Линейная зависимость векторов. Размерность и базис линейного пространства. Линейные операции в координатах

Линейная зависимость векторов. Размерность и базис линейного пространства

Определение 6. Векторы а1, а2, ..., ак линейного пространства называются линейно зависимыми, если существуют такие числа $$\alpha _{1}, \alpha _{2}, \dots , \alpha _{к}$$, не равные одновременно нулю, при которых выполняется:$$\alpha_1 a_1+\alpha_2 a_2+...+\alpha_k a_k = 0.$$

Определение 7. Если равенство (8.1) выполнимо лишь при всех $$\alpha i = 0$$, то векторы а1, а2, ..., ак называются линейно независимыми.

Определение 8. Если имеет место равенство $$\alpha _{1}а_{1} + \alpha _{2}а_{2} + \dots + \alpha _{к}а_{к} = b$$, то говорят, что вектор b является линейной комбинацией векторов а1, а2, ..., ак, или линейно выражается через эти векторы.

Заметим, что если векторы а1, а2, ..., ак линейно зависимы, то тогда, по крайней мере, один из векторов может быть линейно выражен через остальные. Это вытекает из самого определения 6, так как, если хотя бы один из $$\alpha i \ne 0$$, то на него можно выполнить деление остальных $$\alpha _{к}$$ и тогда будем иметь $$\beta _{1}а_{1} + \beta _{2}а_{2} + \dots + \beta _{к}а_{к} = а_{i}$$, где $$\beta _{1}=-\alpha _{1}/\alpha _{i}; \beta _{2} = -\alpha _{2}/\alpha _{i}; \dots ; \beta _{к}= -\alpha _{к}/\alpha _{i}$$. Верно и обратное утверждение, что если один из векторов линейно выражается через остальные, то все эти векторы в совокупности линейно зависимы.

Заметим, что если векторы a и b не коллинеарны или a, b и c не компланарны, то такие векторы являются линейно независимыми соответственно на плоскости или в пространстве.

Покажем это на примере трех некомпланарных векторов ), т.е. хотя векторы a, b и c не компланарны, но вектор a линейно выражается через два других b и c, что говорит (по определению 8) о их линейной зависимости. Из этого следует, что вектор a должен быть линейно независим с векторами b и c. Интересно, что в трехмерном пространстве любые четыре пространственных вектора будут линейно зависимыми.

Два ненулевых вектора a и b ортогональны, если они перпендикулярны (проекция вектора a на b и проекция вектора b на a равны нулю). Тогда записывают $$a\perp b$$. Такие векторы всегда линейно независимы.

Если ненулевые векторы a, b и c попарно ортогональны $$(a\perp b, b\perp c, a\perp c)$$, то тогда они образуют тройку линейно независимых векторов.

Определение 9. Рангом системы векторов называется максимальное количество ее линейно независимых векторов.

Определение 10. Линейное пространство называется n -мерным, если в нем можно найти n линейно независимых векторов, а всякая система, состоящая из большего количества векторов, является линейно зависимой в этом пространстве.

Например, векторы, лежащие на одной прямой, образуют одномерное пространство, в котором только один независимый вектор, а все остальные могут быть выражены линейными соотношениями через него. На плоскости множество векторов образует двумерное пространство, т.е. в этом пространстве определены только два независимых вектора.

Определение 11. Если пространство имеет конечное множество линейно независимых векторов, то его называют конечномерным, а если в нем можно найти сколь угодно много линейно независимых векторов, то - бесконечномерным.

Определение 12. Совокупность n линейно независимых единичных векторов n -мерного пространства называют базисом n -мерного пространства.

Заметим, что через базисные векторы могут быть выражены любые другие векторы, определяемые в данном базисе.

Теорема. Каждый вектор х линейного n -мерного пространства можно представить, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации векторов базиса.

Доказательство теоремы состоит из двух частей. Сначала мы докажем возможность выразить любой произвольный вектор через базис линейного пространства, а затем, что разложение произвольного вектора по данному базису единственное.

Пусть произвольный базис n -мерного пространства R и некоторый произвольный вектор $$x \in R$$. Так как каждые n + 1 векторов n -мерного пространства R линейно зависимы (определение 6), то система, которую образуют векторы l1, l2, ..., ln и x должна быть линейно зависимой. А это значит, что выполняется равенство$$\alpha_1 l_1+\alpha_2 l_2+\ldots+\alpha_n l_n +\alpha x=0,$$ где $$\alpha _{1}, \alpha _{2}, \dots , \alpha _{n}, \alpha$$ - числа одновременно не равные нулю. При этом ясно, что $$\alpha \ne 0$$, так как в противном случае хотя бы одно из чисел $$\alpha _{1}, \alpha _{2}, \dots , \alpha _{n}$$ не равнялось бы нулю и тогда равенство (8.2) имело бы вид$$\alpha_1 l_1+\alpha_2 l_2+\ldots+\alpha_n l_n =0,\; \alpha_i \ne 0,$$ что, в свою очередь, показывало бы линейную зависимость базисных векторов. Выразим x из равенства (8.2), разделив на $$\alpha$$ коэффициенты при li и перенеся их в правую часть. После выполнения указанных преобразований имеем$$x=-\frac{\alpha_1}{\alpha}l_1-\frac{\alpha_2}{\alpha}l_2-\ldots-\frac{\alpha_n}{\alpha}l_n.$$

Положим $$х_{i} = -\alpha _{i}/\alpha$$. Тогда$$x=x_1 l_1+x_2 l_2+\ldots+x_n l_n.$$

Докажем теперь, что разложение (8.4) вектора x по данному базису l1, l2, ..., ln единственное. Предположим, что вектор x в пространстве R имеет два различных разложения$$x=x_1 l_1+x_2 l_2+\ldots+x_n l_n \quad \text{и} \quad x=\widetilde{x}_1 l_1+\widetilde{x}_2 l_2+\ldots+\widetilde{x}_n l_n.$$

Тогда вычтем из одного равенства другое, и так как в левых частях равенства стоит один и тот же вектор, то получим$$0=(x_1-\widetilde{x}_1)l_1+(x_2-\widetilde{x}_2)l_2+\ldots+(x_n-\widetilde{x}_n)l_n,$$ следовательно, имеем систему$$\left. \begin{aligned} x_1-\widetilde{x}_1=0 \\ x_2-\widetilde{x}_2=0 \\ \ldots \\ x_n-\widetilde{x}_n=0 \end{aligned} \right\} \Rightarrow x_1 =\widetilde{x}_1; x_2=\widetilde{x}_2;\ldots;x_n=\widetilde{x}_n.$$

Последнее выражение полностью доказывает теорему.

Определение 13. Числа х1, х2, ..., хn в разложении (8.4) вектора x по базису l1, l2, ..., ln называют координатами вектора в этом базисе и обозначают как х = (х1, х2, ..., хn).

Линейные операции в координатах

В лекции 4, уже рассматривались линейные операции над векторами, такие как сложение, вычитание и умножение. Эти операции определяются следующей теоремой.

Теорема. При умножении вектора на число каждая из его координат умножается на это число, а при сложении складываются соответствующие координаты.

Доказательство. Пусть даны два произвольных вектора x и y и некоторое произвольное число $$\alpha \ne 0$$. Разложим векторы по базису l1, l2, ..., ln, получим x=x1l1+x2l2+...+xnln и y=y1l1+y2l2+...+ynln и найдем произведение $$\alpha x$$

и сумму x + y

x+y = (x1l1+x2l2+...+xnln)+(y1l1+y2l2+...+ynln)=
=(x1+y1)l1+(x2+y2)l2+...+(xn+yn)ln =>
=> x+y = [(x1+y1);(x2+y2);...;(xn+yn)].

Доказанная теорема очень важна в математике, так как из нее следует признак линейной зависимости и независимости векторов. Покажем это. Пусть в некотором n -мерном пространстве R задана система векторов:$$\left\{ \begin{gathered} x_1=(x_{11},x_{12},\ldots,x_{1n}); \\ x_2=(x_{21},x_{22},\ldots,x_{2n}); \\ \ldots \\ x_m=(x_{m1},x_{m2},\ldots,x_{mn}). \end{gathered} \right.$$

Умножим каждый из векторов на некоторое число $$\alpha _{i}$$ и сложим их все друг с другом. В результате получим линейную комбинацию этих же векторов, которая является новым вектором, равным, по определению 12, нулю$$\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \ldots + \alpha_m x_m = 0.$$

Распишем систему (8.6) в координатной форме$$\alpha_1 \begin{pmatrix} x_{11} \\ x_{12} \\ \vdots \\ x_{1n} \end{pmatrix} +\alpha_2 \begin{pmatrix} x_{21} \\ x_{22} \\ \vdots \\ x_{2n} \end{pmatrix} +\ldots+\alpha_m \begin{pmatrix} x_{m1} \\ x_{m2} \\ \vdots \\ x_{mn} \end{pmatrix} =0,$$ откуда следует однородная система уравнений$$\left\{ \begin{gathered} x_{11}\alpha_1+x_{21}\alpha_2+\ldots+x_{m1}\alpha_m = 0; \\ x_{12}\alpha_1+x_{22}\alpha_2+\ldots+x_{m2}\alpha_m = 0; \\ \ldots \\ x_{1n}\alpha_1+x_{2n}\alpha_2+\ldots+x_{mn}\alpha_m = 0, \end{gathered} \right.$$ из коэффициентов которой составляют матрицу$$M= \begin{pmatrix} x_{11} x_{21} \ldots x_{m1} \\ x_{12} x_{22} \ldots x_{m2} \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \\ x_{1n} x_{2n} \ldots x_{mn} \end{pmatrix}.$$

Равенство (8.7) эквивалентно равенствам (8.6) и (8.8). На основании теоремы можно утверждать, что векторы системы (8.5) линейно независимы тогда и только тогда, когда однородная система (8.8) имеет единственное нулевое решение, что на практике обозначает, что ранг матрицы (8.9) равен количеству векторов системы m.