Сложные проценты

3.1 Определение сложных процентов

Объясним на простом примере, почему в финансовых расчётах используются не только простые, но и сложные проценты. Предположим, что владелец депозитного счёта, на который начисляется r% простых в год, по истечении каждого года изымает вклад вместе с начисленными процентами и тут же вновь открывает новый депозитный счёт на всю полученную сумму. В результате проценты в каждом следующем году будут начисляться не только на начальную сумму, но и на начисленные в предыдущем году проценты. Через t лет, таким образом, будет накоплена сумма S, равная $$P(1+r)^t$$, где P - сумма первоначального вклада. Формула

$$S=P(1+r)^t\,\,\, (3.1)$$

называется формулой сложных процентов для $$t$$ лет. Чтобы не заниматься бессмысленным переоформлением вкладов и иметь возможность вкладывать деньги в длительные проекты, банкиры уже давно стали использовать сложные проценты. Говорят, что Альберт Эйнштейн, открывший миру теорию относительности и считавшийся наиболее оригинальным умом планеты, считал сложный процент одним из чудес этого мира.

Поясним, как получается формула (3.1). В конце первого периода к исходной сумме P прибавляется сумма Pr. Наращенная сумма $$S_{1}$$ будет равна:

$$S_{1}=P+Pr=P(1+r)$$

В конце второго периода к имеющейся сумме P(1+r) прибавляется сумма P(1+r)r. Наращенная сумма $$S_{2}$$ составит:

$$S_{2}=P(1+r)+P(1+r)r=P(1+r)^{2}.$$

Аналогично, к концу третьего периода будем иметь наращенную сумму

$$S_{3}=P(1+r)^{3},$$

и к концу t -го года наращенная сумма $$S_n$$ будет равна:

$$S_n=P(1+r)^{n}\,\,\, (3.2) $$

При выводе последней формулы мы считали число лет t целым. Однако в практике финансовых расчётов часто приходится вычислять суммы, наращенные за нецелое число лет, например, за полгода (t=0.5) или за 3 года 2 месяца (t=19/6) и т.п.. Кроме того, процентная ставка r может объявляться для временного промежутка, не равного году, например, квартала или даже дня. Поэтому далее для обозначения временного промежутка, которому соответствует процентная ставка r , мы будем использовать термин период. По определению для произвольного (может быть, и нецелого) числа периодов t наращенная сумма при начислении сложных процентов вычисляется по формуле:

$$ S=P(1+r)^{t}\,.$$

Множитель (1+r) называется множителем наращения. В докомпьютерные времена при финансовых расчётах использовали специально составленные таблицы множителя наращения для различных значений r и t.

Формула (3.2) имеет смысл и при отрицательном значении процента r . В таком случае первоначальная сумма денег P со временем уменьшается. Это уменьшение не всегда носит негативный характер, а может описывать естественный процесс уменьшения ценности, как, например, при амортизации по методу фиксированного процента, о которой речь пойдет в лекции 4.

В формуле (3.2) исходную сумму P называют также текущей или приведенной ценностью (present value) денег, а наращенную сумму S - их будущей ценностью (future value). Используются также связанные с этими названиями обозначения PV и FV, с учётом которых формула (21) принимает вид:

$$FV=PV(1+r)^{t}$$ (рис 5) Сравнение коэффициентов наращения 1+rt и (1+r)^t

При начислении процентов один раз за период при $$t>1$$ наращенная сумма при сложных процентах больше, чем наращенная сумма при простых процентах, так как верно неравенство:

$$(1+r)^{t}>1+rt\,\,\, (3.3)$$

Но при $$t<1$$ неравенство (3.3) меняется на противоположное:

$$(1+r)^{t}<1+rt\,\,\, (3.4)$$

Заметим, что максимальное превышение простого процента над сложным достигается при t=0.5. На рис.5 приведены графики функций $$y=1+rt$$ и $$y=(1+r)^t$$, которые наглядно показывают соотношение между коэффициентами наращения при простом и сложном процентах при различных t.

Финансовое учреждение в ряде случаев может указывать процентную ставку на любой период начисления, но для сравнения следует привести такую ставку к годовой. Например, если банк начисляет $$r_m\%$$ сложных в месяц, то исходная сумма P за год превратится в наращенную сумму $$S=P(1+r_m)^{12}$$. Соответствующая годовая ставка r определяется равенством:

$$P(1+r_m)^{12}=P(1+r),$$

из которого определяем значение r :

$$r=(1+r_m)^{12}-1.$$

Например, если $$r_m=6\%$$, применяя эту формулу, получаем:

$$r=(1+0.06)^{12}-1=101.2\%\,.$$

Пример 34. Банк начисляет ежегодно 8% сложных. Клиент положил в этот банк 20 000 руб. Какая сумма будет на его счёте через 5 лет?

Решение. Применяя формулу (3.2), находим наращенную сумму S при P=20 000, r=0.08, t=5:

$$ S=20\,000(1+0.08)^{5}=20\,000\times 1.469328=29\,386.56\mbox{ руб.} $$

Заметим, что если бы банк выплачивал 8% простых, то через 5 лет на счёте была бы меньшая сумма:

$$ S=20\,000(1+0.08\times 5)=20\,000\times 1.4=28\,000\mbox{ руб.}\qquad\Box $$

В практике финансовых расчётов ставку сложных процентов, как правило, указывают за период, равный году, но начисление сложных процентов может производиться каждое полугодие, квартал, месяц или даже день. При этом за каждый такой период, равный 1/m части года, начисляются сложные проценты по ставке r/m сложных процентов. В этом случае формула (3.2) примет вид:

$$ S=P\left(1+\frac{r}{m}\right)^{tm}, $$

где t - длительность промежутка времени, в течение которого начисляются сложные проценты (t измеряется в годах). Например, в случае одного квартала t=0.25.

Чтобы показать, что при годовой ставке сложных процентов r вычисление сложных процентов производится m раз в году по ставке r/m, эту ставку обозначают $$j_{m}$$. Тогда последняя формула принимает вид:

$$S=P\left(1+\frac{j_{m}}{m}\right)^{tm}\,\,\, (3.5)$$

Пример 35. Решим пример (3.5) при $$r=j_{4}=8\%$$ и при $$r=j_{12}=8\%$$.

Решение. Применяем формулу при $$j_{4}=8\%$$, получаем:

$$ S=20\,000\left(1+\frac{0.08}{4}\right)^{5\times 4}=20\,000\times 1.4859474=29\,718.95\mbox{ руб.} $$

Применяем формулу (3.5) при $$j_{12}=8\%$$, получаем:

$$ S=20\,000\left(1+\frac{0.08}{12}\right)^{5\times 12}= 20\,000\times 1.4898457=29\,796.91\mbox{ руб$$

Мы видим, что при увеличении числа периодов начисления процентов при той же годовой процентной ставке наращенная сумма, полученная за одно и то же время, увеличивается.

3.2 Основные задачи на сложные проценты

При использовании сложных процентов встречаются те же четыре типа задач, которые были рассмотрены для простых процентов. Задача первого типа встретилась в примерах 34 и 35. В следующих примерах решаются задачи остальных трех типов.

Пример 36. Какую сумму следует вложить в банк, выплачивающий $$j_{12}=7\%$$, чтобы получить 3 000 руб. через 4 года 6 месяцев? .

Решение. Применим формулу (3.5) при $$j_{12}=0.07,\ m=12,\ t=4.5$$:

$$ 3\,000=P\left(1+\frac{0.07}{12}\right)^{12\times 4.5}\,=\,P(1+0.0058)^{54}. $$

Из этого равенства находим значение P:

$$ P=3\,000\times(1+0.0058)^{-54}=3\,000\times 0.7317655=2\,195.30\mbox{ руб.} $$

В предыдущем примере требовалось определить, какую сумму денег надо вложить в банк в настоящее время, чтобы получить сумму S через t лет в будущем. Решение такой задачи называется дисконтированием суммы S Величина вклада определяется формулой:

$$P=S(1+r)^{-t}\,\,\, (3.6)$$

если начисление r% сложных производится один раз в год в течение t лет, и формулой:

$$P=S\left(1+\frac{j_{m}}{m}\right)^{-tm}\,\,\, (3.7)$$

если начисление процентов производится по ставке $$j_{m}$$ в течение t лет. Множитель $$(1+r)^{-t}$$ называется дисконтным множителем.

Пример 37. Под какую процентную ставку $$j_{1}$$ следует вложить 5 000 руб., чтобы через 2 года получить 7 000 руб.?

Решение. Применим формулу (3.2) при S=7000, P=5000, t=2:

$$7\,000=5\,000\times(1+r)^{2}.$$

Преобразуем последнее равенство и определим из него значение r :

$$(1+r)^{2}=1.4,\mbox{ откуда\ \ } 1+r=1.183;\ r=0.183=18.3\%$$

Пример 38. Банк начисляет ежегодно 8% сложных. Клиент положил в этот банк 20 000 руб. Через несколько лет на его счету была сумма, равная 29 386.56 руб. Сколько лет начислялись проценты

Решение. Преобразуем формулу (3.2) и получим формулу для t:

$$t=\displaystyle\frac{\displaystyle\ln \frac{S_t}{P}}{\ln (1+r)}\,.$$

Используем эту формулу при S=29 386.56,P=20 000 и r=0.08:

$$ t=\displaystyle\frac{\displaystyle\ln \frac{29\,386.56}{20\,000}}{\ln (1+0.08)}\,=\,5\mbox{ лет.} $$

3.3 Непрерывное начисление сложных процентов

Мы видели (пример 35), что сумма, наращенная за t лет при постоянной процентной ставке $$j_{m}=j$$, с увеличением числа m увеличивается (этот результат доказывается в общем виде в курсе высшей математики). При неограниченном увеличении m наращенная сумма $$S=S_m$$ стремится к конечному пределу:

$$ \lim_{m\to\infty}S_m=Pe^{jt}.$$

Этот факт даёт основание применять так называемое непрерывное начисление процентов по годовой ставке $$\delta$$. Наращенная за время t сумма определяется формулой:

$$S=Pe^{\delta t}\,\,\, (3.8)$$

Процентная ставка $$\delta$$ в этом случае называется силой роста. Иногда силу роста обозначают $$j_{\infty}$$. Значение $$e^x$$ для разных значений x можно вычислить с помощью финансового калькулятора или в Excel.

Из формулы (3.8) непосредственно следует формула дисконтирования капитала при непрерывном начислении процентов:

$$P=Se^{-\delta t}\,\,\, (3.9)$$

Заметим, что непрерывное начисление крайне редко используется на практике и широко используется в теории финансовых моделей.

3.4 Эффективная процентная ставка

При заключении финансовых контрактов каждый участник сделки стремится заключить контракт на наиболее выгодных для себя условиях. Условия контракта могут быть различными, и надо иметь возможность сравнивать контракты. При этом различные контракты могут предусматривать различные виды начисления процентов, и для сравнения таких контрактов необходимо разработать способы приведения различных процентных ставок к одному виду. Для этой цели вводятся понятия: эквивалентность процентных ставок и эффективная процентная ставка.

Эффективной процентной ставкой, соответствующей данной процентной ставке, называется ставка сложных процентов $$i_c$$, эквивалентная данной процентной ставке и не зависящая от срока применения этой ставки.

Формула для эффективной процентной ставки может быть выведена из следующего равенства:

$$S=P(1+i_c)^{t}=P\left(1+\frac{j_{m}}{m}\right)^{tm}\,. $$

Выполнив простые преобразования, получаем условия эквивалентности ставок $$i_c$$ и $$j_{m}$$:

$$i_c = \left(1+{j_{m}\over m}\right)^{m}-1\,\,\, (3.10)$$

Аналогично выводится и эквивалентность любой пары ставок, например, $$i_c$$ и $$\delta$$:

$$i_c = e^{\delta}-1\,\,\, (3.11)\\ \delta = \ln{(1+i_c)}\,\,\, (3.12)$$

Вычисление эффективной процентной ставки применяется для определения реальной доходности финансовой операции. Эта доходность определяется соответствующей эффективной процентной ставкой. Рассмотрим примеры.

Пример 39. Банк выплачивает по вкладам 10% годовых (сложных). Какова реальная доходность вкладов в этом банке при следующих видах начисления процентов: а) ежемесячно, б) ежеквартально, в) по полугодиям, г) непрерывно?

Решение. Чтобы определить реальную доходность вкладов в банк, надо найти эффективную процентную ставку $$\,i_c\,$$ при: а) $$j_{12}=0.1/12\,$$, б) $$j_{4}=0.1/4\,$$, в) $$j_{2}~=0.1/2\,$$, г) $$\delta=0.1$$. Применим теперь соответствующие формулы:

а) по формуле (3.10) получаем: $$i_c=(1+0.1/12)^{12}-1=0.1047=10.47\%\,;$$

б) по формуле (3.10) получаем: $$i_c=(1+0.1/4)^{4}-1=0.1038=10.38\%\,;$$

в) по формуле (3.10) получаем: $$i_c=(1+0.1/2)^{2}-1=0.1025=10.25\%\,;$$

г) по формуле (3.11) получаем: $$i_c=e^{0.1}-1=0.1052=10.52\%$$

3.5 Плавающий сложный процент

В договорах срочного вклада обычно оговаривается, что в случае невостребования вкладчиком вклада по истечении его срока действия договор продлевается (пролонгируется) на очередной срок, равный сроку вклада. Проценты при очередном сроке вклада начисляются по ставке, действующей в банке для данного вида вкладов на день продления договора Мы дословно процитировали условия продления невостребованного вклада из текста договора срочного вклада одного из крупных российских банков.. Если процентная ставка изменяется в течение действия договора, то говорят, что применяется плавающая ставка процента.

При плавающей процентной ставке наращенная сумма за два срока вклада будет вычисляться по формуле:

$$ S=P(1+r_1)^t(1+r_2)^t\,\,\, (3.13)$$

где $$r_1$$ - процентная ставка за период по вкладу в первый срок, $$r_2$$ - процентная ставка за период по вкладу во второй срок, t - величина одного срока в периодах.

Если обобщить формулу (3.13) на k сроков и допустить, что сроки могут иметь различную длительность $$(t_1,\, t_2,\,\dots,\,t_k)$$, то получим общую формулу плавающего сложного процента:

$$ S=P(1+r_1)^{t_1}(1+r_2)^{t_2}\cdots\, (1+r_k)^{t_k}\,\,\, (3.14)$$

Плавающий сложный процент применяется на практике не только в договорах срочных вкладов, но и при выдаче ссуд и ипотеке. Применение плавающего процента свидетельствует о нестабильной обстановке на финансовом рынке. Рассмотрим следующий пример.

Пример 40. Два года назад вы заняли у приятеля 50\,000 руб. и собираетесь вернуть долг сейчас. Какую сумму справедливо вернуть приятелю, если инфляция в эти годы составила 16% и 11%? Под справедливостью подразумевается возможность купить на возвращенные деньги то же количество благ, что и два года назад на одолженные деньги.

Решение. Применяя формулу (32) при $$t=1$$, $$P=50 000$$, $$r_1=0.16$$, $$r_2=0.11$$, получаем:

$$ S=P(1+r_1)\,(1+r_2)\,=\,50\,000\,(1+0.16)\,(1+0.11)\,=\,60\,438\mbox{ руб.} $$

3.6 Используем Excel

Продолжим изучение возможностей программы Excel, которые используются при решении финансовых задач. При решении примеров из лекции 1 мы обсудили (и использовали) ввод данных с форматированием и работу с простыми формулами в Excel. В этой лекции мы будем дополнительно использовать библиотеку встроенных функций. За деталями организации доступа к встроенным функциям Excel и использования команды Формат ячейки мы отсылаем читателя к специализированной литературе. Заметим, что использование встроенных функций в Excel ничем, по существу, не отличается от их использования в любом популярном языке программирования.

Напомним читателю, что, для того чтобы решения примеров в Excel выглядели также, как на рисунках в этих лекциях, необходимо установить в ячейках правильные форматы. Мы не указываем здесь точное место команды форматирования ячеек, так как допускаем, что читатели могут использовать любые версии программы Excel, но не ранее XP.

(рис 6) Пример на вычисление сложного процента

На рис.6 приведен фрагмент рабочего листа с решением примера 34. Сумма, которая будет на счёте в банке через 5 лет (29 386.56 руб.), определена четырьмя способами: значение в ячейке B12 вычислено с помощью встроенной функции БЗРАСПИС; значение в ячейке B13 вычислено с помощью англоязычного аналога той же встроенной функции FVSchedule; значение в ячейке B15 вычислено с помощью функции пользователя БЗ (о ней будет рассказано далее); значение в ячейке B14 - непосредственно по формуле сложных процентов (3.2).

Сделаем необходимые пояснения к приведенному решению примера 34. Заметим, что в Excel отсутствует встроенная функция, которая реализует вычисления по формуле

$$ FV=PV(1+r)^{t}\,\,\, (3.15) $$

Неудобство из-за отсутствия встроенной функции, которая реализует вычисления по формуле (3.15), легко устранить, написав такую функция на языке VBA. Мы приведем только простейший вариант текста такой функции БЗ (листинг 3.1):

 Function БЗ(ПривСтоим, Процент, Срок)
  БЗ = ПривСтоим*(1 + Процент)^ Срок
 End Function
\end{verbatim}
\vspace{-0.35cm}

Использование функции, созданной пользователем, ничем не отличается от использования встроенной функции Excel, что и продемонстрировано при вычислении значения в ячейке B15. Однако следует иметь в виду две связанные с этим технические детали. Во-первых, при открытии xls-файла, в котором имеется хотя бы одна функция пользователя, программа Excel выдает запрос об открытии доступа к этим функциям. Во-вторых, для доступа к некоторой функции пользователя необходимо иметь открытым тот файл, в котором эта функция содержится.

(рис 7) Пример на вычисление эффективной процентной ставки

Покажем теперь, как выполнить решение другого типичного примера на сложные проценты средствами Excel. На рис. 7 приведен фрагмент рабочего листа с решением примера 39. Для вычисления эффективной процентной ставки $$i_c$$ при дискретном начислении процентов в Excel имеется встроенная финансовая функция ЭФФЕКТ, реализующая формулу:

$$i_c=\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{m}-1$$

Напомним, что вычисление эффективной процентной ставки $$i_c$$ при непрерывном начислении процентов выполняется по формуле: $$i_c=e^{\delta}-1\,$$. При записи вычислений по этой формуле в ячейке B17 была использована встроенная математическая функция EXP.

Имеется также встроенная финансовая функция НОМИНАЛ, которая по эффективной процентной ставке $$i_c$$ и числу начисления процентов в период (m) вычисляет номинальную процентную ставку $$j_{m}$$ по формуле:

$$j_{m}=m(\sqrt[m]{1+i_c}-1)\,.$$

Список ключевых терминов

Множитель наращения - множитель, равный $$(1+r)$$, где r - процентная ставка за период.

Непрерывное начисление процентов -схема начисления процентов, при которой наращенная за время t сумма S определяется формулой: $$S=Pe^{\delta t}$$.

Период-временной промежуток, которому соответствует фиксированная процентная ставка.

Сила роста - параметр $$\delta$$ в формуле непрерывного начисления процентов.

Сложный процент - схема начисления процентов, при которой базой для следующего периода является исходная сумма плюс начисленные проценты.

Эффективная ставка - ставка сложных процентов, эквивалентная данной процентной ставке и не зависящая от срока применения этой ставки.

Краткие итоги

В лекции рассмотрено применение сложного процента в задачах оценивания финансовых объектов ранее определённых в этом курсе и операций с ними. Продолжен обзор возможностей программы Excel для решения рассмотренных в курсе примеров.