Введение в математику. Практикум

Элементы теории игр и исследования операций

Показывать лекцию целиком

Задачи

  • Дана матрица игры:

    $$X(2\times 5)=\left\| \begin{array}{ccccc}3671012\\856159\end{array}\right\|.$$

    Игроку 1 стало известно, что игрок 2 принял минимаксную стратегию. Игрок 1 должен выбрать оптимальную стратегию при условии, что задается стратегия игрока 2. Задавая стратегию игрока 2 решить задачу для игрока 1.

    Указание: найти "максмин" и "минимакс" для данной матрицы игры.

  • Найти максминную стратегию для игры с платежной матрицей

    $$X(3\times3)=\left\| \begin{array}{ccc} 276\\ 849\\ 358\end{array}\right\|.$$

    Указание: найти вначале "минимакс".

  • Найти минимаксную стратегию для игры с платежной матрицей

    $$X(3\times3)=\left\| \begin{array}{ccc} 276\\ 849\\ 358\end{array}\right\|.$$

    Указание: найти вначале "минимакс".

  • В результате поиска регрессионных связей по данным различных фирм на рынке жилья г. Москвы определены следующие зависимости ( t – время: t=1 – январь 1996, t=2 – февраль 1996 и т.д.):

  • средней стоимости 1 м2 общей площади по всем типам квартир 1997 года:

    $$x(t) = (0.000008 t + 0.00098)^{–1};$$

  • средней стоимости 1 м2 общей площади по всем типам квартир 1998 года:

    $$x(t) = (0.000009 t + 0.00099) ^{–1};$$

  • средней стоимости 1 м2 жилой площади по всем типам квартир 1997 года:

    $$y(t) = (0.000006 t + 0.00061) ^{–1};$$

  • средней стоимости 1 м2 жилой площади по всем типам квартир 1998 года:

    $$y(t) = (0.000004 t + 0.00062)^{–1}.$$

    • Предложите на основе этих зависимостей стратегию поведения на рынке жилья покупателя. Указание: стратегия должна опираться на прогноз по этим формулам для задаваемого момента времени.

  • Предложите на основе зависимостей предыдущей задачи стратегию поведения на рынке жилья продавца (риэлтора). Указание: стратегия должна опираться на прогноз по этим формулам для задаваемого момента времени.
  • Соберите статистические данные по рынку жилья вашего города или региона (например, по газетным объявлениям) и найдите аналогичные предыдущей задаче регрессионные связи. Предложите стратегии поведения на рынке жилья продавца и покупателя. Указание: вначале сделайте предварительную выбраковку грубых данных; стратегия должна опираться на прогноз по этим формулам для задаваемого момента времени.

  • Динамика задолженности по налоговым платежам в РФ за 1996-1997 годы достаточно адекватно описывается математической моделью вида:

    $$y(t)=145.0885 + \cfrac{t}{(t+ 1.6767)^{–1}},$$

    где t – время, причем t=1 соответствует январю 1996 г., t=2 – февралю 1996 г., t=16 – апрелю 1997 г. и т.д. Риск неплатежей равен 0,3. Предложите стратегию ликвидации задолженности. Указание: стратегия должна опираться на прогноз задолженности для задаваемого момента времени.

  • Соберите статистические данные по налоговым платежам вашего города или региона и найдите аналогичные как в предыдущей задаче регрессионные связи. Проанализируйте результаты. Указание: например, это может быть прогноз задолженности, поступлений в бюджет и др.
  • Американскому менеджеру сети универмагов Дж. Вэйнемейкеру принадлежит высказывание: "Половина рекламы – пустая трата денег; мы не знаем только, какая именно". Например, из средств затрачиваемых на рекламу в Германии, ежегодно 25 млрд. марок выбрасываются на ветер. Поэтому важным представляется изучение вопроса, в каких объемах предприятию следует осуществлять рекламную деятельность (маркетинг). Это позволило бы отказаться от проведения некоторых рекламных кампаний. Для этого нужны гипотезы о поведении различных социальных групп. Будем считать, что на принятие рекламируемого товара (услуги) потребителями и его распространение на рынке (диффузия) влияют только коммуникации, новаторы и имитаторы, их активность. Новаторы покупают, потому что их интересуют рекламируемые новшества. Имитаторы же решаются на приобретение товара, прежде всего благодаря коммуникациям. Так, при широком распространении новшества они все сильнее подпадают под "социальное давление". Имитаторы значительно менее восприимчивы к рекламе. Около 20% покупателей относятся к новаторам и 80% - к имитаторам, а реклама в целом оказывает небольшое прямое влияние на поведение покупателей. Исходя из этого, следует так организовать рекламную стратегию, чтобы при определенном жизненном цикле продукта достигалась наибольшую прибыль. Эти поведенческие взаимосвязи можно математически записать в виде динамической имитационной модели принятия решений. При построении такой модели следует учесть (соответствующими гипотезами) поведение конкурентов, например, эвристической процедурой "мутация". Пусть производитель-пионер выбрасывает на рынок новшество с большим жизненным циклом (например, факс или сотовый телефон). С определенным опозданием за ним следует конкурент, который по уровню рекламного бюджета превышает пионера (например, на 20%). Анализ по модели принятия решения выдает пионеру следующую рекомендацию: он должен сопроводить свой выход на рынок высоким рекламным бюджетом, а с появлением конкурента резко уменьшить его. Тогда активная начальная реклама быстро приведет в движение особо восприимчивый к рекламе спрос новаторов, а с помощью них и спрос имитаторов, а сокращение рекламы при возникновении конкурента не отражается на рыночной позиции пионера, так как пионер пожинает плоды своей начальной рекламы. Как показывают многочисленные имитационные анализы, " стратегия широкой начальной рекламы" очень успешна. Конкурент же должен ориентироваться на рекламный бюджет пионера и независимо от поведения пионера придерживаться определенного постоянного рекламирования до конца цикла. Пионер вынужден существенно дольше поддерживать высокий уровень рекламы и только потом снизить его значительно ниже уровня конкурента, когда рыночный потенциал будет практически исчерпан. Диффузионная модель объясняет гипотезу поведения: пионер ожидает, что его рекламная стратегия заранее известна конкуренту и последний попробует оптимально на это реагировать, что в свою очередь учитывает пионер и т.д. Построить стратегии новатора и имитатора, стратегии рекламной компании каждого и провести имитационные эксперименты. Указание: а) существует независимое от начальных условий равновесное решение – даже после того как становится известна конкурентная рекламная стратегия, ни одному производителю неинтересно менять свою стратегию ; б) чтобы быстро возбудить спрос, пионер выбирает широкую рекламную фазу; в) конкурент также делает это, но на значительно больший срок; г) при снижающемся уровне, пионер переходит на еще более агрессивную стратегию до тех пор, пока оба производителя почти одновременно резко не уменьшат свои рекламные бюджеты (когда рыночный потенциал будет почти исчерпан); д) если бы оба значительно раньше сократили свою рекламу, то каждый из них мог получить большую прибыль, но это связано с риском.

  • Имеются начальные ресурсы в количестве x0 в начальный момент времени t=t0 . В течение n дней они используются (эксплуатируются). Прибыль от использования ресурса xk(t) на k -ый день определяется функцией f(x), а неиспользованные на k -ый день ресурсы сокращаются на (k+1) -ый день до ax ( a – коэффициент сокращения). Предполагаем, что прибыль аддитивна, т.е. прибыль за n дней равна сумме прибылей за каждый из k дней. Необходимо определить, в какой день и сколько ресурсов использовать, чтобы суммарная прибыль была максимальна. Обозначим yk – количество ресурса, используемого за k дней. Ресурсы для любого дня ограничены: 0<=yk<=xk . а неиспользованные ресурсы сокращаются по закону:

    $$x_{k}=a(x_{k-1}–y_{k-1}), k=2,3,\dots , n.$$

    Пусть fk – максимальный эффект за k дней при начальном x0 . За один день

    $$f_1(x)=\max\limits_{0\le y\le x}f(y),$$

    за два дня

    $$\begin{array}{c}f_2(x)= \max\limits_{0\le y\le x} \left\{\underbrace{f_1(y)}_{\begin{array}{c}\mbox{доход}\\ \mbox{за 1 день}\end{array}} + \underbrace{f_1[\alpha(x-y)]}_{\begin{array}{c}\mbox{max доход от ресурса} \\ \mbox{за оставшийся день}\end{array}}\right\} \\ \\f_3(x)= \max\limits_{0\le y\le x}\{ f(y) + f_2[\alpha(x-y)]\}\end{array}$$

    и т.д. Промоделировать динамику изменения прибыли. Указание: за k дней получаем, что

    $$f_k(x)= \max\limits_{0\le y\le x}\{ f(y) + f_{k-1}[\alpha(x-y)]\},\, k = \overline{2,n}$$

    • Темы научных исследований и рефератов (Интернет-листов)

  • Игры с природой.
  • Игры с обществом, государством.
  • Системы принятия решений.
  • Принцип Беллмана и динамическое программирование.
  • Информационный аспект принятия решений.
  • Классическая оптимизация и принятие решений.
  • Теория и виды теоретических игр.
  • Матричные игры и их приложения в социально-гуманитарных областях.
  • Неклассическая оптимизация и принятие решений.
  • ЛПР и искусство принятия решений.
    •
    Предыдущее занятие Следующее занятие
    Вернуться к учебному плану
    ^