Элементы теории вероятностей в задачах

Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа

Показывать лекцию целиком

Основные теоретические сведения

Пусть в каждом из n независимых испытаний событие A может произойти с вероятностью p, q=1-p(условия схемы Бернулли). Обозначим как и раньше, через $$P_n(k)$$ вероятность ровно k появлений события А в n испытаниях. Кроме того, пусть $$P_n(k_1;k_2)$$ – вероятность того, что число появлений события А находится между $$k_1$$ и $$k_2$$.

Локальная теорема Муавра-Лапласа.

Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то

$$P_n(k)=\frac 1 {\sqrt{n \cdot p \cdot q}} \varphi \left( \frac {k-n \cdot p} {\sqrt{n \cdot p \cdot q}} \right),\varphi(x)=\frac 1 {\sqrt{2 \cdot \pi}} \cdot e^{\frac {-x^2} 2},x=\frac {m-n \cdot p} {\sqrt{n \cdot p \cdot q}}$$

– функция Гаусса

где k – появление событий, m – число исходов, n – число независимых испытаний, p – вероятность "успеха", q – вероятность "неудачи".

Интегральная теорема Муавра-Лапласа.

Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то

$$P(n;k_1,k_2)P_n(k_1;k_2)=\Phi \cdot \left(\frac {k_2-n \cdot p} {\sqrt{n \cdot p \cdot q}} \right) -\Phi \cdot \left(\frac {k_1-n \cdot p} {\sqrt{n \cdot p \cdot q}} \right), \Phi(x)=\frac 1 {\sqrt {2 \cdot \pi}} \cdot \int \limits^x_{-\infty} e ^{\frac {-t^2} 2} \cdot d \cdot t$$

– функция Лапласа.

где k – появление событий, m – число исходов, n – число независимых испытаний, p – вероятность "успеха", q – вероятность "неудачи".

Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые необходимо знать при использовании таблиц значений этих функций:

  • $$\varphi (-x)=\varphi (x), \hat {O} (-x)=-\hat {O} (x)$$
  • при больших x верно $$\varphi (x) \approx 0, \hat {O} (x) \approx 0,5$$
    •

    Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при $$n \cdot p \cdot q \geq 9$$. Причем чем ближе значения p*q к 0,5, тем точнее данные формулы. При маленьких или больших значениях вероятности (близких к 0 или 1) формула дает большую погрешность (по сравнению с исходной формулой Бернулли).

    Пример решения задачи

    Задача: Для мастера определенной квалификации вероятность изготовить деталь отличного качества равна 0,75. За смену он изготовил 400 деталей. Найти вероятность того, что в их числе 280 деталей отличного качества.

    Дано:

    n=400

    p=0,75

    q=0,25

    k=280

    		 Решение:

    1. Находим

    $$x=\frac {m-n \cdot p} {\sqrt {n \cdot p \cdot q}}=\frac {280-300} {\sqrt {75}} = -2,31$$

    2. По таблице значений локальной функции (смотреть Приложение 1) найдем:

    $$\phi (-2,31)= \phi (2,31) = 0,0277$$

    Это значение было получено пересечением строки со значением 2,3 и столбца со значением 1.

    3. Вычисляем вероятность:

    $$P_{400}(280)=\frac 1 {\sqrt {n \cdot p \cdot q}} \cdot \phi (t)=\frac {0,0277} {\sqrt {75}} \approx 0,0032$$

    Ответ: $$P_{400} (280)=0,0032$$
    $$P_{400}=?$$
    Предыдущее занятие Следующее занятие
    Вернуться к учебному плану
    ^