Введение в математику. Практикум

Величины и их значения

Показывать лекцию целиком

Задачи

  • Указать, какие числа являются натуральными, целыми, рациональными, иррациональными, вещественными, комплексными:

    2 ; 34,67 ; -34,0 ; 0,0 ; 0 ; $$\sqrt{46}$$ ; $$–8\sqrt{\cfrac{46}{61}}$$ ; $$\sqrt{-11}$$ ; 0,01 ; –0,009.

    Обосновать ответ. Указание: множество комплексных чисел включает множество вещественных, множество вещественных включает в себя множества рациональных и иррациональных, которые не пересекаются, множество рациональных включает в себя множество целых, которое включает в себя множество натуральных чисел.

  • Указать монотонные и ограниченные переменные х (n=1,2,...):

  • $$x=(-1)^n4;$$
  • $$х=n+1;$$
  • $$х=\cfrac{2}{1+\cfrac{1}{n}};$$
  • $$х=\cfrac{n+3}{n+2}.$$

    • Обосновать ответ (докажите монотонность и ограниченность, если это выполнено). Указание: найти a, b: a<x, x<b, проверить соотношения x(n) и x(n+1) при всех n.

  • Указать промежутки, образующие – окрестность числа а, определив при этом центр и радиус:

    (—1,55; 2,03), (5; 6), (1,111; 9,002).

    Запишите окрестности этих же точек с радиусом, меньшим в 10 раз. Указание: должно быть выполнено условие $$(a - \delta ; a + \delta )$$.

  • При измерении 1 кг товара на одних весах получено приближенное значение 996 гр., а при измерении 200 гр. на других, – 198 гр. Какие весы точнее и почему? Обосновать ответ. Указание: оценить относительную погрешность.
  • Какое из равенств более точное и почему: $$\sqrt{44}=6,63$$,, $$\cfrac{7}{15}=0,467$$? Обосновать ответ. Указание: оценить относительную погрешность (можно вначале возвести первое выражение в квадрат).
  • Найти сумму, разность, произведение, частное для двух приближенных чисел а и b и оценить их погрешности: $$а=0,26 \pm 0,03$$, $$b=0,5 \pm 0,11$$. Указание: например, для a + b = 0,76 + 0,14 = 0,90.
  • Найти максимально возможный и минимально возможный объемы ящика в форме куба со стороной, равной $$2,06 \pm 0,03$$. Указание: $$V = (2.06 \pm 0.3)^{3}$$.
  • Составить план измерений, указать минимальный набор инструментов и технологию измерения для решения задачи нахождения среднего арифметического площадей металлических кругов с заданными радиусами от 1 см. до 10 м. Указать нижнюю и верхнюю границы точности вычисления окончательного результата. Указать причины, из–за которых полученный при вычислении результат не совпадает с реальным значением искомого среднеарифметического значения. Указание: $$S = \pi R^2, S = \cfrac{1}{10}(\pi + 4\pi +9\pi +\dots +100\pi) $$.
  • Доказать, что число $$\sqrt{8}$$ есть иррациональное число. Указание: можно идти от противного и получить противоречие.
  • Доказать, что нет рационального числа, квадрат которого равен 5. Указание: можно идти от противного и получить противоречие.

    • Темы научных исследований и рефератов (Интернет-листов)

  • Абстракция "число" и смысл конкретного числа.
  • Основные причины прогресса (эволюции) понятия "числа".
  • История и предпосылки возникновения понятия "натуральное число". Примеры.
  • История и предпосылки возникновения понятия "целое число". Примеры.
  • История и предпосылки возникновения понятия "рациональное число". Примеры.
  • История и предпосылки возникновения понятия "иррациональное число". Примеры.
  • История и предпосылки возникновения понятия "действительное число". Примеры.
  • Числовые системы древности и их использование. Примеры.
  • Потенциальная осуществимость и бесконечность. Примеры.
  • Иллюзия точности в математике и ее причины. Примеры.
    • Предыдущее занятие Следующее занятие
    Вернуться к учебному плану
    ^