Элементы непрерывного математического анализа

Разбить на страницы

Показывать лекцию целиком

Элементы непрерывного математического анализа

Пусть задана непрерывная функция f(x) на D(f)=[a;b]. Для такой функции справедливы следующие важные теоремы.

Теорема. Функция f(x) ограничена на D(f).

Теорема. Функция f(x) принимает на D(f) наибольшие и наименьшие значения (см. выше).

Теорема. Функция f(x) принимает на D(f) свое любое промежуточное значение C=f(c), то есть значение между A=f(a) и B=f(b), A<C<B.

Теорема. Если значения f(a)=A, f(b)=B - разных знаков, то уравнение f(x)=0 на D(f) имеет хотя бы один корень.

Если теперь задано отображение $$F:X\to Y$$, то точка $$x\in X$$ называется неподвижной точкой отображения F, если F(x)=x .

Существует тип уравнений, решения которых есть не числа, а функции. К таким уравнениям относятся и дифференциальные уравнения.

Дифференциальные уравнения встречаются и используются в различных областях знаний.

Рассмотрим ряд задач, которые с исторической необходимостью приводят к применению дифференциальных уравнений.

Пример (нахождение первообразной заданной функции). Если функция f(x) непрерывна на [a; b], а F(x) - ее первообразная, то, как мы показали выше, F'(x)=f(x). Мы получили уравнение, дифференциальное относительно неизвестной функции F(x). Решением его является функция (см. выше)$$F(x)=\int\limits_{a}^{x} f(t)\,dt+C.$$

Пример (нахождение закона радиоактивного распада). Скорость радиоактивного распада отрицательна (с течением времени масса уменьшается) и пропорциональна количеству распавшегося в данный момент вещества. Коэффициент распада - коэффициент пропорциональности $$\lambda$$. Закон распада вещества можно описать дифференциальным уравнением вида $$m'(t)= -\lambda m (t)$$, где m(t) - количество не распавшегося к моменту времени t вещества.

Пример (нахождение численности популяции). Пусть x(t) - численность некоторой биологической популяции в момент времени t, k - удельная скорость прироста особей в популяции или коэффициент рождаемости. Тогда x(t) удовлетворяет (при условии, что все остальные параметры, характеристики экологической ниши идеальны) дифференциальному уравнению вида: x'(t)=kx(t).

Пример (нахождение температуры стержня в произвольной точке). Пусть u(x,t) - температура некоторого тела (стержня) в точке x в момент времени t. Тогда уравнение, описывающее температуру в любой точке и в любой момент времени, будет иметь вид: u_t=u_xx, где u(x,t) - температура (функция температурных значений) в любой точке $$x\in [0;X]$$ в любой момент времени $$t\in [0;T]$$.

Дадим теперь определение дифференциального уравнения.

Дифференциальным уравнением называется соотношение между искомой функцией одной переменной (нескольких переменных), ее производной или дифференциалом (частными производными или дифференциалами) и независимыми переменными.

Уравнения, содержащие производные по двум и более независимым переменным, называются уравнениями в частных производных (задача 4).

Уравнения, содержащие производные лишь по одной из независимых переменных, называют обыкновенными дифференциальными уравнениями (задачи 1-3).

Обыкновенное дифференциальное уравнение можно записать в виде: F(x, y, y', y'',..., y⁽ⁿ⁾)=0 (это уравнение, не разрешенное относительно неизвестной функции y(x), или обыкновенное дифференциальное уравнение в неявном виде) или y⁽ⁿ⁾=f(x, y, y', y'',..., y^(n-1)) (это уравнение, решенное относительно старшей производной неизвестной функции, или обыкновенное дифференциальное уравнение в явном виде).

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной (производных), входящей в запись уравнения.

Пример. Все уравнения в задачах 1-3 (см. выше) - уравнения первого порядка. Уравнение в задаче 4 - второго порядка. Два последних уравнения в общем виде - уравнения n -го порядка.

Решением дифференциального уравнения называется функция, при подстановке которой в уравнение получаем тождество.

Процесс нахождения решения называется интегрированием дифференциального уравнения .

Из задачи 1 также ясно, что решение уравнения зависит от произвольной постоянной, то есть дифференциальное уравнение может иметь бесконечное множество решений. Как правило, если дифференциальное уравнение разрешимо, то оно обладает бесконечным множеством решений, связанных друг с другом определенным правилом. Говорят о семействе решений дифференциального уравнения.

Если решение уравнения не представимо в виде явной функции, то есть представимо в виде неявной функции, то оно называется общим интегралом уравнения . График решения y(x) дифференциального уравнения называется интегральной кривой . Уравнение имеет семейство интегральных кривых, соответствующих семейству решений.

Чтобы из общего решения или из общего интеграла выделить единственное, частное решение, нужно задать дополнительные условия.

В случае уравнения первого порядка y'(x)=f(x,y) дополнительно задается условие вида y(x₀)=y₀, которое выделяет из семейства интегральных кривых одну, единственную - проходящую через точку M(x₀;y₀). Условие приведенного вида (условие начального значения искомой функции) называется условием Коши или начальным условием, а сама задача (заданное уравнение и начальное условие для выделения единственного решения из семейства решений) - задачей Коши или начальной задачей (задачей с начальным условием Коши).

В случае уравнения второго порядка вида y''(x)=f(x,y,y') дополнительно задаются условия Коши вида $$y(x_0)=y_0,\quad y'(x_0)=y_1$$.

Здесь для выделения единственного решения нужно уже знать и точку, и угловой коэффициент касательной к решению в этой точке. Задача с такими данными для выделения единственного решения из семейства решений также называется задачей Коши.

Вместо условий Коши для выделения единственного решения уравнения второго порядка y''(x)=f(x,y,y') дополнительно можно задавать условия вида (условия типа Дирихле) $$y(x_0)=y_0, \quad y(x_1)=y_1$$. Задача с такими данными для выделения единственного решения из семейства решений называется задачей Дирихле (задачей с краевыми условиями или двухточечной краевой задачей) или задачей с закрепленными концами.

Рассматривают и другие задачи для дифференциальных уравнений.

Наиболее важным фактом теории обыкновенных дифференциальных уравнений является теорема существования и единственности его решения, которую мы сформулируем для задачи Коши $$y(x_0)=y_0$$ для явного уравнения y⁽ⁿ⁾=f(x, y, y', y'',..., y^(n-1)).

Теорема(условие существования решения задачи Коши). Если функция f(z₁, z₂, z₃,..., z_n+1), связывающая независимую переменную z₁(x) и зависимые переменные z₂(y), z₃(y') и т.д., - сама непрерывна и имеет непрерывную производную по зависимой переменной в той области их изменения, где ищется решение, то задача Коши имеет единственное непрерывное решение в этой области (при условии, что точка M(x₀; y₀) принадлежит этой области).

Для решения различного типа дифференциальных уравнений разработаны соответствующие методы, каждый из которых предназначен для отыскания решения определенного класса дифференциальных уравнений.

Мы рассмотрим наиболее простые классы и методы.

Дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными называются уравнения вида f₁(x)g₁(y)dx+f₂(x)g₂(y)dy=0, или $$\frac {dy}{dx} =f(x) g(y)$$, где f₁(x), f₂(x), g₁(y), g₂(y), f(x), g(y) - задаваемые функции одной переменной.

Первое уравнение решается следующим образом:

Разделить на произведение g₁(y) f₂(x) (считая, что произведение не равно нулю); тогда получим выражение$$\frac {f_1(x)}{f_2(x)} \,dx + \frac {g_2(y)}{g_1(y)}\,dy =0$$ и в результате этого говорят, что переменные x и y (в этой записи) разделены;

Интегрируем полученное равенство, учитывая свойства интеграла (см. выше):$$\int \frac {f_1(x)}{f_2(x)} \,dx + \int \frac {g_2(y)}{g_1(y)}\,dy = C.$$

Последнее выражение есть общий интеграл уравнения с разделяющимися переменными. Если интегралы можно вычислить явно, а затем полученное соотношение однозначно разрешить относительно неизвестной y=y(x), то получим явное общее решение.

Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение вида y'(x)=ky(x), где k - постоянная, а y(x) - искомая функция. Уравнение называется уравнением показательного роста (или развития системы, эволюции процесса без лимитирования со стороны окружения). К такому уравнению приводили некоторые задачи выше. Чтобы найти решение этого уравнения, поступим следующим образом. Запишем его в дифференциальной форме: $$\frac {dy}{dx} =ky(x)$$. Разделяем переменные, то есть записываем в форме dy/y=kdx. Интегрируем (справа по x, а слева - по y ; интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования):$$\int \frac {dy}{y} +k\int dx = C.$$ Вместо произвольной постоянной в форме C с учетом удобств записи результата и вида первого табличного интеграла (это ln y ) мы возьмем произвольную постоянную в форме ln C. Тогда получаем: ln y+kx=ln C. Можно выразить явно y(x). Для этого потенцируем последнее равенство, используя известное свойство разности логарифмов; получаем в итоге: y(x)=Ce^-kx. Таким образом, любое решение уравнения - показательная функция. Для нахождения конкретного решения из семейства полученных решений необходимо задать начальное условие Коши: y(x₀)=y₀. Тогда из y(x)=Ce^-kx при x=x₀ получаем $$y_0=Ce^{-kx_0}$$. Находим отсюда$$C=y_0e^{kx_0}.$$ Подставляя C в общее решение, получим единственное решение задачи Коши:$$y=y_0 e^{-k(x-x_0)}.$$

Рассмотрим еще один класс обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - класс линейных уравнений в дифференциалах: $$\frac {dy}{dx} =a(x) y+b(x)$$, или в производных: y'(x)+p(x)y(x)=q(x), где a(x), b(x), p(x) и q(x) - некоторые непрерывные (в промежутке, где рассматривается x ) функции, в частности, могут быть и постоянными (в этом случае уравнение называется уравнением с постоянными коэффициентами). Это уравнение линейное относительно искомой функции и ее производной и называется линейным дифференциальным уравнением . При q(x)=0 уравнение именуется линейным однородным , при $$q(x)\ne 0$$ уравнение именуется линейным неоднородным .

Укажем метод решения однородного уравнения.

Пусть y(x) - его решение, то есть справедливо равенство y'(x)+p(x)y(x)=0. Обозначим через v(x) одну из первообразных функций p(x) и умножим обе части равенства на отличный от нуля множитель e^v(x). Заметив, что v'(x)=p(x), получим справедливое равенство (y(x)e^v(x))'=0. Следовательно, интегрируя это равенство, получаем (y(x)e^v(x))=C, где C - произвольная постоянная. Отсюда, y(x)=Ce^-v(x). Итак, если y(x) - решение линейного однородного уравнения, то оно всегда имеет вид последней функции. Обратно, непосредственной подстановкой в уравнение этой функции можно убедиться (для этого достаточно найти первую производную и подставить ее и функцию в уравнение), что при любом значении постоянной C, функция является решением уравнения. Следовательно, y(x)=Ce^-v(x) дает множество всех решений уравнения y'(x)+p(x)y(x)=0. При начальном условии y(x₀)=y₀ из него можно выделить определенное решение конкретной задачи Коши.

Неоднородное линейное обыкновенное дифференциальное уравнение y'(x)+p(x)y(x)=q(x) сводится к уже рассмотренному случаю однородного уравнения.

В случае уравнений 2-го порядка линейное дифференциальное уравнение в общем виде записывается следующим образом: y''+p(x)y'+q(x)y=f(x). Если $$f(x)\equiv 0$$ $$\forall x\in [a;b]$$, (где [a,b] - отрезок, на котором рассмотрим данное уравнение), то это уравнение называется однородным, иначе - неоднородным.

Функции y₁(x) и y₂(x) называются линейно независимыми, если равенство $$\alpha _1y_1+\alpha _2y_2=0$$, $$\alpha _1, \alpha _2=\const$$ справедливо тогда и только тогда, если $$\alpha _1=\alpha _2=0$$ . В противном случае (равенство справедливо лишь при $$\alpha _1\ne 0$$ или $$\alpha _2\ne 0$$ ) функции y₁, y₂ - линейно зависимы. Эти понятия аналогичны понятиям линейной зависимости и независимости векторов в R².

Теорема. Если функции y₁(x) и y₂(x) - любые линейно независимые частные решения однородного уравнения y''+p(x)y'+q(x)y=f(x), то его общее решение имеет вид: y=C₁y₁+C₂y₂, где C₁, C₂ - произвольные постоянные.

Теорема. Общее решение линейно неоднородного уравнения есть сумма его некоторого частного решения y₀(x) и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Рассмотрим случай постоянных коэффициентов уравнения. В случае, когда коэффициенты постоянны $$(p(x)\equiv p$$, $$q(x)\equiv q$$, p, q=const ), уравнение примет вид y''+py'+qy=0. Из первой теоремы следует, что для получения общего решения однородного уравнения достаточно найти два его линейно независимых частных решения y₁(x) и y₂(x). Будем искать частное решение в виде y=e^kx. Тогда y'=ke^kx, y''=k²e^kx, и подставляя в уравнение, получаем$$k^2e^{kx}+pke^{kx}+qe^{kx}=0 \ \implies k^2+pk+q=0.$$ Полученное квадратное уравнение называется характеристическим уравнением для линейного однородного дифференциального уравнения и может иметь два различных действительных корня k₁, k₂, или два равных корня k₁=k₂, или не иметь действительных корней.

В зависимости от этих трех случаев уравнение будет иметь частные решения определенного вида.

Рассмотрим отдельно эти случаи.

1-й случай: D=p²-4q>0, k₁, k₂ - два различных действительных корня характеристического уравнения. В этом случае функции $$y_1=e^{k_1x}$$, $$y_2=e^{k_2x}$$ - частные решения рассматриваемого дифференциального уравнения (мы искали решение вида y=e^kx ). По первой теореме, общее решение уравнения в данном случае имеет вид$$y(x) =C_1e^{k_1x} + C_2e^{k_2x}.$$

2-й случай: D=p²-4q=0, $$k_1=k_2=k=-\frac {1}{2}$$. Получим только одно частное решение$$y_1 = e^{kx} = e^{-\frac {1}{2}x}.$$ За второе частное решение y₂ можно принять$$y_2=xy_1=xe^{kx} =xe^{-\frac {1}{2}x}$$ . По первой теореме получаем общее решение уравнения в данном случае:$$y(x) = C_1e^{kx} + C_2xe^{kx} = C_1e^{-\frac {1}{2}x} + C_2 xe^{-\frac {1}{2}x}.$$

3-й случай: D=p²-4q<0, действительных корней нет, но есть так называемые комплексные корни: $$k_1=\alpha +\beta i$$, $$k_2=\alpha -\beta i$$, где $$i=\sqrt{-1}$$ - так называемая мнимая единица. В этом случае частными решениями будут функции$$y_1=e^{\alpha x}\sin\beta x,$$ $$y_2=e^{\alpha x}\cos \beta x$$

Используя эти два частных решения и первую теорему, получим общее решение уравнения в данном случае: $$y(x) =C_1e^{\alpha x} \sin\beta x +C_2e^{\alpha x}\cos\beta x$$.

Пример. Рассмотрим уравнение y''+5y'+6y=0. Характеристическое уравнение k²+5k+6=0 имеет корни k₁=-2, k₂=-3. Решение уравнения имеет вид: y(x)=C₁e^-2x +C₂e^-3x.

Пример. Рассмотрим уравнение: y''-2y'+5y=0. Получаем характеристическое уравнение k²-2k+5=0, $$k_{1,2}=1\pm \sqrt{1-5}=1\pm \sqrt{-4}=1\pm 2i$$, $$\alpha =1$$, $$\beta =2$$, а, следовательно, решение имеет вид y(x)=C₁e^xsin 2x + C₂e^xcos 2x.

Рассмотрим теперь важный объект математического анализа - ряд.

Выше мы конструктивно ввели частичные конечные суммы$$S_n = u_1+u_2+\dotsc + u_n = \sum^n_{i=1} u_i,$$ но формально не определили, как находить сумму бесконечного ряда.

Ряд u₁, u₂, ..., u_n, ... называется сходящимся, если существует конечный предел частичных сумм $$\lim\limits_{n\to \infty} S_n$$ . Число S называют суммой ряда и записывают так:$$S= u_1+u_2+\dotsc + u_n+ \dotsc = \sum^{\infty}_{i=1} u_i.$$

Если этот предел не существует или $$S=\pm \infty$$, то ряд называется расходящимся .

Пример. Рассмотрим геометрическую прогрессию (геометрический ряд)$$\sum^\infty_{n=1} aq^{n-1}.$$ Частичные суммы -$$S_n=\sum^n_{i=1} aq^{i-1} =a+aq+aq^2 + \dotsc\break\dotsc + aq^{n-1} = \frac {aq^n-a}{q-1}$$ или$$S_n = \frac {a}{1-q} - \frac {a}{1-q} q^n.$$

Возможны варианты:

$$|q|<1$$, $$\displaystyle \lim\limits_{n\to \infty} \bigl(\frac {a}{1-q} - \frac {q}{1-q}\,q^n\bigr) = \frac {a}{1-q}$$ $$\displaystyle \lim\limits_{n\to \infty} q^n=0$$.

$$|q|>1$$, $$\displaystyle \lim\limits_{n\to \infty} \bigl(\frac {a}{1-q} - \frac {q}{1-q}\,q^n\bigr) = \frac {a}{1-q} \lim\limits_{n\to \infty} q^n = \frac {q}{1-q}-\infty$$ - не существует предел.

$$q=1$$, т.е. $$a+a+a+\dotsc+a+\dotsc$$, $$S_n = n\cdot a$$,$$S=\pm \infty \begin{pmatrix} +\infty, a>0 \cr -\infty, a<0 \cr \end{pmatrix}.$$

q=-1, +a-a+... -(-1)ⁿ a + ... -, S_2n=0, S_2n+1=a - нет единственного предела (независимого от n ).

Геометрическая прогрессия сходится при |q|<1, расходится при $$|q|\ge 1$$.

Пример. Ряд $$1+\frac 12+\frac {1}{3} + \dotsc + \frac{1}{n}+\dotsc$$ - расходится, хотя необходимое условие сходимости ряда и выполнено. Ряд$$1+\frac {1}{1!}+\frac {1}{2!}+\frac {1}{3!}+\frac {1}{4!}+ \dotsc + \frac {1}{n!}+ \dotsc$$ сходится, а его сумма равна S=e. Ряд$$\frac {1}{1^a} + \frac {1}{2^a} + \frac {1}{3^a} +\dotsc \frac {1}{n^a} +\dotsc$$ сходится при a>1 и расходится при $$a\le 1$$. Ряд$$1 - \frac 12+\frac {1}{3} -\frac {1}{4} +\dotsc + (-1)^{n-1} \frac {1}{n} +\dotsc$$ сходится, сумма $$S=\ln 2$$. Проверьте высказанные утверждения.

Процедура выяснения сходимости или расходимости ряда путем вычисления предела хотя и является конструктивной, но очень громоздкая и неэффективная. На практике используют другие признаки - как для выяснения сходимости, так и для расходимости ряда.

Теорема(необходимый признак сходимости). Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при $$n\to \infty$$, $$\lim\limits_{n\to \infty} u_n =0$$.

Следствие. Если условие теоремы не выполнено, то ряд расходится.

Теорема(достаточный признак сравнения). Если все члены двух рядов$$\sum\limits^\infty_{n=1} u_n =u_1+u_2+\dotsc + u_n + \dotsc, \\ \sum\limits^\infty_{n=1} v_n =v_1+v_2+\dotsc + v_n + \dotsc$$ положительны (u_i>0, v_i>0, i=1,2,...) и удовлетворяют неравенству: $$u_i\le v_i$$, i=1,2,..., то из сходимости второго ряда следует сходимость первого ряда, а из расходимости первого - расходимость второго.

На практике, в качестве одного из сравниваемых рядов берут заранее изученный (сходимость или расходимость которого уже доказана) "эталонный" ряд, например, геометрический ряд.

Теорема (признак Даламбера). Пусть все члены ряда положительны $$(u_n>0$$, $$n=1,2,\infty)$$ и существует предел $$\lim\limits_{n\to \infty} \frac {u_{n+1}}{u_n} =\lambda$$. Тогда: если $$\lambda <1$$, то ряд сходится; если $$\lambda >1$$, то ряд расходится; если $$\lambda =1$$, то признак Даламбера не дает ответа и надо использовать другие признаки (например, теорему о сравнении).

Пример. Рассмотрим ряд$$\sum^\infty_{n=1} u_n = \sum^\infty_{n=1} \frac {n}{(n+1)^3}.$$ Оценим предел Даламбера:$$\sum^\infty_{n=1} \frac {u_{n+1}}{u_n} =\lim\limits_{n\to \infty} \Bigl[\frac {n+1}{(n+2)^3} : \frac {n}{(n+1)^3}\Bigr] = \lim\limits_{n\to \infty}\Bigl(\frac {n+1}{n+2} \Bigr)^3 \cdot \lim\limits_{n\to \infty}\Bigl(\frac {n+1}{n} \Bigr) = \\ =\lim\limits_{n\to \infty}\Bigl(\frac {1+\frac {1}{n}}{1+\frac {1}{n}}\Bigr)^3 \cdot \lim\limits_{n\to \infty}\Bigl(1+\frac {1}{n} \Bigr) =1.$$ Признак Даламбера не дает ответа (случай 3). Применим признак сравнения:$$u_n = \frac {n}{(n+1)^3} < \frac {n}{n+1}\cdot \frac {1}{(n+1)^2} < \frac {1}{(n+1)^2} < \frac {1}{n(n+1)} =v_n.$$

Эталонный ряд$$\sum^\infty_{n=1} v_n = \sum^\infty_{n=1} \frac {1}{n(n+1)} = \frac {1}{1\cdot 2} +\frac {1}{2\cdot 3} + \dotsc + \frac {1}{n(n+1)}$$ сходится. Сходится и исходный ряд.

Если члены ряда могут иметь различные знаки, то такой ряд называется знакопеременным рядом . Если знаки каждых двух последовательных членов ряда различны, то ряд называется знакочередующимся . Это ряды вида$$\sum^\infty_{n=1} (-1)^n u_n = -u_1+u_2-u_3 + \dotsc + (-1)^n u_n + \dotsc,$$ где u_i>0, i=1, 2,....

Теорема(признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда). Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда убывают: $$u_1\ge u_2\ge \dotsc \ge u_n \ge$$ и выполнено необходимое условие сходимости ряда: $$u_n\to 0$$ $$(n\to \infty)$$, то этот ряд сходится.

Выше мы отмечали, что ряды могут быть составлены не только из чисел.

Функциональным рядом называется ряд из функций $$u_1 (x)$$, $$u_^2(x), \dotsc, u_n(x),\dotsc$$ т.е. u₁(x)+ u₂(x)+...+u_n(x)+....

Функциональные ряды должны иметь непустое множество определения для каждого члена ряда. Они должны иметь и непустое множество D пересечений таких множеств, где определена каждая функция-слагаемое ряда. Эта область D называется областью определения ряда .

Если $$x\in D$$, то при фиксированном значении $$x_0\in D$$ получим числовой ряд: u₁(x₀)+u₂(x₀) + ... + u_n(x₀)+.... Если этот числовой ряд сходится (расходится), то в точке x₀ функциональный ряд сходится (расходится).

Для каждого функционального ряда область определения ряда D разбивается на 2 множества D_c и D_p: для каждого $$x\in D_c$$ ряд сходится, а для каждого $$x\in D_p$$ - ряд расходится, $$D=D_c\cup D_p$$. Множество D_c называется областью сходимости ряда, а точки из D_c - точками сходимости.

Частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды }:$$\sum^\infty_{n=0} c_nx^n = c_0 +c_1x +c_2x^2 + ... + c_nx^n + ...,$$ где $$c_n=const$$ $$(n=0,1,...)$$ называются коэффициентами ряда. Область определения степенного ряда $$D=(-\infty;\infty)$$. Любой степенной ряд имеет хотя бы одну точку сходимости (x₀=0, так как ряд $$c_0+0+0+\infty=c_0$$ - сходится).

Теорема(признак сходимости степенного ряда). Если степенной ряд сходится при некотором значении x=x₀, $$x_0\ne 0$$, то он сходится при всех x:|x|<|x₀|, причем сходится абсолютно (то есть сходится и сам исходный ряд, и ряд, составленный из модулей каждого члена исходного ряда).

Следствие. Если степенной ряд расходится при x=x₀, то он расходится и при всех x: |x|>|x₀|. Если степенной ряд сходится при некотором x=x₀, то он сходится в интервале (-|x₀|; |x₀|) и если ряд расходится при x=x₁, то он расходится и в интервале (-|x₁|; |x₁|).

Таким образом, для каждого степенного ряда есть интервал, в каждой точке которого он сходится, а вне интервала - расходится, причем на концах интервала ряд может сходиться или расходиться. Этот интервал (-R;R) называется интервалом сходимости степенного ряда, а число R - радиусом сходимости.

Для вычисления R используют предел$$R=\lim\limits_{n\to \infty}\frac {|c_n|}{|c_{n+1}|},$$ при условии, что предел (конечный или бесконечный) существует, а все $$c_n$$ отличны от нуля.

Пример. Ряд$$\sum^\infty_{n=0} \frac {x^n}{n!} = 1+\frac {x}{1!} + \frac {x^2}{2!} +\dotsc$$ на числовой прямой сходится, так как$$c_n=\frac {1}{n!},$$ $$c_{n+1}=\frac {1}{(n+1)!},$$ $$R= \lim\limits_{n\to \infty} \frac {|c_n|}{|c_{n+1}|} = \lim\limits_{n\to \infty} (n+1) =\infty.$$

Для любого $$x\in (-\infty;\infty)$$ сумма степенного ряда - некоторая функция $$f(x)$$:$$f(x) = \sum^\infty_{n=0} c_nx^n =c_0+c_1x +c_2x^2 + \dotsc + c_nx^n + \dotsc .$$

Если задана некоторая функция f(x), то разложением функции в степенной ряд называется представление f(x) в виде некоторого ряда приведенного вида. Разложение в ряд функции f(x) однозначно определяется, если однозначно найдены его коэффициенты c_n (n=0,1,...). Для нахождения коэффициентов воспользуемся теоремой.

Теорема. Степенной ряд можно почленно дифференцировать и интегрировать (от 0 до x ) внутри интервала сходимости D=({-R};R).

Продифференцируем последнее равенство по x почленно:$$f' = 1\cdot c_1 +2\cdot c_2x +3\cdot c_3x^2 + \dotsc + nc_nx^{n-1} + \dotsc, \\ f''(x) = 1\cdot 2\cdot c_2 +2\cdot 3\cdot c_3x +3\cdot 4c_4x^2 + \dotsc + n(n-1)c_nx^{n-2} + \dotsc, \\ f''' = 1\cdot 2\cdot 3 c_3 +2\cdot 3\cdot 4 c_4x + 3\cdot 4\cdot 5 c_5x^2 + \dotsc + n(n-1)(n-2) c_n x^{n-3} + \dotsc \\ {}\hbox to40mm{\dotfill} \\ f^{(n)} = 1\cdot 2\cdot 3 \cdot \dotsc \cdot (n-2)(n-1)nc_n + \dotsc\,.$$

При x=0 из этих равенств поочередно получаем:$$c_0 = f(0), \ \ c_1= \frac {f'(0)}{1!}, \ \ c_2= \frac {f''(0)}{2!}, \ \ c_3= \frac {f'''(0)}{3!}, \ \ \dotsc , \ \ c_n= \frac {f^{(n)}(0)}{n!}, \ \ \dotsc\, .$$

Подставляя найденные c_i (i=0,1,2,...) в искомую, пока формально записанную, формулу разложения функции f(x), получим:$$f(x) = f(0) + \frac {f'(0)}{1!}\, x + \frac {f''(0)}{2!} \, x^2 + \frac {f'''(0)}{3!} \, x^ 3+\dotsc + \frac {f^{(n)}(0)}{n!}\, x^n +\dotsc\, .$$ Это разложение функции f(x) в степенной ряд называется рядом Маклорена:$$f(x) = f(0) + \frac {f'(0)}{1!}\, x + \frac {f''(0)}{2!} \, x^2 + \frac {f'''(0)}{3!} \, x^ 3+\dotsc + \frac {f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}\, x^{n-1} + \frac {f^{(n)}(\theta x)}{n!}x^n, \\ 0<\theta <1.$$

Пример. Разложим в ряд Маклорена f(x)=e^x. Вычислим коэффициенты$$c_0=f(0)=e^0=1, \quad c_1=\frac {f'(0)}{1!} =\frac {e^0}{1} =1, \\ c_2=\frac {f''(0)}{2!} =\frac {1}{2!} =1, \quad \dotsc, \quad c_n = \frac {1}{n!}.$$ Разложение$$e^x = 1+\frac {x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac {x^3}{3!} +\dotsc + \frac {x^n}{n!} + \dotsc$$ для любого $$x\in (-\infty;\infty)$$, $$R=\infty$$.

Страницы: