умножить ли сначала вектор а на число $$\lambda$$, а затем повернуть его на угол $$\phi$$, или сделать это в обратном порядке (рис. 9.1, б).

Чтобы построить матрицу рассматриваемого линейного преобразования - поворота на угол $$\phi$$, выберем в рассматриваемом евклидовом пространстве V2 базис из двух единичных взаимноперпендикулярных векторов е1 и е2. Вектор е1 после поворота на угол $$\phi$$ перейдет в вектор А(е1), который также будет являться единичным и образовывать с исходным вектором е1 угол $$\phi$$, а с вектором е2 угол $$\pi /2 - \varphi$$ (рис. 9.2). Из (рис. 9.2) очевидно, что$$A(e_1)=OC+OB=\alpha e_1+\beta e_2.$$

Но $$\alpha = |ОС| = |А(е_{1})| \cos \varphi = 1 \times \cos \varphi ; \ \beta = |ОB| = |А(е_{1})| \cos (\pi /2 - \varphi ) = |А(е_{1})| \sin \varphi = 1 \times \sin \varphi$$. Тогда, подставив полученные значения $$\alpha$$ и $$\beta$$ в равенство (9.16), получим$$A(e_1)=\cos\varphi\cdot e_1+\sin\varphi\cdot e_2.$$

Аналогично рассуждая, из рис. 9.2 можно получить формулы преобразования для вектора А(е2):$$A(e_2)=OC_1+OB_1=\alpha_1 e_1 + \beta_1 e_2.$$

Но $$\alpha _{1} = -|ОС_{1}| = -|А(е_{2})| \sin (\pi /2+\varphi ) = -1 \times \sin \varphi ; \beta _{1}= |ОB_{1}| = |А(е_{2})|\cos \varphi = 1 \times \cos\varphi$$. Тогда, подставив полученные значения $$\alpha _{1} и \beta _{1}$$ в равенство (9.18), будем иметь$$А(е_1) = -\sin\varphi\times е_1 + \cos\varphi \times е_2.$$

Из равенств (9.17) и (9.19) найдем матрицу$$A'= \begin{pmatrix} \cos\varphi \sin\varphi \\ -\sin\varphi \cos\varphi \end{pmatrix},$$ , выражающую образы базисных векторов через сами базисные векторы [см. формулe (9.13)]. Тогда матрица А, задающая линейное преобразование в данном пространстве V2, есть $$A= \begin{pmatrix} \cos\varphi -\sin\varphi \\ \sin\varphi \cos\varphi \end{pmatrix} .$$

Пример 2. Пусть в пространстве V2 каждому вектору х ставится в соответствие вектор у = А(х), представляющий собой зеркальное отображение вектора х относительно некоторой фиксированной прямой $$\gamma$$, проходящей через точку 0, которая принимается за начало всех векторов $$х \in V_{2}$$ (рис. 9.3). Преобразование А в этом случае является линейным и называется зеркальным отображением относительно прямой $$\gamma$$. Примем за базис два единичных взаимно ортогональных вектора (рис. 9.4), один из которых направим по прямой $$\gamma$$. Найдем матрицу этого преобразования. Базисный вектор е1 преобразуется в вектор А(е1) = е1, а вектор е2 - в вектор А(е2) = -е2, т.е. А(е1) = е1 = 1 x е1+0xе2, А(е2) = -е2 = 0xе1 + (-1)xе2. Тогда в выбранном базисе матрицы A' и А имеют вид:$$A'= \begin{pmatrix} 1 0 \\ 0 -1 \end{pmatrix},$$ $$A= \begin{pmatrix} 1 0 \\ 0 -1 \end{pmatrix}.$$

Пример 3. Определим линейное преобразование А, переводящее каждый вектор $$х \in R_{n}$$ в $$\lambda х \in R_{n}$$, где $$\lambda$$ - фиксированное число из поля К, т.е. $$\forall х \in R_{n} \exists \lambda х \in R_{n}$$, которое называется преобразованием подобия. Найдем его матрицу. Для базисных векторов е1, е2, ..., еn имеем$$\begin{gathered} A(e_1)=\lambda e_1 = \lambda e_1 + 0e_2 + \ldots + 0e_n; \\ A(e_2)=\lambda e_2 = 0e_1 + \lambda e_2 + \ldots + 0e_n; \\ \ldots \\ A(e_n)=\lambda e_n = 0e_1 + 0e_2 + \ldots + \lambda e_n. \end{gathered}$$ Тогда$$A'=A= \begin{pmatrix} \lambda 0 \ldots 0 \\ 0 \lambda \ldots 0 \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \\ 0 0 \ldots \lambda \end{pmatrix}.$$

Пример 4. Если $$\forall х \in R_{n}$$ преобразование А переводит вектор х сам в себя А(х) = х, то такое преобразование тоже линейно, называется тождественным и обозначается Е$$\begin{gathered} A(e_1)=e_1=1\times e_1+0e_2+\ldots+0e_n; \\ A(e_2)=e_2=0e_1+1\times e_2+\ldots+0e_n; \\ \ldots \\ A(e_1)=e_1=0e_1+0e_2+\ldots+1\times e_n. \end{gathered}$$

Таким образом, матрица тождественного преобразования Е в любом базисе есть единичная матрица$$A'=A=E= \begin{pmatrix} 1 0 \ldots 0 \\ 0 1 \ldots 0 \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \\ 0 0 \ldots 1 \end{pmatrix}.$$

Пример 5. Если $$\forall х \in R_{n}$$ преобразование А переводит вектор х в нулевой А(х) = 0, то такое преобразование является линейным и называется нулевым.$$\begin{gathered} A(e_1)=0e_1=0e_1+0e_2+\ldots+0e_n; \\ A(e_2)=0e_2=0e_1+0e_2+\ldots+0e_n; \\ \ldots \\ A(e_n)=0e_n=0e_1+0e_2+\ldots+0e_n. \end{gathered}$$

Матрица нулевого преобразования в любом базисе есть нулевая матрица V:$$V= \begin{pmatrix} 0 0 \ldots 0 \\ 0 0 \ldots 0 \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \\ 0 0 \ldots 0 \end{pmatrix}.$$