Основы теории нечетких множеств

Алгоритмы нечеткого контроля и управления

Разбить на страницы
Показывать лекцию целиком

Игры в нечетко определенной обстановке

Во многих прикладных областях часто встречаются ситуации, в которых выполнение цели или результаты принятия решений одним лицом зависят не только от его действий, но и от действий другого лица или группы лиц, преследующих свои собственные цели. Рассмотренный подход к задачам принятия решений можно применять и для анализа подобных игровых ситуаций в нечетко определенной обстановке. Формулируется такая игра следующим образом.

Пусть $$X$$ и $$Y$$ — множества элементов, которые могут выбирать игроки 1 и 2, соответственно. Допустимые выборы (стратегии) игроков 1 и 2, описываются нечеткими множествами $$C_{1}$$ и $$C_{2}$$ в $$X$$ и $$Y$$ соответственно с функциями принадлежности $$\(\mu _{C_1 }\)$$ и $$\(\mu _{C_2 }\)$$. Заданы также функции $$\(f_1 ,\;f_2 \;:\;X \times Y \to R\)$$, причем значение $$\(f_i (x,y)\)$$ есть оценка игроком $$i$$ ситуации $$(x,y)$$ без учета допустимости выборов $$x$$ и $$y$$. Цель игрока $$i$$ описывается нечетким множеством $$G_{i}$$ в $$R$$ c функцией принадлежности $$\(\mu _{G_i } \;:\;R \to [0,1]\)$$. Следует заметить, что цель, поставленная игроком, может оказаться плохо совместимой или вообще несовместимой с его возможностями, т.е. с множеством его стратегий.

Целью игрока $$i$$ можно считать нечеткое множество в $$X\times Y$$ с функцией принадлежности$$\mu _{\bar G_i } (x,y) = \mu _{G_i } (f_i (x,y)),\quad \quad \forall (x,y) \in X \times Y.$$

Образом этого нечеткого множества при отображении $$f_{i}$$ является заданное нечеткое множество цели игрока $$i$$.

Введем нечеткие множества $$D_{1}$$ и $$D_{2}$$ в $$X\times Y$$, определив их функции принадлежности следующим образом:$$\begin{gathered} \mu _{D_1 } (x,y) = \mu _{C_1 } (x) \wedge \mu _{\bar G_1 } (x,y), \\ \mu _{D_2 } (x,y) = \mu _{C_2 } (x) \wedge \mu _{\bar G_2 } (x,y). \\ \end{gathered}$$

Смысл нечетких множеств $$D_{1}$$ и $$D_{2}$$ можно пояснить так. Если, например, игроку 1, известен конкретный выбор $$y^{*}$$ игроком 2, то перед ним стоит задача достижения нечеткой цели $$\(\mu _{\bar G_2 } (x,y^ * )\)$$ при множестве допустимых альтернатив $$\(\mu _{C_1 } (x)\)$$. В соответствии с описанным на прошлой лекции подходом Беллмана-Заде, решение $$D_{1}$$ такой задачи определяется как пересечение нечетких множеств цели и ограничения:$$\mu _{D_1 } (x,y^ * ) = \mu _{C_1 } (x) \wedge \mu _{\bar G_1 } (x,y^ * ).$$

Таким образом, нечеткое множество $$D_{1}$$ можно рассматривать как семейство (по параметру $$y$$ ) решений задач достижения нечетких целей $$\(\mu _{\bar G_1 } (x,y^*)\)$$. Аналогичный смысл придается и множеству $$D_{2}$$.

Далее будем считать, что при каждом фиксированном выборе одного игрока второй выбирает стратегию, которая максимизирует соответствующую ему функцию $$\(\mu _{D_i }\)$$.

Если игрок полагается целиком лишь на свои возможности, то естественна его ориентация на получение наибольшего гарантированного выигрыша, т.е. рациональным считается такой способ оценки игроком 1 своих выборов, при котором он рассчитывает на наихудшую для него реакцию игрока 2 из множества возможных реакций последнего.

При этом важную роль играет имеющаяся в его распоряжении информация об интересах и ограничениях игрока 2. Если, например, игрок 1 имеет возможность первым выбрать свою стратегию, а игроку 2 становится известным этот выбор, то наибольший гарантированный выигрыш игрока 1 равен$$H_1 = \mathop {\max }\limits_{x \in X} \;\mathop {\min }\limits_{y \in Y(x)} \;\mu _{D_1 } (x,y).$$

Присутствующее в этом выражении множество $$Y(x)$$, зависящее от $$x$$, есть множество возможных реакций (ответов) игрока 2 на выбор $$x$$ игрока 1. В этом смысле зависимость $$Y(x)$$ отражает степень информированности игрока 1 об интересах и ограничениях игрока 2.

Если величина $$H_{1}$$ слишком мала, это означает, что цель, к выполнению которой стремится игрок 1, слишком завышена (с учетом его возможностей). Поэтому естественным образом возникает следующая задача. Каково должно быть нечеткое множество стратегий игрока 1, которое гарантировало бы ему (при заданной информированности об игроке 2) достижение цели со степенью, не меньшей некоторого заданного числа $$\alpha$$?

Для решения этой задачи введем множество$$X_\alpha = \left\{ {x\;|\;\mathop {\min }\limits_{y \in Y(x)} \;\mu _{\bar G_1 } (x,y) \geqslant \alpha } \right\} \subset X.$$

Если $$\(X_\alpha = \varnothing\)$$, то $$H_{1}<\alpha$$, и, следовательно, игрок 1 не может гарантировать достижение своей цели со степенью большей или равной $$\alpha$$, независимо от того, какое множество стратегий находится в его распоряжении.

Пусть $$\(X_\alpha \ne \varnothing\)$$, тогда можно заключить, что достижение цели со степенью не менее $$\alpha$$ можно гарантировать только тогда, когда $$\(\mu _{C_1 } (x) \geqslant \alpha\)$$ при некотором $$x\in X_{\alpha}$$.

Многошаговые процессы принятия решений

Для простоты будем полагать, что управляемая система $$A$$ является инвариантной по времени детерминированной системой с конечным числом состояний. Именно каждое состояние $$x_{t}$$, в котором система $$A$$ находится в момент времени $$t$$, $$t=0,1,2,\ldots$$, принадлежит заданному конечному множеству возможных состояний $$X= \{\sigma_{1},\ldots,\sigma_{n}\}$$ ; при этом входной сигнал в момент времени $$t$$ является элементом множества $$U=\{\alpha_{1},\ldots,\alpha_{m}\}$$. Динамика системы во времени описывается уравнением состояния$$x_{t+1} = f(x_{t}, u_{t}),\quad t=0,1,2,\ldots$$ в котором $$f$$ — заданная функция, отображающая $$X\times U$$ в $$X$$. Таким образом, $$f(x_{t} , u_{t} )$$ представляет собой последующее состояние для $$x_{t}$$ при входном сигнале $$u_{t}$$. Считается также, что заданы начальное состояние $$x_{0}$$ и фиксированное время окончания процесса $$N$$.

Предполагается, что в каждый момент времени $$t$$ на входную переменную наложено нечеткое ограничение $$C_{t}$$, являющееся нечетким множеством в $$U$$ с функцией принадлежности $$\mu_{t}(u_{t})$$. Кроме того, считается, что цель — нечеткое множество $$G_{N}$$ в $$X$$, определяемое функцией принадлежности $$\(\mu _{G_N } (u_N )\)$$. Задача заключается в нахождении максимизирующего решения.

Можно записать решение как нечеткое множество в $$U\times \ldots\times U$$ в виде$$D = C_0 \cap C_1 \cap \ldots \cap C_{N - 1} \cap \bar G_N ,$$ где $$G_{N}$$ — нечеткое множество в $$U\times \ldots U$$, индуцируемое $$G_{N}$$ в $$X$$. Для функции принадлежности имеем$$\mu _D (u_0 ,\ldots,u_{N - 1} ) = \mu _0 (u_0 ) \wedge \ldots \wedge \mu _{N - 1} (u_{N - 1} ) \wedge \mu _{G_N } (x_N ),$$

где $$x_{N}$$ может быть выражено как функция от $$u_{1},\ldots,u_{N-1}$$ и $$x_{0}$$ путем последовательного применения уравнения $$x_{t+1} = f(x_{t}, u_{t})$$.

Для многошаговых процессов целесообразно представить решение в виде:$$u_t = \pi _t (x_t ),\quad t = 0,1,\ldots,N - 1,$$ где $$\pi_{t}$$ — принятая "стратегия", или правило выбора входного воздействия $$u_{t}$$ в зависимости от состояния системы $$x_{t}$$.

Таким образом, задача сводится к нахождению оптимальных стратегий $$\pi_{t}$$ и соответствующей последовательности входных воздействий $$u_{1},\ldots,u_{N-1}$$, максимизирующих $$\mu_{D}$$. Для решения применяется метод динамического программирования:$$\begin{gathered} \mu _D (u_0^M ,...,u_{N - 1}^M ) = \\ = \mathop {\max }\limits_{u_0 ,\ldots,u_{N - 2} } \;\mathop {\max } \limits_{u_{N - 1} } \;(\mu _0 (u_0 ) \wedge \ldots \wedge \mu _{N - 1} (u_{N - 1} ) \wedge \mu _{G_N } (f(x_{N - 1} , u_{N - 1} ))) = \\ = \mathop {\max }\limits_{u_0 ,\ldots,u_{N - 2} } \;(\mu _0 (u_0 ) \wedge \ldots \wedge \mu _{N - 2} (u_{N - 2} ) \wedge \mu _{G_{N - 1} } (x_{N - 1} )), \\ \end{gathered}$$ где $$\(\mu _{G_{N - 1} } (x_{N - 1} ) = \mathop {\max }\limits_{u_{N - 1} } (\mu _{N - 1} (u_{N - 1} ) \wedge \mu _{G_n } (f(x_{N - 1} ,u_{N - 1} )))\)$$ может рассматриваться как функция принадлежности нечеткой цели в момент $$t = N-1$$, индуцированной заданной целью $$G_{N}$$ в момент $$t = N$$.

Повторяя процесс обратных итераций, получаем систему рекуррентных уравнений$$\mu _{G_{N - v} } (x_{N - v} ) = \mathop {\max }\limits_{u_{N - v} } \;(\mu _{N - v} (u_{N - v} ) \wedge \mu _{G_{N - v + 1} } (x_{N - v + 1} )),$$ где $$\(x_{N - v + 1} = f(x_{N - v} ,u_{N - v} ),\quad v = 1,\ldots,N\)$$, которая дает решение задачи. Таким образом, максимизирующее решение достигается последовательной максимизацией величин $$\(u_{N - v}\)$$, причем $$\(u_{N - v}^M\)$$ определяется как функция от $$\(x_{N - v} ,\quad v = 1,\ldots,N\)$$.

В качестве простого примера рассмотрим систему с тремя состояниями $$\sigma_{1}$$, $$\sigma_{2}$$ и $$\sigma_{3}$$ и двумя входными сигналами $$\alpha_{1}$$ и $$\alpha_{2}$$. Пусть $$N=2$$ и нечеткая цель в момент времени $$t=2$$ определяется функцией принадлежности, принимающей значения$$\mu _{G_1 } (\sigma _1 ) = 0,3;\quad \mu _{G_2 } (\sigma _2 ) = 1;\quad \mu _{G_3 } (\sigma _3 ) = 0,8.$$

Пусть далее, нечеткие ограничения в моменты $$t=0$$ и $$t=1$$ задаются функциями$$\begin{gathered} \mu _0 (\alpha _1 ) = 0,7;\quad \mu _0 (\alpha _2 ) = 1; \\ \mu _1 (\alpha _1 ) = 1;\;\quad \;\mu _1 (\alpha _2 ) = 0,6. \\ \end{gathered}$$

Допустим, что таблица изменения состояний, задающая функцию $$f$$, имеет следующий вид:

$$\sigma_{1}$$ $$\sigma_{2}$$ $$\sigma_{3}$$
$$\alpha_{1}$$ 1 3 1
$$\alpha_{2}$$ 2 1 3

Находим функцию принадлежности нечеткой цели в момент $$t=1$$:$$\[ \mu _{G_1 } (\sigma _1 ) = 0,6;\quad \mu _{G_2 } (\sigma _2 ) = 0,8;\quad \mu _{G_3 } (\sigma _3 ) = 0,6.$$

Соответствующее максимизирующее решение имеет вид:$$\pi _1 (\sigma _1 ) = \alpha _2 ;\quad \pi _1 (\sigma _2 ) = \alpha _1 ;\quad \pi _1 (\sigma _3 ) = \alpha _2 .$$

Аналогично, для $$t = 0$$ имеем$$\begin{gathered} \mu _{G_1 } (\sigma _1 ) = 0,8;\quad \mu _{G_2 } (\sigma _2 ) = 0,6;\quad \mu _{G_3 } (\sigma _3 ) = 0,6, \\ \pi _0 (\sigma _1 ) = \alpha _2 ;\quad \pi _0 (\sigma _2 ) = \alpha _1 \vee \alpha _2 ;\quad \pi _0 (\sigma _3 ) = \alpha _1 \vee \alpha _2 . \end{gathered}$$

Итак, если начальное состояние в момент времени $$t=0$$ есть $$\sigma_{1}$$, то максимизирующим решением будет $$\alpha_{2}$$, причем соответствующее значение функции принадлежности $$\(\mu _{G_i }\)$$ равно 0,8.

Особенности контроля и управления в условиях стохастической неопределенности

При составлении проекта его авторы редко располагают полной априорной информацией об объекте и окружающей его среде, необходимой для синтеза корректной системы управления. Даже если известны системы уравнения, описывающие поведение системы, то часто оказывается, что нет данных о величине отдельных параметров, и к тому же нередко имеющиеся модели слишком сложны. В дальнейшем выясняется, что принятая при проектировании модель существенно отличается от реального объекта, а это значительно уменьшает эффективность разработанной системы управления. В связи с этим, актуальной становится возможность уточнения модели на основе наблюдений, полученных в условиях нормального функционирования объекта.

Таким образом, задача идентификации формулируется следующим образом: по результатам наблюдений над входными и выходными переменными системы должна быть построена оптимальная в некотором смысле модель, т.е. формализованное представление этой системы.

В зависимости от априорной информации об объекте управления различают задачи идентификации в узком и широком смысле. Для вторых приходится предварительно решать большое число дополнительных проблем. К ним относятся: выбор структуры системы и задание класса моделей, оценка степени стационарности и линейности объекта, а также степеней и форм влияния входных воздействий на состояние, выбор информативных переменных и др. Задача идентификации в узком смысле состоит в оценке параметров и состояния системы по результатам наблюдений над входными и выходными переменными, полученными в условиях функционирования объекта. Для решения отмеченных проблем в современной теории управления обычно используют модели в пространстве состояний.

Проблеме построения алгоритмов управления объектами с неполной информацией в настоящее время уделяется большое внимание. Это объясняется прежде всего тем, что при создании систем управления сложными технологическими процессами обычно не располагают достоверными моделями объектов. Ни одна из существующих теорий не может претендовать на то, что единственно она дает правильное описание работы систем. Скорее, имеется целый спектр теорий, трактующих эти проблемы. При имеющемся сейчас узком рассмотрении лишь отдельных процессов и только на определенных уровнях описания получается одностороннее представление о системе, не позволяющее иметь достоверные оценки обо всех процессах.

Поведение реальной системы характеризуется некоторой неопределенностью, и при достаточно большом объеме информации об объекте некоторое внешнее возмущение, действующее на управляемый объект, можно представить как случайный процесс.

Стохастическое оптимальное управление в значительной степени базируется на основных положениях динамического программирования.

Для линейных систем с квадратичным критерием решение исходит из так называемой теоремы разделения, которая позволяет составлять наилучшую стратегию из двух частей: оптимального фильтра, который вычисляет оценки состояния в виде условного среднего при заданных наблюдениях выходных сигналов, и линейной обратной связи. Оказывается, что линейная обратная связь может быть найдена путем решения задачи детерминированного управления. Оценка состояния характеризует выходную переменную фильтра Калмана, который, по существу, представляет собой математическую модель системы, когда управление осуществляется по наблюдениям. Таким образом, теорема разделения обеспечивает связь между теориями фильтрации и стохастического оптимального управления.

Контроль и управление динамическими системами в нечетких условиях

Применение стохастических методов для контроля и управления процессом в некоторых ситуациях оказывается затруднительным из-за отсутствия вероятностных распределений параметров. Сложность получения численных результатов при работе со случайными величинами также снижает практическую ценность стохастических алгоритмов. В случае неполной информации о сложном процессе удобнее представлять неточно заданные параметры в виде нечетких величин.

Коэффициенты целого ряда моделей фактически зависят от многих неучтенных факторов реального процесса. При описании процессов двухмерными моделями мы заменяем трехмерную модель однородным по третьему измерению слоем и значения коэффициентов для него определяем как среднее, средневзвешенное и т.д. Попытка внесения в модель ряда не учтенных ранее факторов и введение третьего измерения приводят к значительному усложнению модели и резкому повышению размерности задачи. К тому же, в такой усложненной модели появляются параметры, которые невозможно или крайне трудно измерить. При их задании опять вводятся некоторые допущения, которые только затрудняют и ухудшают точность решения задачи.

Как показывает практика, использование детерминированных моделей с четкими значениями параметров (даже при наличии адаптационного процесса их уточнения путем решения обратных задач) приводит к тому, что модель оказывается излишне грубой. Методы интервального анализа дают возможность построить модель для случая, когда для каждого из этих коэффициентов задан интервал допустимых значений. Однако на практике, когда имеется информация, что некие значения коэффициентов более допустимы, чем другие, описание этих коэффициентов в виде нечетких множеств является более удачным. В этом случае на интервале дополнительно задается функция принадлежности, причем, если информация о различии допустимости имеет статистический характер, то эта функция может быть определена объективно, если нет — то субъективно, на основе приближенного отражения экспертом в агрегированном виде имеющегося у него неформализованного представления о величине этого коэффициента.

Естественно, что введение нечетких коэффициентов усложняет процесс моделирования, однако в этом случае решение адекватно принятым упрощениям, например, при исключении третьей координаты $$z$$ понятие в точке $$(x, y)$$ становится размытым, нечетким, так как относится не к точке, а к интервалу.

В общем случае динамику дискретных систем можно представить уравнением состояния:$$x_{k + 1} = F(x_k ,u_k )\quad k = 0,\ldots,N,\quad x_k \in X,\quad u_k \in U,$$ где $$X$$ — пространство состояний, $$U$$ — множество допустимых управлений, $$F$$ — переходная функция состояния, в общем случае нелинейная $$F\colon X\times U\to X$$.

Эта система является детерминированной, если в любой момент времени $$k$$ можно однозначно определить ее новое состояние для момента времени $$(k+1)$$ по текущему состоянию l и управлению $$u_{k}$$.

Для стохастических систем переходная функция записывается в виде$$F\colon X\times U\to XP,$$ где $$XP$$ — множество распределений вероятности на $$X$$. Для учета неопределенностей в модель могут вводиться случайные величины или коэффициенты. Однако для подобных моделей необходимо иметь информацию для построения вероятностных распределений.

Не полностью определенные процессы можно моделировать с помощью аппарата нечетких множеств. Коэффициенты и некоторые величины могут быть заданы в виде функций принадлежности. Тогда динамика системы описывается нечетким отношением$$F\colon X\times U\times X\to [0,1],$$ представляющим собой нечеткое подмножество декартова произведения $$X\times U\times X$$.

Величина $$F(x_{k}, u_{k}, x_{k+1})$$ рассматривается как интенсивность перехода или, точнее, как степень принадлежности элемента $$x_{k+1}$$ образу пары $$(x_{k}, u_{k})$$ при отображении $$F$$, т.е. основной характеристикой системы является функция принадлежности $$\mu(x_{k+1} | x_{k}, u_{k})$$.

Используя понятие нечеткого отношения, можно ввести следующие пути определения функции $$F$$:

1. Когда отсутствует модель процесса и имеется лишь лингвистическое описание желаемого поведения системы вида "если давление газа очень большое, то значительно увеличить расход". Подобные выражения дают информацию о том, что должно произойти в системе при поступлении на ее вход управляющих воздействий в форме нечетких множеств, определенных на универсальных множествах "давление газа" и "расход". Тогда нечеткое условное высказывание есть нечеткое отношение, которое определяется как$$F(x,u) = \min (\mu (x),\lambda (x));\quad \mu\colon X \to [0,1];\quad \lambda\colon X \to [0,1].$$

Если $$F$$ будет являться нечеткой функцией, то состояние нечеткой системы в момент времени $$(k+1)$$ есть условное по $$x_{k}$$ и $$u_{k}$$ нечеткое множество, характеризуемое функцией принадлежности $$(x_{k+1} | x_{k}, u_{k})$$.

2. Возможно использование имеющейся модели системы для задания функции $$F$$. Рассмотрим вначале случай свободной динамики системы и построим рекуррентную процедуру оценки состояния динамической системы в нечетких условиях.

На практике ситуация усложняется частичным или полным отсутствием информации о статистических характеристиках шумов. Поэтому предлагается для решения задачи оценивания применять теорию нечетких множеств.

Рассмотрим нелинейную динамическую систему с дискретным временем:$$x_{k+1}=F_{k} (x_{k}, w-k),\quad k=1,2,\ldots,$$ для которой измерение и состояние системы связаны соотношением$$z_{k} = H_{k} (x_{k} ,v_{k}).$$

В этих уравнениях:

  • индекс $$k$$ соответствует $$k$$ -му моменту времени;
  • $$F_{k}$$, $$H_{k}$$ — нелинейные функции соответствующих аргументов;
  • $$x_{k}$$ — состояние динамической системы,
  • $$w_{k}$$ — нечеткая помеха, заданная для каждого момента времени $$k$$ -функцией принадлежности $$\mu(w_{k})$$ ;
  • $$v_{k}$$ — ошибка измерения с известной функцией принадлежности $$\mu(v_{k})$$.
    •

    Предполагается известной и функция принадлежности для начального состояния $$\mu(x_{0})$$.

    В процессе функционирования системы в общем случае носитель начального нечеткого состояния расширяется. Чтобы уменьшить неопределенность ситуаций при принятии решений, необходимо использовать дополнительную информацию о замерах и исследованиях в системе.

    Будем предполагать независимость ошибок измерения, помех и состояния в смысле определения независимости нечетких величин. При заданной условной функции принадлежности $$\(\mu (x_k \;|\;\bar z_k )\)$$ состояния $$x_{k}$$ и при наличии последовательности измерений $$\(\bar z_k = \{ z_0 ,z_1 ,\ldots,z_k \}\)$$, наилучшая четкая оценка состояния в момент времени $$k$$ может быть найдена из соотношения$$\mu (x_k^0 ) = \mathop {\max }\limits_{x_k } \;\mu (x_k \;|\;\bar z_k ).$$

    При наличии известной условной функции принадлежности $$\(\mu (x_{k + 1} \;|\;\bar z_k)\)$$ оптимальная точечная оценка состояния системы в момент $$(k+1)$$ может быть определена аналогично:$$\mu (x_{k + 1}^0 ) = \mathop {\max }\limits_{x_{k + 1} } \;\mu (x_{k + 1} \;|\;\bar z_k ).$$

    Поскольку для реальных процессов функции $$\(\;\mu (x_k \;|\;\bar z_k )\)$$ и $$\(\mu (x_{k + 1} \;|\;\bar z_k )\)$$ являются унимодальными, то процедура нахождения максимума довольно проста. Чтобы оценить состояния, выведем рекуррентную процедуру для функции принадлежности $$\(\mu (x_{k + 1} \;|\;\bar z_{k + 1} )\)$$. На основании определения условной функции принадлежности можно записать, что$$\mu (x_{k + 1} |\bar z_{k + 1} ) = \mu (x_{k + 1} ,\bar z_{k + 1} ) = \mu (x_{k + 1} ,\bar z_k ,z_{k + 1} ),$$ где вектор $$\(\bar z_{k + 1}\)$$ представлен в виде $$\(\;\bar z_{k + 1} = \{ \bar z_k ,z_{k + 1} \}\)$$.

    Используя определение $$\(\mu (x_{k + 1} \;|\;\bar z_{k + 1} )\)$$ и уравнение для ошибки измерения, получаем:$$\mu (x_{k + 1} ,\;\bar z_k ,\;z_{k + 1} ) = \mathop {\sup }\limits_{v_{k - H} = H_{k - H}^{ - 1} (x_{k - H} ,z_{k - H} )} \;\mu (v_{k + 1} ,x_{k + 1} ,\bar z_k ).$$

    Окончательно рекуррентные соотношения для нахождения апостериорной функции принадлежности для нечеткого состояния системы на любом шаге $$(k+1$$ ) можно записать следующим образом:$$\left\{ \begin{gathered} \mu (x_{k + 1} |\;\bar z_{k + 1} ) = \mu (x_{k + 1} |\;\bar z_k ) \wedge \mathop {\sup }\limits_{v_{k - H} = H_{k - H}^{ - 1} (x_{k - H} ,z_{k - H} )} \;\mu (v_{k + 1} ); \hfill \\ \mu (x_{k + 1} |\;\bar z_{k + 1} ) = \mathop {\max }\limits_{x_k } \left\{ {\mu (x_{k + 1} |\;\bar z_k ) \wedge \mathop {\sup }\limits_{w_k = F_{k - H}^{ - 1} (x_{k - H} ,x_k )} \;\mu (w_k ,x_k ,\bar z_k )} \right\}. \hfill \\ \end{gathered} \right.$$

    Рассмотрим теперь принципы управления нечеткой динамической системой для функции $$F$$. Допустим, что на управляющее воздействие $$u_{k}$$ в каждый момент времени $$k$$ наложены нечеткие ограничения $$C_{k}\subset U$$, характеризующиеся функцией принадлежности $$\(\mu _{C_k } (u_k)\)$$, и также задано начальное состояние $$x_{0}$$. Пусть $$G_{N}\subset X$$ — нечеткая цель, которую необходимо достигнуть в момент времени $$N$$. Эта цель характеризуется функцией принадлежности $$\(\mu _{G_N } (x)\)$$.

    Оптимальные четкие управляющие воздействия $$\(u_1^0 ,\;u_2^0 ,\ldots,u_{N -1}\)$$ могут быть определены следующим образом:$$\mu _D (u_0^0 ,\ldots,u_{N - 1}^0 ) =\!\! \mathop {\max }\limits_{u_0 ,\ldots,u_{N - 2} } \left\{ {\mu _{C_0 } (u_0 ) {\wedge} \ldots {\wedge} \mu _{C_{N - 2} } (u_{N - 2} ) {\wedge} \mu _{G_{N - 1} } (x_{N - 1} )} \right\}.$$

    Функция $$\(\mu _{G_{N - 1} } (x_{N - 1} )\)$$ может рассматриваться как функция принадлежности для нечеткой цели в момент времени $$N-1$$, индуцированной конечной целью $$G_{N}$$ для момента $$N$$. Зная текущее нечеткое состояние $$\mu(x_{k})$$, нечеткое ограничение $$\(\mu _{C_k } (u_k )\)$$ и индуцированную нечеткую цель $$\(\mu _{C_k } (u_k)\)$$, на момент времени $$k$$ можно найти эффективное четкое управление $$\(u_k^0\)$$.

    Страницы:

    Игры в нечетко определенной обстановке

    Во многих прикладных областях часто встречаются ситуации, в которых выполнение цели или результаты принятия решений одним лицом зависят не только от его действий, но и от действий другого лица или группы лиц, преследующих свои собственные цели. Рассмотренный подход к задачам принятия решений можно применять и для анализа подобных игровых ситуаций в нечетко определенной обстановке. Формулируется такая игра следующим образом.

    Пусть $$X$$ и $$Y$$ — множества элементов, которые могут выбирать игроки 1 и 2, соответственно. Допустимые выборы (стратегии) игроков 1 и 2, описываются нечеткими множествами $$C_{1}$$ и $$C_{2}$$ в $$X$$ и $$Y$$ соответственно с функциями принадлежности $$\(\mu _{C_1 }\)$$ и $$\(\mu _{C_2 }\)$$. Заданы также функции $$\(f_1 ,\;f_2 \;:\;X \times Y \to R\)$$, причем значение $$\(f_i (x,y)\)$$ есть оценка игроком $$i$$ ситуации $$(x,y)$$ без учета допустимости выборов $$x$$ и $$y$$. Цель игрока $$i$$ описывается нечетким множеством $$G_{i}$$ в $$R$$ c функцией принадлежности $$\(\mu _{G_i } \;:\;R \to [0,1]\)$$. Следует заметить, что цель, поставленная игроком, может оказаться плохо совместимой или вообще несовместимой с его возможностями, т.е. с множеством его стратегий.

    Целью игрока $$i$$ можно считать нечеткое множество в $$X\times Y$$ с функцией принадлежности$$\mu _{\bar G_i } (x,y) = \mu _{G_i } (f_i (x,y)),\quad \quad \forall (x,y) \in X \times Y.$$

    Образом этого нечеткого множества при отображении $$f_{i}$$ является заданное нечеткое множество цели игрока $$i$$.

    Введем нечеткие множества $$D_{1}$$ и $$D_{2}$$ в $$X\times Y$$, определив их функции принадлежности следующим образом:$$\begin{gathered} \mu _{D_1 } (x,y) = \mu _{C_1 } (x) \wedge \mu _{\bar G_1 } (x,y), \\ \mu _{D_2 } (x,y) = \mu _{C_2 } (x) \wedge \mu _{\bar G_2 } (x,y). \\ \end{gathered}$$

    Смысл нечетких множеств $$D_{1}$$ и $$D_{2}$$ можно пояснить так. Если, например, игроку 1, известен конкретный выбор $$y^{*}$$ игроком 2, то перед ним стоит задача достижения нечеткой цели $$\(\mu _{\bar G_2 } (x,y^ * )\)$$ при множестве допустимых альтернатив $$\(\mu _{C_1 } (x)\)$$. В соответствии с описанным на прошлой лекции подходом Беллмана-Заде, решение $$D_{1}$$ такой задачи определяется как пересечение нечетких множеств цели и ограничения:$$\mu _{D_1 } (x,y^ * ) = \mu _{C_1 } (x) \wedge \mu _{\bar G_1 } (x,y^ * ).$$

    Таким образом, нечеткое множество $$D_{1}$$ можно рассматривать как семейство (по параметру $$y$$ ) решений задач достижения нечетких целей $$\(\mu _{\bar G_1 } (x,y^*)\)$$. Аналогичный смысл придается и множеству $$D_{2}$$.

    Далее будем считать, что при каждом фиксированном выборе одного игрока второй выбирает стратегию, которая максимизирует соответствующую ему функцию $$\(\mu _{D_i }\)$$.

    Если игрок полагается целиком лишь на свои возможности, то естественна его ориентация на получение наибольшего гарантированного выигрыша, т.е. рациональным считается такой способ оценки игроком 1 своих выборов, при котором он рассчитывает на наихудшую для него реакцию игрока 2 из множества возможных реакций последнего.

    При этом важную роль играет имеющаяся в его распоряжении информация об интересах и ограничениях игрока 2. Если, например, игрок 1 имеет возможность первым выбрать свою стратегию, а игроку 2 становится известным этот выбор, то наибольший гарантированный выигрыш игрока 1 равен$$H_1 = \mathop {\max }\limits_{x \in X} \;\mathop {\min }\limits_{y \in Y(x)} \;\mu _{D_1 } (x,y).$$

    Присутствующее в этом выражении множество $$Y(x)$$, зависящее от $$x$$, есть множество возможных реакций (ответов) игрока 2 на выбор $$x$$ игрока 1. В этом смысле зависимость $$Y(x)$$ отражает степень информированности игрока 1 об интересах и ограничениях игрока 2.

    Если величина $$H_{1}$$ слишком мала, это означает, что цель, к выполнению которой стремится игрок 1, слишком завышена (с учетом его возможностей). Поэтому естественным образом возникает следующая задача. Каково должно быть нечеткое множество стратегий игрока 1, которое гарантировало бы ему (при заданной информированности об игроке 2) достижение цели со степенью, не меньшей некоторого заданного числа $$\alpha$$?

    Для решения этой задачи введем множество$$X_\alpha = \left\{ {x\;|\;\mathop {\min }\limits_{y \in Y(x)} \;\mu _{\bar G_1 } (x,y) \geqslant \alpha } \right\} \subset X.$$

    Если $$\(X_\alpha = \varnothing\)$$, то $$H_{1}<\alpha$$, и, следовательно, игрок 1 не может гарантировать достижение своей цели со степенью большей или равной $$\alpha$$, независимо от того, какое множество стратегий находится в его распоряжении.

    Пусть $$\(X_\alpha \ne \varnothing\)$$, тогда можно заключить, что достижение цели со степенью не менее $$\alpha$$ можно гарантировать только тогда, когда $$\(\mu _{C_1 } (x) \geqslant \alpha\)$$ при некотором $$x\in X_{\alpha}$$.

    Многошаговые процессы принятия решений

    Для простоты будем полагать, что управляемая система $$A$$ является инвариантной по времени детерминированной системой с конечным числом состояний. Именно каждое состояние $$x_{t}$$, в котором система $$A$$ находится в момент времени $$t$$, $$t=0,1,2,\ldots$$, принадлежит заданному конечному множеству возможных состояний $$X= \{\sigma_{1},\ldots,\sigma_{n}\}$$ ; при этом входной сигнал в момент времени $$t$$ является элементом множества $$U=\{\alpha_{1},\ldots,\alpha_{m}\}$$. Динамика системы во времени описывается уравнением состояния$$x_{t+1} = f(x_{t}, u_{t}),\quad t=0,1,2,\ldots$$ в котором $$f$$ — заданная функция, отображающая $$X\times U$$ в $$X$$. Таким образом, $$f(x_{t} , u_{t} )$$ представляет собой последующее состояние для $$x_{t}$$ при входном сигнале $$u_{t}$$. Считается также, что заданы начальное состояние $$x_{0}$$ и фиксированное время окончания процесса $$N$$.

    Предполагается, что в каждый момент времени $$t$$ на входную переменную наложено нечеткое ограничение $$C_{t}$$, являющееся нечетким множеством в $$U$$ с функцией принадлежности $$\mu_{t}(u_{t})$$. Кроме того, считается, что цель — нечеткое множество $$G_{N}$$ в $$X$$, определяемое функцией принадлежности $$\(\mu _{G_N } (u_N )\)$$. Задача заключается в нахождении максимизирующего решения.

    Можно записать решение как нечеткое множество в $$U\times \ldots\times U$$ в виде$$D = C_0 \cap C_1 \cap \ldots \cap C_{N - 1} \cap \bar G_N ,$$ где $$G_{N}$$ — нечеткое множество в $$U\times \ldots U$$, индуцируемое $$G_{N}$$ в $$X$$. Для функции принадлежности имеем$$\mu _D (u_0 ,\ldots,u_{N - 1} ) = \mu _0 (u_0 ) \wedge \ldots \wedge \mu _{N - 1} (u_{N - 1} ) \wedge \mu _{G_N } (x_N ),$$

    где $$x_{N}$$ может быть выражено как функция от $$u_{1},\ldots,u_{N-1}$$ и $$x_{0}$$ путем последовательного применения уравнения $$x_{t+1} = f(x_{t}, u_{t})$$.

    Для многошаговых процессов целесообразно представить решение в виде:$$u_t = \pi _t (x_t ),\quad t = 0,1,\ldots,N - 1,$$ где $$\pi_{t}$$ — принятая "стратегия", или правило выбора входного воздействия $$u_{t}$$ в зависимости от состояния системы $$x_{t}$$.

    Таким образом, задача сводится к нахождению оптимальных стратегий $$\pi_{t}$$ и соответствующей последовательности входных воздействий $$u_{1},\ldots,u_{N-1}$$, максимизирующих $$\mu_{D}$$. Для решения применяется метод динамического программирования:$$\begin{gathered} \mu _D (u_0^M ,...,u_{N - 1}^M ) = \\ = \mathop {\max }\limits_{u_0 ,\ldots,u_{N - 2} } \;\mathop {\max } \limits_{u_{N - 1} } \;(\mu _0 (u_0 ) \wedge \ldots \wedge \mu _{N - 1} (u_{N - 1} ) \wedge \mu _{G_N } (f(x_{N - 1} , u_{N - 1} ))) = \\ = \mathop {\max }\limits_{u_0 ,\ldots,u_{N - 2} } \;(\mu _0 (u_0 ) \wedge \ldots \wedge \mu _{N - 2} (u_{N - 2} ) \wedge \mu _{G_{N - 1} } (x_{N - 1} )), \\ \end{gathered}$$ где $$\(\mu _{G_{N - 1} } (x_{N - 1} ) = \mathop {\max }\limits_{u_{N - 1} } (\mu _{N - 1} (u_{N - 1} ) \wedge \mu _{G_n } (f(x_{N - 1} ,u_{N - 1} )))\)$$ может рассматриваться как функция принадлежности нечеткой цели в момент $$t = N-1$$, индуцированной заданной целью $$G_{N}$$ в момент $$t = N$$.

    Повторяя процесс обратных итераций, получаем систему рекуррентных уравнений$$\mu _{G_{N - v} } (x_{N - v} ) = \mathop {\max }\limits_{u_{N - v} } \;(\mu _{N - v} (u_{N - v} ) \wedge \mu _{G_{N - v + 1} } (x_{N - v + 1} )),$$ где $$\(x_{N - v + 1} = f(x_{N - v} ,u_{N - v} ),\quad v = 1,\ldots,N\)$$, которая дает решение задачи. Таким образом, максимизирующее решение достигается последовательной максимизацией величин $$\(u_{N - v}\)$$, причем $$\(u_{N - v}^M\)$$ определяется как функция от $$\(x_{N - v} ,\quad v = 1,\ldots,N\)$$.

    В качестве простого примера рассмотрим систему с тремя состояниями $$\sigma_{1}$$, $$\sigma_{2}$$ и $$\sigma_{3}$$ и двумя входными сигналами $$\alpha_{1}$$ и $$\alpha_{2}$$. Пусть $$N=2$$ и нечеткая цель в момент времени $$t=2$$ определяется функцией принадлежности, принимающей значения$$\mu _{G_1 } (\sigma _1 ) = 0,3;\quad \mu _{G_2 } (\sigma _2 ) = 1;\quad \mu _{G_3 } (\sigma _3 ) = 0,8.$$

    Пусть далее, нечеткие ограничения в моменты $$t=0$$ и $$t=1$$ задаются функциями$$\begin{gathered} \mu _0 (\alpha _1 ) = 0,7;\quad \mu _0 (\alpha _2 ) = 1; \\ \mu _1 (\alpha _1 ) = 1;\;\quad \;\mu _1 (\alpha _2 ) = 0,6. \\ \end{gathered}$$

    Допустим, что таблица изменения состояний, задающая функцию $$f$$, имеет следующий вид:

    $$\sigma_{1}$$ $$\sigma_{2}$$ $$\sigma_{3}$$
    $$\alpha_{1}$$ 1 3 1
    $$\alpha_{2}$$ 2 1 3

    Находим функцию принадлежности нечеткой цели в момент $$t=1$$:$$\[ \mu _{G_1 } (\sigma _1 ) = 0,6;\quad \mu _{G_2 } (\sigma _2 ) = 0,8;\quad \mu _{G_3 } (\sigma _3 ) = 0,6.$$

    Соответствующее максимизирующее решение имеет вид:$$\pi _1 (\sigma _1 ) = \alpha _2 ;\quad \pi _1 (\sigma _2 ) = \alpha _1 ;\quad \pi _1 (\sigma _3 ) = \alpha _2 .$$

    Аналогично, для $$t = 0$$ имеем$$\begin{gathered} \mu _{G_1 } (\sigma _1 ) = 0,8;\quad \mu _{G_2 } (\sigma _2 ) = 0,6;\quad \mu _{G_3 } (\sigma _3 ) = 0,6, \\ \pi _0 (\sigma _1 ) = \alpha _2 ;\quad \pi _0 (\sigma _2 ) = \alpha _1 \vee \alpha _2 ;\quad \pi _0 (\sigma _3 ) = \alpha _1 \vee \alpha _2 . \end{gathered}$$

    Итак, если начальное состояние в момент времени $$t=0$$ есть $$\sigma_{1}$$, то максимизирующим решением будет $$\alpha_{2}$$, причем соответствующее значение функции принадлежности $$\(\mu _{G_i }\)$$ равно 0,8.

    Особенности контроля и управления в условиях стохастической неопределенности

    При составлении проекта его авторы редко располагают полной априорной информацией об объекте и окружающей его среде, необходимой для синтеза корректной системы управления. Даже если известны системы уравнения, описывающие поведение системы, то часто оказывается, что нет данных о величине отдельных параметров, и к тому же нередко имеющиеся модели слишком сложны. В дальнейшем выясняется, что принятая при проектировании модель существенно отличается от реального объекта, а это значительно уменьшает эффективность разработанной системы управления. В связи с этим, актуальной становится возможность уточнения модели на основе наблюдений, полученных в условиях нормального функционирования объекта.

    Таким образом, задача идентификации формулируется следующим образом: по результатам наблюдений над входными и выходными переменными системы должна быть построена оптимальная в некотором смысле модель, т.е. формализованное представление этой системы.

    В зависимости от априорной информации об объекте управления различают задачи идентификации в узком и широком смысле. Для вторых приходится предварительно решать большое число дополнительных проблем. К ним относятся: выбор структуры системы и задание класса моделей, оценка степени стационарности и линейности объекта, а также степеней и форм влияния входных воздействий на состояние, выбор информативных переменных и др. Задача идентификации в узком смысле состоит в оценке параметров и состояния системы по результатам наблюдений над входными и выходными переменными, полученными в условиях функционирования объекта. Для решения отмеченных проблем в современной теории управления обычно используют модели в пространстве состояний.

    Проблеме построения алгоритмов управления объектами с неполной информацией в настоящее время уделяется большое внимание. Это объясняется прежде всего тем, что при создании систем управления сложными технологическими процессами обычно не располагают достоверными моделями объектов. Ни одна из существующих теорий не может претендовать на то, что единственно она дает правильное описание работы систем. Скорее, имеется целый спектр теорий, трактующих эти проблемы. При имеющемся сейчас узком рассмотрении лишь отдельных процессов и только на определенных уровнях описания получается одностороннее представление о системе, не позволяющее иметь достоверные оценки обо всех процессах.

    Поведение реальной системы характеризуется некоторой неопределенностью, и при достаточно большом объеме информации об объекте некоторое внешнее возмущение, действующее на управляемый объект, можно представить как случайный процесс.

    Стохастическое оптимальное управление в значительной степени базируется на основных положениях динамического программирования.

    Для линейных систем с квадратичным критерием решение исходит из так называемой теоремы разделения, которая позволяет составлять наилучшую стратегию из двух частей: оптимального фильтра, который вычисляет оценки состояния в виде условного среднего при заданных наблюдениях выходных сигналов, и линейной обратной связи. Оказывается, что линейная обратная связь может быть найдена путем решения задачи детерминированного управления. Оценка состояния характеризует выходную переменную фильтра Калмана, который, по существу, представляет собой математическую модель системы, когда управление осуществляется по наблюдениям. Таким образом, теорема разделения обеспечивает связь между теориями фильтрации и стохастического оптимального управления.

    Контроль и управление динамическими системами в нечетких условиях

    Применение стохастических методов для контроля и управления процессом в некоторых ситуациях оказывается затруднительным из-за отсутствия вероятностных распределений параметров. Сложность получения численных результатов при работе со случайными величинами также снижает практическую ценность стохастических алгоритмов. В случае неполной информации о сложном процессе удобнее представлять неточно заданные параметры в виде нечетких величин.

    Коэффициенты целого ряда моделей фактически зависят от многих неучтенных факторов реального процесса. При описании процессов двухмерными моделями мы заменяем трехмерную модель однородным по третьему измерению слоем и значения коэффициентов для него определяем как среднее, средневзвешенное и т.д. Попытка внесения в модель ряда не учтенных ранее факторов и введение третьего измерения приводят к значительному усложнению модели и резкому повышению размерности задачи. К тому же, в такой усложненной модели появляются параметры, которые невозможно или крайне трудно измерить. При их задании опять вводятся некоторые допущения, которые только затрудняют и ухудшают точность решения задачи.

    Как показывает практика, использование детерминированных моделей с четкими значениями параметров (даже при наличии адаптационного процесса их уточнения путем решения обратных задач) приводит к тому, что модель оказывается излишне грубой. Методы интервального анализа дают возможность построить модель для случая, когда для каждого из этих коэффициентов задан интервал допустимых значений. Однако на практике, когда имеется информация, что некие значения коэффициентов более допустимы, чем другие, описание этих коэффициентов в виде нечетких множеств является более удачным. В этом случае на интервале дополнительно задается функция принадлежности, причем, если информация о различии допустимости имеет статистический характер, то эта функция может быть определена объективно, если нет — то субъективно, на основе приближенного отражения экспертом в агрегированном виде имеющегося у него неформализованного представления о величине этого коэффициента.

    Естественно, что введение нечетких коэффициентов усложняет процесс моделирования, однако в этом случае решение адекватно принятым упрощениям, например, при исключении третьей координаты $$z$$ понятие в точке $$(x, y)$$ становится размытым, нечетким, так как относится не к точке, а к интервалу.

    В общем случае динамику дискретных систем можно представить уравнением состояния:$$x_{k + 1} = F(x_k ,u_k )\quad k = 0,\ldots,N,\quad x_k \in X,\quad u_k \in U,$$ где $$X$$ — пространство состояний, $$U$$ — множество допустимых управлений, $$F$$ — переходная функция состояния, в общем случае нелинейная $$F\colon X\times U\to X$$.

    Эта система является детерминированной, если в любой момент времени $$k$$ можно однозначно определить ее новое состояние для момента времени $$(k+1)$$ по текущему состоянию l и управлению $$u_{k}$$.

    Для стохастических систем переходная функция записывается в виде$$F\colon X\times U\to XP,$$ где $$XP$$ — множество распределений вероятности на $$X$$. Для учета неопределенностей в модель могут вводиться случайные величины или коэффициенты. Однако для подобных моделей необходимо иметь информацию для построения вероятностных распределений.

    Не полностью определенные процессы можно моделировать с помощью аппарата нечетких множеств. Коэффициенты и некоторые величины могут быть заданы в виде функций принадлежности. Тогда динамика системы описывается нечетким отношением$$F\colon X\times U\times X\to [0,1],$$ представляющим собой нечеткое подмножество декартова произведения $$X\times U\times X$$.

    Величина $$F(x_{k}, u_{k}, x_{k+1})$$ рассматривается как интенсивность перехода или, точнее, как степень принадлежности элемента $$x_{k+1}$$ образу пары $$(x_{k}, u_{k})$$ при отображении $$F$$, т.е. основной характеристикой системы является функция принадлежности $$\mu(x_{k+1} | x_{k}, u_{k})$$.

    Используя понятие нечеткого отношения, можно ввести следующие пути определения функции $$F$$:

    1. Когда отсутствует модель процесса и имеется лишь лингвистическое описание желаемого поведения системы вида "если давление газа очень большое, то значительно увеличить расход". Подобные выражения дают информацию о том, что должно произойти в системе при поступлении на ее вход управляющих воздействий в форме нечетких множеств, определенных на универсальных множествах "давление газа" и "расход". Тогда нечеткое условное высказывание есть нечеткое отношение, которое определяется как$$F(x,u) = \min (\mu (x),\lambda (x));\quad \mu\colon X \to [0,1];\quad \lambda\colon X \to [0,1].$$

    Если $$F$$ будет являться нечеткой функцией, то состояние нечеткой системы в момент времени $$(k+1)$$ есть условное по $$x_{k}$$ и $$u_{k}$$ нечеткое множество, характеризуемое функцией принадлежности $$(x_{k+1} | x_{k}, u_{k})$$.

    2. Возможно использование имеющейся модели системы для задания функции $$F$$. Рассмотрим вначале случай свободной динамики системы и построим рекуррентную процедуру оценки состояния динамической системы в нечетких условиях.

    На практике ситуация усложняется частичным или полным отсутствием информации о статистических характеристиках шумов. Поэтому предлагается для решения задачи оценивания применять теорию нечетких множеств.

    Рассмотрим нелинейную динамическую систему с дискретным временем:$$x_{k+1}=F_{k} (x_{k}, w-k),\quad k=1,2,\ldots,$$ для которой измерение и состояние системы связаны соотношением$$z_{k} = H_{k} (x_{k} ,v_{k}).$$

    В этих уравнениях:

  • индекс $$k$$ соответствует $$k$$ -му моменту времени;
  • $$F_{k}$$, $$H_{k}$$ — нелинейные функции соответствующих аргументов;
  • $$x_{k}$$ — состояние динамической системы,
  • $$w_{k}$$ — нечеткая помеха, заданная для каждого момента времени $$k$$ -функцией принадлежности $$\mu(w_{k})$$ ;
  • $$v_{k}$$ — ошибка измерения с известной функцией принадлежности $$\mu(v_{k})$$.
    •

    Предполагается известной и функция принадлежности для начального состояния $$\mu(x_{0})$$.

    В процессе функционирования системы в общем случае носитель начального нечеткого состояния расширяется. Чтобы уменьшить неопределенность ситуаций при принятии решений, необходимо использовать дополнительную информацию о замерах и исследованиях в системе.

    Будем предполагать независимость ошибок измерения, помех и состояния в смысле определения независимости нечетких величин. При заданной условной функции принадлежности $$\(\mu (x_k \;|\;\bar z_k )\)$$ состояния $$x_{k}$$ и при наличии последовательности измерений $$\(\bar z_k = \{ z_0 ,z_1 ,\ldots,z_k \}\)$$, наилучшая четкая оценка состояния в момент времени $$k$$ может быть найдена из соотношения$$\mu (x_k^0 ) = \mathop {\max }\limits_{x_k } \;\mu (x_k \;|\;\bar z_k ).$$

    При наличии известной условной функции принадлежности $$\(\mu (x_{k + 1} \;|\;\bar z_k)\)$$ оптимальная точечная оценка состояния системы в момент $$(k+1)$$ может быть определена аналогично:$$\mu (x_{k + 1}^0 ) = \mathop {\max }\limits_{x_{k + 1} } \;\mu (x_{k + 1} \;|\;\bar z_k ).$$

    Поскольку для реальных процессов функции $$\(\;\mu (x_k \;|\;\bar z_k )\)$$ и $$\(\mu (x_{k + 1} \;|\;\bar z_k )\)$$ являются унимодальными, то процедура нахождения максимума довольно проста. Чтобы оценить состояния, выведем рекуррентную процедуру для функции принадлежности $$\(\mu (x_{k + 1} \;|\;\bar z_{k + 1} )\)$$. На основании определения условной функции принадлежности можно записать, что$$\mu (x_{k + 1} |\bar z_{k + 1} ) = \mu (x_{k + 1} ,\bar z_{k + 1} ) = \mu (x_{k + 1} ,\bar z_k ,z_{k + 1} ),$$ где вектор $$\(\bar z_{k + 1}\)$$ представлен в виде $$\(\;\bar z_{k + 1} = \{ \bar z_k ,z_{k + 1} \}\)$$.

    Используя определение $$\(\mu (x_{k + 1} \;|\;\bar z_{k + 1} )\)$$ и уравнение для ошибки измерения, получаем:$$\mu (x_{k + 1} ,\;\bar z_k ,\;z_{k + 1} ) = \mathop {\sup }\limits_{v_{k - H} = H_{k - H}^{ - 1} (x_{k - H} ,z_{k - H} )} \;\mu (v_{k + 1} ,x_{k + 1} ,\bar z_k ).$$

    Окончательно рекуррентные соотношения для нахождения апостериорной функции принадлежности для нечеткого состояния системы на любом шаге $$(k+1$$ ) можно записать следующим образом:$$\left\{ \begin{gathered} \mu (x_{k + 1} |\;\bar z_{k + 1} ) = \mu (x_{k + 1} |\;\bar z_k ) \wedge \mathop {\sup }\limits_{v_{k - H} = H_{k - H}^{ - 1} (x_{k - H} ,z_{k - H} )} \;\mu (v_{k + 1} ); \hfill \\ \mu (x_{k + 1} |\;\bar z_{k + 1} ) = \mathop {\max }\limits_{x_k } \left\{ {\mu (x_{k + 1} |\;\bar z_k ) \wedge \mathop {\sup }\limits_{w_k = F_{k - H}^{ - 1} (x_{k - H} ,x_k )} \;\mu (w_k ,x_k ,\bar z_k )} \right\}. \hfill \\ \end{gathered} \right.$$

    Рассмотрим теперь принципы управления нечеткой динамической системой для функции $$F$$. Допустим, что на управляющее воздействие $$u_{k}$$ в каждый момент времени $$k$$ наложены нечеткие ограничения $$C_{k}\subset U$$, характеризующиеся функцией принадлежности $$\(\mu _{C_k } (u_k)\)$$, и также задано начальное состояние $$x_{0}$$. Пусть $$G_{N}\subset X$$ — нечеткая цель, которую необходимо достигнуть в момент времени $$N$$. Эта цель характеризуется функцией принадлежности $$\(\mu _{G_N } (x)\)$$.

    Оптимальные четкие управляющие воздействия $$\(u_1^0 ,\;u_2^0 ,\ldots,u_{N -1}\)$$ могут быть определены следующим образом:$$\mu _D (u_0^0 ,\ldots,u_{N - 1}^0 ) =\!\! \mathop {\max }\limits_{u_0 ,\ldots,u_{N - 2} } \left\{ {\mu _{C_0 } (u_0 ) {\wedge} \ldots {\wedge} \mu _{C_{N - 2} } (u_{N - 2} ) {\wedge} \mu _{G_{N - 1} } (x_{N - 1} )} \right\}.$$

    Функция $$\(\mu _{G_{N - 1} } (x_{N - 1} )\)$$ может рассматриваться как функция принадлежности для нечеткой цели в момент времени $$N-1$$, индуцированной конечной целью $$G_{N}$$ для момента $$N$$. Зная текущее нечеткое состояние $$\mu(x_{k})$$, нечеткое ограничение $$\(\mu _{C_k } (u_k )\)$$ и индуцированную нечеткую цель $$\(\mu _{C_k } (u_k)\)$$, на момент времени $$k$$ можно найти эффективное четкое управление $$\(u_k^0\)$$.

    Предыдущее занятие Следующее занятие
    Вернуться к учебному плану
    ^