Прогнозирование экономических процессов (ПЭП) представляет собой разработку прогнозов поведения экономических процессов на основе научных методик познания их сущности и использования всей совокупности методов, средств и способов теории прогнозирования. Теория прогнозирования (прогностика) - прикладная научная дисциплина, изучающая закономерности и способы разработки прогнозов развития объектов любой природы.
Основным содержанием ПЭП является качественный и количественный анализ реальных экономических процессов, выявления объективных условий, факторов и тенденций развития на основе трех основных принципов разработки прогнозов:
Системность прогнозов означает, что явление рассматривается, с одной стороны, как единое целое, а с другой - как совокупность относительно самостоятельных подходов к прогнозированию экономического процесса. Реализация этого принципа на практике предполагает создание моделей, которые бы соответствовали содержанию каждого отдельного блока и вместе с тем позволяли построить целостную картину возможного экономического развития объекта в будущем. Например, проблему прогнозирования урожайности сельскохозяйственной культуры можно решить, смоделировав несколько отдельных блоков производственного процесса выращивания сельскохозяйственной культуры. Сначала моделируется процесс высева, с учетом конструкционных особенностей высевающего агрегата. Затем с учетом качества почвы, глубины заделки, качества посевного материала, взаимного расположения семян моделируется процесс прорастания. Далее моделируется технологический блок выживания растений вплоть до уборки урожая. И, наконец, моделируется процесс уборки урожая в зависимости от способа уборки, наличия и состояния уборочной техники, при различных вариантах развития погодных условий.
Адекватность прогнозирования предполагает соответствие, максимальное приближение теоретических моделей к реальным производственно-экономическим процессам. Оценку адекватности моделей проводят с учетом возможных случайных отклонений, величины рассеивания результатов реальных процессов при заданных внешних условиях. Модель считается адекватной, если результаты расчетов находятся в области рассеивания результатов реального процесса.
Альтернативность прогнозирования связана с возможностью развития производственного процесса по разным направлениям, при разных взаимосвязях и структурных соотношениях. Практическая реализация этого принципа состоит в выявлении вероятных вариантов развития и отказа от тех вариантов, которые в данных условиях не могут быть реализованы.
Названные принципы лежат в основе конкретных методов ПЭП. Методом прогнозирования называется способ исследования объекта прогнозирования, направленный на разработку прогнозов.
Модель прогнозирования представляет собой модель исследуемого объекта, записанную в математической форме (аналитическом виде), в виде алгоритма поведения, компьютерной программы и позволяющую получить информацию о возможных состояниях объекта в будущем. При построении модели могут использоваться несколько методов. Например, для прогноза урожайности зерновых культур по России можно с разной степенью достоверности использовать методы распознавания образов (дискриминантный анализ, кластерный анализ), регрессионные методы (метод наименьших квадратов (МНК), метод минимизации суммы модулей, метод со штрафом за ошибки в знаке предсказания, гребневую регрессию, знаковую регрессию и другие методы).
Большинство используемых для прогнозирования методов исходят из основных предположений о том, что:
Последнее свойство обусловливает целесообразность применения статистических методов прогнозирования, компьютерного моделирования, которые при необходимости могут дополняться другими методами (экспертных оценок, подобия и размерности и др.).
Процесс прогнозирования, опирающийся на статистические методы, распадается на два основных этапа:
При анализе временных рядов, т.е. последовательности значений случайной величины $$X(t)$$, без специальных методов часто невозможно определить, в каком направлении развивается процесс: наблюдается тенденция возрастания или падения или значения колеблются вокруг определенного уровня. Также требуется анализ, позволяющий выявить причины варьирования уровней ряда динамики. Такой анализ проводится методами теории случайных процессов.
Случайные процессы представляют собой семейство случайных величин $$X(t)$$, зависящих от одного параметра $$t$$, чаще всего времени.
Основными характеристиками случайного процесса являются:
В каждый момент времени $$t$$ случайный процесс может иметь ряд значений, образующих вектор значений процесса $$X(t)$$
 |
(5.2) |
| где | $$k$$ | - | число реализаций этого процесса. |
Вектор $$X(t)$$ называется сечением процесса $$X(t)$$ в момент времени $$t$$. Сечение процесса - случайная величина.
есть неслучайная функция
 |
(5.2) |
Таким образом, $$m_{x}(t)$$ - обычная функция, вокруг которой колеблются значения реализаций процесса. Например, при нивелировании первого класса производится восемь независимых измерений (реализаций) процесса на каждом шаге $$j = 1, 2, \dots, N$$. Математическим ожиданием этого процесса является среднее значение
| где | $$N$$ | - | число измерений. |
$$Дисперсией случайного процесса$$ называют неслучайную функцию
| $$D_{x}(t) = M[X(t) - m_{x}(t)]^{2}.$$ | (5.3) |
Величина $$D_{x}(t)$$ характеризует средний размах квадрата колебаний значений процесса вокруг $$m_{x}(t)$$. Важнейшим показателем процесса является$$ автокорреляционная функция (АКФ)$$.
 |
(5.4) |
АКФ является коэффициентом корреляции между двумя сечениями процесса $$X(t_{1})$$ и $$X(t_{2})$$. Поэтому $$|\rho (t_{1}, t_{2})| <= 1$$, причем $$\rho (t_{1}, t_{1}) = \rho (t_{2}, t_{2}) = 1$$.
Случайные процессы делятся на стационарные и нестационарные. Для стационарного процесса должны выполняться следующие условия:
| $$M(X(t)) = const;$$ | (5.5) |
| $$D_{x}(t) = const;$$ | (5.6) |
| $$\rho (t_{1}, t_{2})=\rho (t_{2} - t_{1}).$$ | (5.7) |
Таким образом, для стационарных процессов АКФ зависит только от расстояния между значениями аргументов $$t_{1}$$ и $$t_{2}$$, а не от места расположения этих значений.
Как было сказано выше, стационарный и нестационарный процессы отличаются друг от друга автокорреляционной функцией. Чтобы найти эту функцию, вычисляют коэффициенты корреляции $$r_{i}$$ между рядами $$X(t); t = i, i + 1, \dots, n$$ и $$X(t - i); t = 1, 2, \dots, n - i$$. Значения $$r_{i}$$, нанесенные на плоскость с осями $$i$$ и $$r$$ и соединенные ломаной, называются коррелограммой. Последовательность $$\{r_{i}\}$$ дает весьма глубокое представление о внутренней структуре процесса $$X(t)$$. Выпишем рабочую формулу для расчета $$r_{i}$$.
Пусть
 |
(5.8) |
тогда
 |
(5.9) |
После упрощений получаем
 |
(5.10) |
В случае запаздывания на $$l$$ шагов по времени имеем
 |
(5.11) |
 |
(5.12) |
Необходимо заметить, что с увеличением запаздывания $$l$$, объем выборки по которой вычисляется, $$r_{l}$$ уменьшается и равен $$n - l$$. При небольших $$n$$ это приведет к тому, что лишь большие по абсолютной величине значения $$r_{l}$$ будут значимыми (например, при $$n = 12$$ и уровне значимости $$a = 0,05$$ только $$r_{1} > 0,576$$ оказывается значимым). Поэтому запаздывания $$l$$ берут такими, чтобы $$n - l$$было достаточно велико для вычисления значимых $$r_{l}$$. На практике обычно берут $$l <= n/4$$. После вычисления $$rl$$чертится коррелограмма и проводится ее анализ. Он оказывается весьма полезным при изучении закономерностей развития, описываемого временным рядом.
Интерпретация коррелограмм требует определенного навыка и не всегда легко осуществима. Рассмотрим несколько примеров динамики временного ряда и соответствующие им коррелограммы.
Нестационарный ряд. Если ряд имеет тренд и относительно небольшие колебания вокруг него или существует явная зависимость между прошлым и будущим ряда (рис. 5.1а), коррелограмма при тенденции ряда к росту показывает убывание положительных $$r_{l}$$ при возрастании $$l$$ (рис. 5.1б).
(рис 5.1)
Причем для моделирования процесса важно выяснить характер убывания $$rl$$ к нулю. Если убывание носит линейный или степенной характер, то такие ряды имеют "долговременную память". К таким рядам, как показали исследования, относятся ряды урожайностей сельскохозяйственных культур, ряды годовых стоков рек и др. Если же убывание быстрое, носит экспоненциальный характер, то такие ряды имеют "кратковременную память" и могут быть описаны моделями автокорреляции - скользящего среднего (модели Бокса - Дженкинса).
$$Полностью случайный ряд (белый шум)$$. В этом случае наблюдаются незначимые, малые значения rl, близкие к нулю.
$$Краткосрочные корреляции$$. Коррелограмма стационарного ряда показывает несколько высоких по абсолютной величине значений $$r_{l}, l <= L$$, остальные $$r_{l}$$ при $$l > L$$близки к нулю. Этот случай может быть описан моделью авторегрессии порядка $$L$$ (рис. 5.2).
(рис 5.2)
Стационарный процесс. Значения процесса колеблются вокруг определенного уровня, размах колебаний не увеличивается и не уменьшается с течением времени. В этом случае коррелограмма показывает чередование затухающих положительных и отрицательных последовательных значений $$r_{l}$$ (рис. 5.3).
(рис 5.3)
Временные ряды с периодической компонентой. В этом случае на коррелограмме после периода затухания появляется одно или несколько сравнительно больших по абсолютной величине значений $$r_{l}$$ (рис. 5.4).
(рис 5.4)
Процесс выделения тренда (выравнивание ряда) включает в себя три этапа:
На практике используется несколько приемов, позволяющих подобрать соответствующую (адекватную) действительности форму кривой.
Первый прием - визуальный - является наиболее простым. Форма кривой выбирается на основе графического изображения временного ряда, формы его корреляционного поля. Корреляционным полем временного ряда $$X(t)$$ называется множество точек $$(t, X(t))$$ на плоскости $$(t, OX)$$. Однако при этом есть риск субъективного и произвольного выбора. Результат выбора зависит от масштаба графического изображения. Но при относительно простых конфигурациях корреляционного поля и незначительных отклонениях (помехах) от тенденции развития визуальный подход дает вполне приемлемые результаты. Для уменьшения субъективизма следует привлекать по возможности всю информацию об исследуемом процессе, в том числе о внутренней структуре и движущих силах процесса.
Второй прием заключается в вычислении последовательных разностей
 |
(5.13) |
Порядок разностей, при котором они становятся примерно одинаковыми, берется в качестве степени аппроксимирующего (выравнивающего) многочлена. Так, если малыми оказываются первые разности $$\{\Delta _{i}^{(1)}\}, i = 2, 3, \dots , n$$, то для выравнивания берется многочлен первой степени $$X(t) = a + bt$$, если малы разности второго порядка $$\{\Delta _{i}^{(2)}\}$$, то $$X(t) = a + bt + ct^{2}$$ и т.д.
Ясно, что такой прием не универсален и может использоваться при подборе кривых, описываемых многочленами. Если уравнение кривой путем некоторого преобразования (обычно путем логарифмирования) можно свести к многочлену, то его можно применить и в этом случае. Однако при этом необходимо следить уже не за постоянством величины конечных разностей (5.13), а за их преобразованными значениями.
Например, уравнение гиперболы $$X(t) = a + b/t$$ можно считать многочленом первой степени от функции $$1/t$$. Кроме того, путем логарифмирования к линейному виду можно преобразовать такие функции, как
$$X(t) = ae^{bt} \to ln X(t) = lna + bt,\\ X(t) = ae^{b/t} \to ln X(t) = lna + b/t,\\ X(t) = ae^{bt + c2} \to ln X(t) = lna + bt + ct2.$$В таблице 5.1 приведены уравнения кривых, их графики, критерии, по которым эти кривые выбираются, а также системы нормальных уравнений метода наименьших квадратов (МНК) для нахождения коэффициентов этих кривых.
Данный подход менее субъективен, так как после визуального выбора кривой с использованием графиков следует проверка ее соответствия временному ряду по критерию выбора кривой (см. табл. 5.1).
| Уравнение кривых | График кривых | Критерий выбора кривой | Система нормальных уравнений МНК |
 |
 |
 |
 |
Часто используются другие критерии отбора. Обычно в качестве критерия принимают сумму квадратов отклонений фактических значений от расчетных, полученных выравниванием. Выбирается кривая, которой соответствует минимальное значение критерия. Однако минимум суммы квадратов еще не означает, что тенденция развития временного ряда описана наилучшим образом. Это объясняется тем, что через любой набор из $$N$$ точек на плоскости всегда можно провести многочлен степени $$N - 1$$. Поэтому, выбрав достаточно сложную кривую, можно сделать нулевой сумму квадратов отклонений расчетных значений от заданных. Однако в этом случае вряд ли будет отражена тенденция дальнейшего развития процесса.
Следовательно, отбор кривых следует проводить в два этапа. На первом этапе по большей части данных строят различного вида зависимости $$X(t)$$. Затем по оставшимся данным (проверочной последовательности) с помощью критерия минимума квадратов отклонений выбирают кривую с минимальным значением критерия на проверочной последовательности. Этот прием более трудоемкий, чем описанный в табл. 5.1, но, как правило, дает лучшие результаты при прогнозировании тенденции развития временного ряда.
Вычитая из данных $$X(t_{i})$$выровненные значения получаем остатки, случайную составляющую тренда
| $$\varepsilon (t) = X(t) - X(t_{i}).$$ | (5.14) |
Обычно считается, что выравнивание удовлетворительное, если остатки $$\varepsilon (t)$$ образуют стационарный процесс с нулевым математическим ожиданием $$m\varepsilon (t) = M[\varepsilon (t)] = 0$$.
Кроме того, для корректного применения МНК необходимо более жесткое предположение, что $$\varepsilon (t)$$ - случайные независимые (хотя бы некоррелированные) величины с $$m_{\varepsilon } (t) = 0$$.
Если $$\varepsilon (t_{i})$$ коррелируют между собой, то в модели присутствует автокорреляция остатков. Метод наименьших квадратов и в этом случае дает несмещенные и состоятельные оценки коэффициентов уравнений кривых. Однако получаемые при этом стандартные ошибки и доверительные интервалы для коэффициентов оказываются заниженными. Это может привести к ошибочным выводам при оценке качества отобранной модели поведения временного ряда. Значительная корреляция остатков сигнализирует о том, что либо кривая подобрана неудачно, либо необходимо строить еще одну модель для описания поведения самих остатков $$\varepsilon (t_{i})$$.
Итак, при анализе модели тренда необходимо определить, присутствует ли автокорреляция в $$\varepsilon (t_{i})$$. Предварительную оценку случайности поведения остатков проводят на основе критерия поворотных точек. В соответствии с ним каждое значение $$\varepsilon (t_{i})$$ ряда остатков сравнивают с двумя рядом стоящими значениями $$\varepsilon (t_{i} - 1)$$ и $$\varepsilon (t_{i} + 1).$$
Если $$\varepsilon (t_{i}) > \varepsilon (t_{i} - 1)$$и $$\varepsilon (t_{i}) > \varepsilon (t_{i} + 1)$$ или $$\varepsilon (t_{i}) < \varepsilon (t_{i} - 1), \varepsilon (t_{i}) < \varepsilon (t_{i} + 1)$$, то точка $$\varepsilon (t_{i})$$ считается поворотной (в ней достигается локальный максимум или минимум соответственно). Далее подсчитывают общее количество поворотных точек $$P$$. В случайном ряду остатков должно выполняться строгое неравенство
| $$P > [2(n - 2)/3-2 \sqrt{(16n - 29)}/90)].$$ | (5.15) |
Квадратные скобки здесь означают, что берется целая часть числа (не путать с процедурой округления). Отметим, что критерий поворотных точек сигнализирует только о наличии положительной корреляции в ряде остатков. Если число поворотных точек $$P$$ велико, приближается к $$n - 2$$, то можно говорить о наличии отрицательной корреляции между соседними членами временного ряда остатков. Критерий поворотных точек является предварительным, его следует дополнить другими более точными критериями.
Простейшим из известных критериев является критерий Неймана. Расчетное значение критерия
| $$Q = F/S^{2},$$ | (5.16) |
| где |  |
(5.17) |
Для доказательства положительной корреляции вычисленное значение $$Q$$ должно быть меньше $$Q_{кр1}$$, а для доказательства отрицательной корреляции $$Q$$ должно быть больше $$Q_{кр2}$$ (табл. 5.2).
| Число наблюдений, $$n$$ | Положительная автокорреляция при $$Q < Q_{кр 1 }$$ | Отрицательная автокорреляция при $$Q > Q_{кр 2 }$$ | ||
| $$\alpha = 0,05$$ | $$\alpha = 0,01$$ | $$\alpha = 0,05$$ | $$\alpha = 0,01$$ | |
| 10 | 1,18 | 0,84 | 3,61 | 3,26 |
| 15 | 1,29 | 0,99 | 3,30 | 2,99 |
| 20 | 1,37 | 1,10 | 3,12 | 2,84 |
| 25 | 1,42 | 1,17 | 2,99 | 2,74 |
| 30 | 1,47 | 1,24 | 2,90 | 2,67 |
Помимо критерия Неймана для временных рядов используется хорошо изученный$$ тест Дарбина - Ватсона$$. Он основан практически на той же статистике и отличается множителем $$n/(n - 1)$$
Этот тест подробно исследован и реализован во всех статистических пакетах (STATGRAPHICS, STATISTICA и др.).
Пусть
Можно показать, что $$DW \approx 2(1 - r)$$. Отсюда вывод: чем ближе $$DW$$ к двум, тем меньше автокорреляция остатков временного ряда. Более того, ученые показали, что существуют две границы $$d_{u}$$и $$dl (u - upper)$$ верхняя, $$(l - low)$$ нижняя, которые зависят от $$n$$, числа параметров кривой и уровня значимости $$a$$. Результаты теста Дарбина - Ватсона можно представить в следующем виде (табл. 5.3).
Наличие зоны неопределенности, конечно, несколько затрудняет использование теста Дарбина - Ватсона. Ширина зоны неопределенности может быть значительной. Например, при $$n = 19, k = 3$$ она образует интервал (0,218; 0,463). Поэтому многие дальнейшие исследования были направлены на построение тестов, которые сужают зону неопределенности.
| Значение статистики DW | Вывод |
| $$4 - dl < DW < 4$$ | Гипотеза о независимости остатков отвергается, есть отрицательная корреляция |
| $$4 - d_{u} < DW < 4 - dl$$ | Неопределенность |
| $$2 < DW < 4 - d_{u}$$ | Принимается гипотеза о независимости остатков |
| $$d_{u} < DW < 2$$ | Принимается гипотеза о независимости остатков |
| $$dl < DW < d_{u}$$ | Неопределенность |
| $$0 < DW < dl$$ | Гипотеза о независимости остатков отвергается, есть положительная корреляция |
Предположим, временной ряд $$Y(t)$$ может быть представлен в виде суммы
| $$Y(t) = q(t) + P(t) + \varepsilon (t),$$ | (5.18) |
где
| $$q(t)$$ | - | непериодическая составляющая $$Y(t)$$ (обычный тренд); |
| $$P(t)$$ | - | периодическая составляющая; |
| $$\varepsilon (t)$$ | - | остатки ряда. |
После удаления тренда $$q(t)$$ одним из описанных выше методов в остатках ряда $$Y(t) - q(t)$$ будет присутствовать периодическая составляющая $$P(t)$$. Это приведет к обнаружению автокорреляции в остатках при проверке по критерию Неймана или Дарбина - Ватсона. Рассмотрим методы выделения периодической составляющей тренда временного ряда.
Задача гармонического анализа - определить основные гармонические колебания, входящие в периодическую составляющую ряда $$P(t)$$ и определяющие основные закономерности развития исследуемого процесса.
Рассмотрим математическую постановку задачи гармонического анализа.
Пусть на конечном интервале $$[-L; L]$$ задана функция $$X(t) = P(t) + \varepsilon (t)$$, где $$P(t)$$ - периодическая функция, а $$\varepsilon (t)$$ - случайная составляющая, причем $$M(\varepsilon (t)) = 0, D(\varepsilon (t)) = \sigma ^{2}$$. Функция $$P(t)$$ считается полностью определенной, если известны период$$ Т$$ (или частоты $$\omega = 2\pi /T$$) и коэффициенты ряда Фурье
 |
(5.19) |
Задача считается решенной, если определены параметры $$ak, bk, \omega$$.
Будем искать расчетную функцию $$Q(t)$$:
 |
(5.20) |
где
| $$A_{0} = M(X(t)); A_{k}, B_{k}$$ | - | неизвестные параметры; |
| $$\omega _{k}$$ | - | соответствующие частоты. |
Определим эти параметры с помощью метода наименьших квадратов, минимизируя функцию
 |
(5.21) |
| где | $$n$$ | - | число наблюдений, которое должно быть больше числа неизвестных $$2m + 1$$. |
Доказано, что для выбранных заранее \omega _{k} решение задачи МНК может быть получено в виде
 |
(5.22) |
Следует отметить, что основными трудностями при гармоническом анализе временного ряда являются определение частот $$\omega _{k}$$ и вычисление интегралов по формулам (5.22).
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.