Одновременные уравнения. Методы идентификации

7.1. Уравнения со случайными объясняющими переменными

Предположим, что в регрессионной модели (3.1)

$$x_{i} = (x_{i1}, x_{i2}, \dots , x_{i}N)^{T}$$ - столбец, состоящий из значений $$i$$-й случайной переменной в $$N$$ наблюдениях; $$u$$ - номер наблюдения $$(u = 1, 2, \dots , N); \beta _{i} (i = 0, 1, \dots , k)$$ - теоретические значения коэффициентов модели; $$\varepsilon _{u}$$ - ошибка в $$u$$-м наблюдении.

Ранее считалось, что значения объясняющих переменных $$X_{iu}$$ постоянные, т.е. не изменились бы при проведении новой серии из $$N$$ экспериментов. Но при этом повторении изменились бы случайные ошибки $$eu$$, а следовательно, и результирующая переменная $$y_{u}$$.

Необходимость рассмотрения уравнений со случайными объясняющими переменными обусловлена тем, что при исследовании временных рядов многие объясняющие переменные сами представляют временной ряд и предполагать их полную предсказуемость (детерминированность) было бы неверно.

Возможность применения обычного метода наименьших квадратов (МНК) в этом случае зависит от наличия корреляции между объясняющими переменными $$X_{iu}$$ и случайными ошибками $$\varepsilon _{u}$$. Если корреляция отсутствует, то применение МНК дает несмещенные и состоятельные оценки коэффициентов регрессии $$\beta _{i} (i = 0, 1, \dots , k)$$. Доказательство этого факта является простым обобщением соответствующего доказательства для детерминированного случая. Однако если объясняющие переменные коррелируют с ошибками регрессии в прошлых наблюдениях, то доказательство состоятельности оценок коэффициентов становится неверным. Более того, если объясняющие переменные коррелируют с ошибками регрессии в текущих наблюдениях, то нарушается и свойство несмещенности оценок МНК.

Существует ряд причин возникновения в экономических моделях зависимости между объясняющими переменными $$X_{iu}$$ и случайными ошибками $$\varepsilon _{u}$$. Например, какой-либо фактор может одновременно влиять на поведение случайной ошибки и объясняющей переменной.

Предположим, что строится линейная модель прогноза будущих розничных цен на некоторый сельскохозяйственный продукт после переработки, например, на подсолнечное масло. При этом в качестве единственной объясняющей переменной принимается средняя оптовая закупочная цена на семена подсолнечника. Очевидно, что урожайность подсолнечника является случайной величиной, которая изменяется от года к году и влияет и на оптовую закупочную цену семян подсолнечника и на отклонение фактической розничной цены в данном году от расчетной модельной розничной цены, учитывающей только размер закупочных цен. Данное отклонение отражает такие неучтенные факторы рынка, как повышенный спрос в связи с неурожаем, или незначительное снижение, или даже рост розничных цен на монопольном рынке при хорошем урожае подсолнечника. При среднем урожае закупочные цены будут средними и ошибка модели минимальна, при плохом и хорошем урожае будут как изменяться закупочные цены, так и возрастать ошибки модели.

Довольно часто причиной корреляции между факторами и ошибками уравнения регрессии является неправильное измерение объясняющих переменных. В модель подставляются не истинные, а искаженные наблюдения. Ошибка наблюдения в модели в таком случае состоит из двух слагаемых: ошибок регрессии и ошибок при расчете факторов. Отсюда коррелированность факторов и ошибок модели, величина которой тем больше, чем больше дисперсия ошибок расчета факторов.

Для устранения возникающих трудностей построения уравнения регрессии при наличии коррелированности факторов и ошибок модели используют метод инструментальных переменных.

7.2. Метод инструментальных переменных

Сущность метода состоит в замене объясняющих переменных, для которых нарушаются предположения МНК, на некие новые переменные, для которых эти предположения выполняются. Фактически происходит признание того, что выбраны не совсем удачные переменные, и предпринимается попытка исправить эту ошибку. Новые инструментальные переменные должны коррелировать со старыми переменными, но быть независимыми от ошибок модели.

Рассмотрим упрощенную кейнсианскую модель формирования доходов в закрытой экономике без государственного вмешательства:

(7.1)

где

Коэффициент $$b$$ называют склонностью к потреблению. Конечно, в более полных моделях этот коэффициент зависит от многих факторов, например от ставки банковского процента или уровня инфляции, но в данной модели будем считать его постоянным.

После подстановки первого уравнения во второе получаем значение выпуска в любой момент времени

(7.2)

Из уравнения (7.2) следует, что при увеличении объема инвестиций $$It$$ на единицу совокупный выпуск возрастает на единиц. Это и есть знаменитый мультипликатор Кейнса. Однако величина $$Yt$$ зависит еще и от случайной составляющей $$\varepsilon t$$, и при изменении потребления$$ Сt$$ в данном году $$t$$ на случайную величину $$\varepsilon t$$ совокупный выпуск $$Yt$$ изменяется на Таким образом, в первом уравнении модели (7.1) объясняющая переменная $$Yt$$ автоматически оказывается коррелированной со случайным членом $$\varepsilon t$$. При этом нарушается четвертое условие Гаусса - Маркова, и МНК-оценки коэффициентов$$ а, b$$ будут смещенными, а расчет средних квадратических отклонений коэффициентов - некорректным.

Инструментальной переменной в данном случае следует выбрать объем инвестиций $$It$$, который не коррелирует со случайными ошибками модели потребления $$It$$, но при этом тесно коррелирует с совокупным выпуском $$Yt$$. Подставляя в системе (7.1) второе уравнение в первое и проводя упрощения, получаем:

(7.3)

Для уравнения (7.3) корреляция между вторым и третьим слагаемыми отсутствует и МНК становится применим. В результате применения МНК получаем несмещенные и состоятельные оценки коэффициентов После этого получить исходные коэффициенты $$a$$ и $$b$$ не составит особого труда.

7.3. Структурная и приведенная формы системы одновременных уравнений

В кейнсианской модели (7.1) переменная $$I_{t}$$ и переменные $$Y_{t}$$ и$$ С_{t}$$ существенно различаются. Первая переменная формируется под воздействием внешних факторов, большинство из которых относится к политической надстройке, создающей условия для роста инвестиций, и называется экзогенной переменной. Остальные переменные модели определяются из уравнений (7.1), т.е. внутри модели, и называются эндогенными переменными.

Набор экзогенных переменных может быть различным, например, процентная ставка, денежная масса, временной тренд (переменная времени $$t$$) и др. Дело в том, что экзогенные переменные никогда не коррелируют с ошибками модели, тогда как эндогенные переменные, как правило, коррелируют.

Различают структурную и приведенную формы систем уравнений. Структурная представляет собой исходную форму записи системы уравнений, в правых частях которой присутствуют как экзогенные, так и эндогенные переменные. Чтобы получить приведенную форму системы уравнений, следует выразить каждую эндогенную переменную через экзогенные переменные и случайные ошибки. Следовательно, число уравнений приведенной системы совпадает с числом эндогенных переменных модели. Такую процедуру мы проделали для переменной$$ С_{t}$$ в уравнении (7.3). Аналогичную процедуру проведем для второй эндогенной переменной $$Y_{t}$$ и получим приведенную форму кейнсианской модели (7.1)

(7.4)

Если система уравнений помимо экзогенных и эндогенных переменных содержит еще и значения эндогенных переменных, полученные в предыдущие периоды времени, то такие значения называют лаговыми переменными, или предопределенными переменными. Тогда в приведенной форме системы следует выражать эндогенные переменные через экзогенные и лаговые переменные.

Модернизируем кейнсианскую модель, предполагая, что даже при сильных изменениях совокупного продукта обществу будет трудно сразу приспособиться к новому уровню потребления и большую роль при этом будет играть сложившийся в прошлые периоды стереотип потребления. То есть предположим, что функция потребления имеет вид

В рассматриваемый период времени $$t$$ уровень потребления в прошлый период времени считается известным, поэтому переменная$$ С_{t - 1}$$ является предопределенной. Приведенная форма модернизированной кейнсианской модели будет содержать в правой части переменные$$ С_{t - 1}$$ и $$I_{t}$$.

7.4. Косвенный и двухшаговый методы наименьших квадратов и проблема идентифицируемости

Коэффициенты уравнений, входящие в структурную систему уравнений, можно разделить на две группы: подлежащие определению и заранее известные из исходных теоретических предположений о модели. В системе (7.1) первое уравнение системы содержит подлежащие определению структурные коэффициенты $$a$$ и $$b$$, а второе - представляет тождество с заранее известными двумя коэффициентами, равными единице.

Метод, с помощью которого мы выше определили неизвестные структурные коэффициенты модели, называется косвенным методом наименьших квадратов. Суть его состоит в том, что сначала систему структурных уравнений преобразуют к приведенной форме. Затем коэффициенты приведенной формы рассчитывают по методу наименьших квадратов, и наконец, находят структурные коэффициенты из соотношений, связывающих приведенные и структурные коэффициенты уравнений.

Запишем приведенную систему уравнений (7.3) в несколько ином виде

(7.6)

где

Итак, существует по крайней мере два способа расчета коэффициентов $$a$$ и $$b$$. Первый способ состоит в использовании для расчета коэффициентов $$\alpha _{1}$$ и $$\alpha _{2}$$:

(7.7)

Второй способ позволяет получить несколько иные коэффициенты. При этом для расчетов используют следующие формулы:

(7.8)

Расчеты по формулам (7.7) и (7.8) могут случайно дать одинаковый результат. Но косвенный метод наименьших квадратов дает для простейшей кейнсианской модели (7.1) несколько вариантов расчета структурных коэффициентов модели. Такая ситуация называется сверхидентифицируемостью. Приведем соответствующие определения.

Структурный параметр (коэффициент структурного уравнения системы) называется идентифицируемым, если он однозначно определяется с помощью косвенного метода наименьших квадратов, т.е. существует единственная формула, связывающая этот коэффициент с коэффициентами приведенной формы. Уравнение структурной системы называется идентифицируемым, если все входящие в него структурные коэффициенты идентифицируемы.

Структурный параметр называется неидентифицируемым, если не существует формула расчета этого коэффициента через коэффициенты приведенной формы модели.

Структурный параметр называется сверхидентифицируемым, если существует несколько формул расчета этого коэффициента через коэффициенты приведенной формы модели.

Необходимое условие идентификации формулируется следующим образом.

Пусть $$k$$ - число предопределенных переменных отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе уравнений; $$r$$ - число эндогенных переменных в рассматриваемом уравнении. Тогда:

при $$k + 1 = r$$ - коэффициенты уравнения идентифицируемы;

при $$k + 1 < r$$ - коэффициенты уравнения неидентифицируемы;

при $$k + 1 > r$$ - коэффициенты уравнения сверхидентифицируемы.

Однозначный метод определения коэффициентов структурной модели в случае сверхидентифицируемости дает двухшаговый метод наименьших квадратов. Он состоит из следующих этапов:

Для простейшей кейнсианской модели (7.1) двухшаговый МНК означает:

Контрольные вопросы