Лабораторная работа № 6: Исследование временного ряда

По заданному временному ряду из табл. 1 требуется:

определить наличие тренда, выявить тип процесса по его коррелограмме;

оценить форму кривой выравнивания одним из приемов;

получить расчетные коэффициенты (параметры) модели;

проверить наличие (отсутствие) автокорреляции остатков модели.

Таблица 1

Отчет по лабораторной работе № 6

Задан ряд: 4,72; 5,57; 7,45; 8,59; 9,52; 10,66; 12,65; 15,14; 17,05; 20,46; 23,03; 27,52; 31,72; 36,34; 42,59.

Для определения типа процесса построим его коррелограмму по формулам (5.8)-(5.12). Коррелограмму будем строить по четырем точкам $$(n =15, l <= n/4 \approx 4) r_{1}, r_{2}, r_{3}, r_{4}$$.После вычислений получаем:

По результатам вычислений строим коррелограмму (рис. 1).

(рис 1)

Очевидно, что это коррелограмма нестационарного временного ряда (см. рис 5.1б). Исходя из этого можно предположить, что у этого ряда имеется тренд среднего уровня (имеется тренд у математического ожидания ряда).

Оценим форму кривой тренда. Для этого по форме корреляционного поля (рис. 2) подберем соответствующие кривые и для них вычислим последовательные разности.

По виду корреляционного поля подходят (см. табл. 5.1) две зависимости:

$$X_{1}(t) = a + b_{t} (b > 0),\\ X_{1}(t) = a_{exp}(b_{t}) (b > 0).$$

Сравним эти зависимости, используя критерий из табл. 5.1. Найдем $$\Delta _{i}^{(1)}, i = 1, 2, \dots, 14$$.

(рис 2)

Для прямой имеем:

В результате получаем:

$$\Delta ^{(1)} = {0,85; 1,88; 1,14; 0,93; 1,13; 1,99; 2,49; 1,9; 3,41; 2,57; 4,49; 4,20; 4,67; 6,25}.$$

Для экспоненты $$X_{2}(t)$$ имеем:

$$\Delta _{i}^{(1)} = lnx_{i }+ 1 - lnx_{i}; \Delta _{i}^{(1)} = ln 5,57 - ln 4,72 = 0,17$$

и т.д.

В результате имеем:

$$\Delta ^{(1)} = {0,17; 0,29; 0,14; 0,10; 0,11; 0,17; 0,18; 0,12; 0,18; 0,12; 0,18; 0,14; 0,16}.$$

Очевидно, что для экспоненциальной зависимости равенство $$\Delta _{i}^{(1) }= const$$ более приемлемо, чем для линейной зависимости. Оценим параметры $$a$$ и $$b$$, решив систему нормальных уравнений МНК

Вычисляем необходимые суммы:

Получаем систему

Тогда, $$ln a = 1,47; a = exp(ln a) = 4,35; b = 0,15$$.

Получим модель тренда $$X = 4,35 \times exp(0,15t)$$.

Для сравнения приведем график выравнивания данного ряда с помощью экспоненциальной модели из пакета STATISTICA (рис. 3). Некоторые расхождения в оценке коэффициентов объясняются погрешностями наших вычислений.

Проверим правильность полученной модели на основе поведения ряда остатков. Обозначим $$\varepsilon (t) = X(t) - 4,35 \cdot exp(0,15t)$$. Тогда

$$\varepsilon (t_{1}) = 4,72 - 4,35 \cdot exp(0,15 \cdot 1) = –0,35;\\ \varepsilon (t_{2}) = 5,57 - 4,35 \cdot exp(0,15 \cdot 2) = –0,34.$$

Аналогично получаем остальные $$\varepsilon (t_{i}), i = 3, 4, \dots, 15$$. В результате имеем ряд остатков:

$$\varepsilon (t_{i}) = {-0,35; -0,34; 0,56; 0,56; 0,17; -0,23; -0,04; 0,35; -0,18; 0,38; -0,37; 0,26; -0,05; -0,67; -0,54}.$$ (рис 3)

Проверку соответствия найденной модели тренда можно осуществить тремя путями. Во-первых, проверим случайность ряда остатков на основе критерия поворотных точек (см. формулу (5.15)). Находим, что в нашем ряду восемь поворотных точек

(0,56; -0,23; 0,35; -0,18; 0,38; -0,37; 0,26; -0,67).

Вычислим правую часть неравенства при $$n = 15$$:

Поскольку $$p = 8 > q = 5$$ и $$p = 8$$ существенно меньше $$n - 2 = 13$$, ряд остатков по данномукритерию можно считать случайным.

Во-вторых, если модель тренда адекватна ряду, то ряд из остатков должен быть стационарен. Выпишем для ряда $$\varepsilon (t_{i})$$ коэффициенты автокорреляции. Получим, что

$$r_{1}(\varepsilon ) = 0,14; r_{2}(\varepsilon ) = -0,19; r_{3}(\varepsilon ) = -0,23; r_{4}(\varepsilon ) = 0,12.$$

Колебания $$r_{k }(\varepsilon ); k = 1, 2, 3, 4$$ по знаку и небольшие (незначимые) значения $$r_{k }(\varepsilon )$$ по абсолютной величине означают стационарность ряда остатков.

В-третьих, проверим отсутствие автокорреляции остатков по критерию Неймана (см. формулу (5.17)).

Итак, $$Q = 0,246/0,147 = 1,65$$.

По таблице 5.2 находим для уровня значимости $$a = 0,05$$ и $$n = 15$$ критическое значение $$Q_{кр} = 1,29$$.

Так как $$Q > Q_{кр}$$, можно принять гипотезу об отсутствии автокорреляции остатков.

Аналогичные расчеты можно провести с помощью пакета STATISTICA или STATGRAPHICS. Например, используя модель

$$ X = 4,354 \cdot exp(0,153t),$$

найденную выше (см. рис. 3), получаем таблицу значений остатков (табл. 2, переменная RESIDUAL).

Вычислим для этого ряда остатков автокорреляции. Последний столбец $$P$$ (рис. 4) показывает вероятности того, что найденные автокорреляции равны нулю. Высокие значения $$P$$ означают, что полученные автокорреляции статистически незначимы.

(рис 4)

Предпоследний столбец $$Q$$ (см. рис. 4) дает статистику Бокса - Льюиса. Небольшие значения $$Q$$ указывают на адекватность построенной модели временного ряда. Вычислим для ряда остатков статистику Дарбина - Ватсона. Она равна 2,1145. Близость к числу 2 статистики $$DW$$ свидетельствует об удачном выборе модели.

Таблица 2

При выборе тренда можно было использовать и более сложную модель вида $$X(t) = c + exp(b_{0} + b_{1}t)$$ (см. последнюю модель в табл. 5.1). Вручную расчеты для этой модели выполнять затруднительно. Представим на рис. 5 результаты расчетов с помощью пакета STATISTICA, раздел "Нелинейное оценивание".

(рис 5)

Оценивая полученную модель визуально, убеждаемся в ее адекватности. Однако, как показывает опыт, в случае получения двух адекватных моделей временного ряда для прогноза лучше использовать более простую модель.