Лабораторная работа № 7: Сглаживание временного ряда

Требуется сгладить временной ряд методами:

простой скользящей средней;

взвешенной средней:

выбором весов в разложении бинома;

с выбором весов из уравнения квадратичной регрессии;

простой экспоненциальной средней.

Отчет по лабораторной работе № 7

Задан ряд показателей урожайности зерновых культур в целом по России (ц/га) за 1984-1999 гг.: 15,6; 17,6; 16,4; 15,6; 17,6; 20,3; 15,8; 18,8; 17,9; 15,6; 12,5; 14,0; 17,8; 10,4; 10,6.

Метод простой скользящей средней. Сглаживание производится по формуле (6.2)

Выберем ширину интервала сглаживания $$m = 5, k = 2$$.

Расчеты будем проводить по рекуррентной формуле

Но вначале найдем Y(3):

Тогда:

$$ Y(4) = Y(3) + 1/5(X(6) - X(1)) = 16,56 + 1/5(20,3 - 15,6) = 17,5;\\ Y(5) = Y(4) + 1/5(X(7) - X(2)) = 17,5 + 1/5(15,8 - 17,6) = 17,14;\\ Y(6) = Y(5) + 1/5(X(8) - X(3)) = 17,14 + 1/5(18,8 - 16,4) = 17,62;\\ 7) = Y(6) + 1/5(X(9) - X(4)) = 17,62 + 1/5(17,9 - 15,6) = 18,08;\\ Y(8) = Y(7) + 1/5(X(10) - X(5)) = 18,08 + 1/5(15,6 - 17,6) = 17,68;\\ Y(9) = Y(8) + 1/5(X(11) - X(6)) = 17,68 + 1/5(12,5 - 20,3) = 16,12;\\ Y(10) = Y(9) + 1/5(X(12) - X(7)) = 16,12 + 1/5(14,0 - 15,8) = 15,76;\\ Y(11) = Y(10) + 1/5(X(13) - X(8)) = 15,76 + 1/5(17,8 - 18,8) = 15,56;\\ Y(12) = Y(11) + 1/5(X(14) - X(9)) = 15,56 + 1/5(10,4 - 17,9) = 14,06;\\ Y(13) = Y(12) + 1/5(X(15) - X(10)) = 14,06 + 1/5(10,6 - 15,6) = 13,06.$$

Полученные результаты запишем в таблицу.

Методы взвешенной средней. В случае биномиального сглаживания расчет производится по формулам 6.4-6.7.

При $$m = 5, k = 2$$

$$a_{–2} = 1/16; a_{–1} = 1/4; a_{0} = 3/8; a_{1} = 1/4; a_{2} = 1/16.$$

Тогда:

и т.д. Наконец,

Результаты вычислений заносим в четвертую графу таблицы.

В современных вычислительных пакетах сглаживание по биному не представляет труда. Например, в пакете STATISTICA программа сглаживания нашего ряда выглядит следующим образом:

RandomAccess;

			For i: = 3 to 13 do
			begin
			V(i, 4): = (1/16) · V(i - 2,2) + (1/4) · V(i - 1,2) + (3/8) · V(i, 2) + (1/4) · V(i + 1,2) + (1/16) · V(i + 2,2);
		end.

Для расчета сглаженных средних по квадратичной регрессии используется та же формула, но с другими весами (см. (6.10).

$$a_{r} = -3/35; 12/35; 17/35; 12/35; -3/35, m = 5, k = 2, r = -2; -1; 0; 1; 2.$$

Тогда:

и т.д. Наконец,

Кроме того, используя формулы (6.14)-(6.21), рассчитаем $$Y(1), Y(2), Y(14), Y(15)$$:

$$a = Z(0) = Y(3) = 16,503,$$ $$Y(1) = a - 2b + 4c = 16,217,\\ Y(2) = a - b + c = 16,331;\\ a = Y(n - 2) = Y(13) = 15,031,$$ $$Y(14) = a + b + c = 14,786,\\ Y(15) = a + 2b + 4c = 12,569.$$

Результаты расчетов занесем в пятую графу таблицы.

Метод простой экспоненциальной средней. Выберем $$\alpha = 0,2$$ (середину интервала [0; 0,3]). Заметим, что, пользуясь пакетом STATISTICA, следует выбирать оптимальное a из интервала [0; 1]. Для расчета $$Y(t)$$ применим рекуррентную формулу (6.24)

$$Y(t) = \alpha X(t) + (1 - a)Y(t - 1), 0 < \alpha < 1, Y(1) = X(1) = 15,6.$$

Получаем:

$$Y(2) = 0,2X(2) + 0,8Y(1) = 16,0;\\ Y(3) = 0,2X(3) + 0,8Y(2) = 16,0.$$

и т.д. Результаты занесем в шестую графу таблицы.

Таблица 1

Результаты сглаживания представим в виде графика.

(рис 1)

Как можно видеть из рисунка, качество сглаживания всех методов удовлетворительное. Но в целях дальнейшего прогноза ряда метод экспоненциального сглаживания представляется более предпочтительным.