Простые проценты

2.1 Определение простых процентов

Если сумма P увеличивается на r%, то полученная в результате сумма S называется наращенной суммой и вычисляется по формуле:

$$S=P+Pr=P(1+r)$$

При этом величина P называется исходной суммой, а Pr - суммой начисленных процентов.

Пример 20. Сбербанк выплачивает по пенсионным вкладам 3.5% годовых (простые). Вычислим, какая сумма будет через год на счете пенсионера, положившего на счёт 1,200 руб. в начале года.

Решение. Через год на счету пенсионера будет сумма:

$$ S=P(1+r)=1\,200(1+0.035)=1\,242\mbox{ руб.} $$

Если имеется несколько периодов времени, в каждый из которых исходная сумма P увеличивается на r%, то говорят, что на сумму P начисляются простые проценты. Наращенная сумма S, полученная в результате начисления n раз по r% на сумму P, выражается формулой:

$$S=P+Prn\mbox{ или }S=P(1+rn)$$

Формула, выражающая наращенную сумму при начислении простых процентов, получена при условии, что число n периодов начисления процентов - целое. По определению мы введем такую же формулу для любого положительного (не обязательно целого) числа периодов, которое будем обозначать буквой t:

$$S=P(1+rt)\,\,\, (2.1)$$

Необходимость начисления процентов за нецелое число периодов встречается в практике финансовых расчетов часто. Например, на депозит, пролежавший в банке 3 года и 3 месяца, банк должен начислить проценты за 3.25 периода.

Заметим, что при заключении финансовых контрактов обычно оговаривается наименьшая часть периода начисления процентов: например, каждый полный день (1/360 часть периода начисления, равного году). В этом случае t в формуле (2.1) принимает лишь значения соответственно k/360 или k/52 (k - целое). Например, если депозит пролежал в банке 2 года 16 дней, то

$$t=2+{16\over 360}={736\over 360}$$

Для сравнения различных условий кредитования финансисты приводят ставку процента за произвольный период к годовой. Это правило в большинстве стран закреплено законом. Например, если банк даёт r% простых в год, то это соответствует квартальной ставке $$r_4\,=\,\displaystyle{r\over 4}\,\%$$. Таким образом, при $$r\,=\,4\%$$, имеем $$r_4\,=\,\displaystyle {4\over 4}\,=\,1\%$$.

2.2 Разы и проценты

Когда в статистических отчётах, публицистике и в обыденной жизни сообщается об изменении какого-либо показателя, то это изменение в одних случаях указывается в процентах, а в других - в разах. И порой возникает путаница при переводе процентов в разы и разов в проценты.

Правило перевода предельно простое, если речь об увеличении (росте) некоторого показателя: при переводе процентов в разы надо, рассматривая процент как десятичную дробь, прибавить число 1; при переводе разов в проценты надо вычесть из разов 1 и результат перевести в проценты. Поясним на конкретных примерах, как получено и работает это правило.

Пример 21. На первой странице газеты "Ведомости" от 1 августа 2005 г. можно было увидеть заголовок: "Зарплата россиян за 1,5 года выросла в 1,5 раза". На сколько процентов увеличилась зарплата россиян за рассматриваемый период?

Решение. Обозначим через x среднюю зарплату в России в начале рассматриваемого периода (начало 2004 г.). Тогда из условия следует, что в конце рассматриваемого периода (середина 2005 г.) средняя зарплата составила 1.5x. Следовательно, зарплата увеличилась на

$$1.5x-x\,=\,(1.5-1)x\,=\,0.5x\mbox{ (руб.)}$$

Мы так подробно расписали эти элементарные вычисления, чтобы было видно, что в круглой скобке из разов (1.5) вычитается 1. Переведем величину увеличения зарплаты в проценты от зарплаты в начале 2004 г.\ и получим, что зарплата увеличилась на 50%:

$$\displaystyle\frac{0.5x}{x}\,=\,0.5\,=\,50\%\$$

Рассмотрим теперь ситуацию, когда имеет место уменьшение некоторого показателя. Любое уменьшение можно считать ростом на отрицательное количество процентов. Для роста в таком понимании, если обозначить r. - величину роста, выраженную как десятичная дробь, то должно быть выполнено неравенство: $$-1\le r$$. Это неравенство означает, что процент уменьшения не может быть больше 100%, а процент увеличения может быть неограниченно большим. Такому обобщению понятия роста поставим в соответствие понятие коэффициент изменения. Коэффициент изменения - положительное число, на которое надо умножить начальное значение показателя, чтобы получить его конечное значение. При увеличении значения показателя коэффициент изменения будет больше 1, а при уменьшении - меньше 1. С учетом сказанного, можно сформулировать единое правило перевода процентов в коэффициент изменения: при переводе процентов в коэффициент изменения нужно, рассматривая процент как десятичную дробь, прибавить 1.

Приведём схематичное изображение этого правила:

Пример 22. Цена акции уменьшилась за год на 20%. Вычислим, чему равен коэффициент изменения цены акции.

Решение. Обозначим через x цену акции в начале года. По условию цена акции в конце года составила

$$x - 0.2x\,=\,(-0.2+1)x\,=\,0.8x$$

Следовательно, коэффициент изменения цены акции равен 0.8. Мы так подробно расписали эти элементарные вычисления, чтобы было видно, что в круглой скобке к процентам роста (-0.2) прибавляется 1.

Рассмотрим теперь ситуацию, когда имеет место уменьшение значения некоторого показателя x, которое выражается в разах. Предположим, что это значение уменьшилось в k раз. Это означает, что новое значение показателя равно x/k и составляет 1/k процентов от исходного значения. Соответственно, значение показателя изменилось на

$$1-\displaystyle\frac{1}{k}\,=\,\displaystyle\frac{k-1}{k}\,(\%)$$

Таким образом, при уменьшении значения некоторого показателя правило перевода разов в проценты может быть сформулировано следующим образом: при переводе k разов в проценты нужно выразить в процентах дробь (k-1)/k.

Приведем теперь схематичное изображение общего правила перевода разов в проценты:

Пример 23. За 2 года цена некоторой модели цифрового фотоаппарата уменьшилась в 3 раза. Вычислим, на сколько процентов уменьшилась цена.

Решение. Используем приведенное выше правило перевода при k=3:

$$\displaystyle\frac{k-1}{k}\,=\,\displaystyle\frac{3-1}{3}\,=\,\frac23\,=\,66.67\%\,.$$

Следовательно, за 2 года цена фотоаппарата уменьшилась на 66.67%.

2.3 Банковский депозит под простые проценты

Формула (8) связывает между собой четыре величины: S, P, r и t. С помощью этой формулы, выделив любые три из них и задав их значения, можно вычислить значение четвертой величины. Таким образом, имеем четыре типа задач, соответствующих четырём возможным способам выделения трех объектов из четырех: определение величины наращенной суммы, определение величины необходимой исходной суммы, определение необходимого срока хранения и определение процента. Приведем примеры.

Пример 24. Банк выплачивает 6% простых в год. Господин Федоров хочет получить через 2 года и 6 месяцев 10,000 руб. на подарок сыну к 16-летию. Вычислим, какую сумму он должен положить в банк в настоящий момент.

Решение. Нам дано: $$S=10\,000~руб., t=2.5, r=6\%=0.06.$$ Из формулы (2.1) получаем формулу для вложенной суммы:

$$P={S\over{1+rt}}}\,\,\, (2.2)$$

Подставляя данные задачи в эту формулу, получаем ответ:

$$P=10\,000/(1+0.06\times 2.5)=10\,000/1.15=8\,695.65\mbox{ руб.}$$

Пример 25. В банк было положено 1,500 руб. Через 1 год 3 месяца на счете было 1,631.25 руб. Определим, сколько простых процентов в год выплачивает банк.

Решение. Нам дано:P=1,500 руб.,t=1.25, S=1,631.25 руб.

Из формулы (2.1) получаем формулу для r:

$$r=\frac{1}{t}\,\left({\frac{S}{P}-1}\right)\,\,\, (2.3)$$

Подставляем данные задачи в эту формулу:

$$r=\frac{1}{1.25}\times\left({1\,631.25\over{1\,500}}-1\right)=% \frac{0.0875}{1.25}=0.07=7\%\$$

Пример 26. В банке был открыт депозитный счёт, на который было положено 1,500 руб. под 7% простых. Через некоторое время на счёте стало 1,631.25 руб. Определим, сколько времени прошло с момента открытия счёта.

Решение. Нам дано: P=1,500 руб., r=7% и S=1,631.25 руб.

Из формулы (2.1) получаем формулу для t:

$$t=\frac{1}{r}\,\left({\frac{S}{P}-1}\right)\,\,\, (2.4)$$

Подставляем данные задачи в эту формулу:

$$t=\frac{1}{0.07}\times\left({1\,631.25\over{1\,500}}-1\right)=1.25$$

2.4 Процентный пункт

Изменения ставки процента часто указывается в процентных пунктах. Если говорят, что ставка процента, равная r%, увеличилась на i процентных пункта, то это означает, что новое значение ставки процента составляет (r+i)\%. Таким образом, если процентная ставка r=3\% увеличилась на 0.5 процентных пункта, то новое значение процентной ставки r составляет 3.5%. Это изменение можно охарактеризовать и в процентах от начального значения ставки (3%). Тогда следует указать, что процентная ставка увеличилась на

$$\frac{0.5}{3}=0.167=16.7\%$$

Однако в последнее время банки гораздо чаще уменьшают процентные ставки по вкладам. Если процентная ставка по вкладу составляла 10% и была уменьшена до 4%, то можно сказать, что процентная ставка была уменьшена на 6 процентных пунктов. Это изменение также можно охарактеризовать в процентах от начального значения ставки (10%). Тогда следует указать, что процентная ставка уменьшилась на

$$\frac{6}{10}=0.6=60\%$$

Как видно из приведенных примеров, задание изменения ставки процента в процентных пунктах является удобным и предполагает более простые вычисления (только сложение или вычитание).

2.5 Векселя

Вексель - ценная бумага, являющаяся простейшим типом долгового обязательства. Слово вексель является калькой с немецкого глагола Wechseln, который означает менять. Простой вексель представляет из себя безусловное письменное обязательство одного лица выплатить определенную сумму денег другому лицу в указанную дату или по первому требованию. Поэтому все векселя именные и выпускаются в бумажном виде. Процедура получения денег по векселю называется его гашением.

Вексель имеет очень долгую историю - еще в Древней Греции и Риме употреблялись документы, похожие на современные векселя. Широко применялись векселя и в дореволюционной России. Для тех, кто заинтересуется историей этого вопроса, рекомендуем почитать главы, посвящённые векселям, в "Курсе коммерческой арифметики и торговых операций" (А. Мансфельд, Москва, 1907 г.).

В 1930 г. ряд стран заключили Женевскую вексельную конвенцию, которая установила Единообразный закон о переводном и простом векселях. СССР ратифицировал Женевскую вексельную конвенцию в 1937 г. и ввел в действие положение о переводном и простом векселе. Текст этого положения является переводом на русский язык Единообразного закона. Из-за жесткого государственного регулирования средств предприятий вексельное положение в СССР не получили практического применения.

Положение существенно поменялось в последнее десятилетие 20 века: в России не только действует положение о переводном и простом векселе, но векселя довольно широко используются хозяйствующими субъектами.

К преимуществам векселей (перед депозитами, например) можно отнести возможность их использования в качестве расчетного средства (при крупных покупках) и залога (при получении кредита). Также вексель можно предать другому лицу или продать на вторичном рынке. Однако следует иметь в виду, что использование векселей имеет и ряд неудобств. Главное, по нему довольно сложно досрочно получить деньги: лицо, выписавшее вексель, не обязано досрочно гасить его.

Векселя не торгуются на биржах, поэтому у них нет официальных котировок. Узнать средние цены каждого векселя можно в различных информационных системах, например, в российской вексельной системе http://www.bills.ru. Доход по векселю может выплачиваться в момент его погашения в виде фиксированного процента, если вексель покупался по номинальной стоимости. Сейчас на рынке в основном обращаются дисконтные векселя, которые гасятся по номинальной стоимости, а продаются по меньшей цене - с дисконтом. Рассмотрим пример.

Пример 27. Г-н Иванов занял у г-на Петрова деньги, получив от него 9,800 руб. и выдал ему вексель, по которому обязался выплатить 10,000 руб. через три месяца. Определим, под какой годовой процент r выдан этот вексель?

Решение. Применим формулу (2.3) при P=9,800, S=10,000, t=0.25:

$$r=\frac{1}{0.25}\times\left({10\,000\over{9\,800}}-1\right) = 0.0816=8.16\%$$

2.6 Учет векселей

Простые проценты применяются в финансовой операции, которая называется учетом векселей и заключается в следующем: банк покупает вексель на сумму S у его владельца до истечения срока оплаты векселя по цене P, меньшей, чем S. Цена S рассчитывается по формуле:

$$P=S(1-td)\,\,\, (2.5)$$

где t - число лет, остающееся с момента учета векселя до срока его оплаты, d% - учётная ставка, установленная банком.

Заметим, что процент наращения r и учётная ставка d характеризуют приращение денег в единицу времени в долях либо расходного платежа P, либо доходного платежа S:

$$ r\,=\,\displaystyle\frac{S-P}{Pt},\ d\,=\,\displaystyle\frac{S-P}{St}$$

Как следует из этих формул, величина ставки наращения r и учётной ставка d должна быть согласована с единицей измерения t. Например, если время измеряется в годах, то и соответствующая ставка будет годовая, а если время измеряется в месяцах, то - месячная.

Пример 28. Вексель выдан на 10 000 руб. с уплатой 15 октября. Владелец векселя учел его в банке 15 августа по учётной ставке 10%. Вычислим, какую сумму он получил. Вычислим также, какую сумму он получит, если срок уплаты по векселю 15 октября следующего года.

Решение. Число дней между 15 августа и 15 октября равно 60. Считая, что в году 360 дней (так принято при банковском учете), имеем $$t=60/360=1/6$$. По формуле (2.5) при S=10 000, d=0.1, t=1/6 получаем ответ на первый вопрос:

$$P=10\,000\times(1-{1\over{6}}\times 0.1)=10\,000\times {59\over{60}}=9\,833.33~\mbox{руб.}$$

Число дней между 15 августа и 15 октября следующего года равно $$360+60=420$$ дней, т.е.,

$$t=420/360=7/6$$

По формуле(2.5) при $$S=10\,000, d=0.1, t=7/6$$ получаем ответ на второй вопрос:

$$P=10\,000\times(1-{7\over{6}}\times 0.1)=10\,000\times {53\over{60}}=8\,833.33~\mbox{руб.}$$

2.7 Простой дисконт

Простым дисконтом (по-английски - discount, по-итальянски - sconto) называется процентный доход, вычитаемый из ссуды в момент ее выдачи или взимаемый банком при учёте векселя. Термином дисконт называют порой также сам учёт векселей.

Если процентная ставка простого дисконта - r%, величина ссуды - S (эта сумма должна быть возвращена), P - величина ссуды, полученная в момент её выдачи, t лет - срок, на который выдаётся ссуда, то простой дисконт равен Srt и P=S-Srt . Следовательно, имеем формулу:

$$P=S(1-rt)\,\,\, (2.6)$$

Пример 29. Финансовая компания даёт ссуду 500 000 руб. на 3 года под простой дисконт, равный 5% в год. Определим, какую сумму получит клиент в момент получения ссуды.

Решение. Находим P по формуле (2.6) при $$S=500 000, r=5%, t=3$$:

$$P=500\,000\times(1-0.05\times 3)=5\,000\times 0.85=425\,000\ \mbox{руб.}$$

2.8 Приведение ценности денег к одному моменту времени

В теории и на практике нам постоянно приходится решать вопрос о том, как соотносятся между собой суммы денег, полученные в различные моменты времени. Финансовая теория в этом вопросе придерживается принципа невозможности межвременного арбитража: ценность суммы денег S в фиксированный момент в будущем эквивалентна такой сумме денег P в текущий момент времени, которая будучи подходящим образом использована на финансовом рынке, принесет нам ровно сумму S на рассматриваемый будущий момент времени. Вопрос о том, что следует понимать под подходящим использованием, является одной из серьезных задач теории корпоративных финансов. Достаточно отметить, что здесь необходимо учитывать такой фактор финансового рынка как риск - различное использование денег связано и с принятием инвестором различного риска. В простейшей постановке, принятой в этой книге, предполагается, что операции носят безрисковый характер.

Если в качестве подходящего использования денег мы рассматриваем возможность инвестировать их (положить в банк, купить облигации и т.п.) под простой годовой процент r%, то сумма денег S через t лет, согласно формуле (2.2), будет равна P(1+rt). Поэтому приведенная (или современная) ценность P суммы S, которая будет получена через t лет, вычисляется по формуле (2.2):

$$P={S\over{1+rt}}$$

Вычисление приведенной ценности суммы денег называется дисконтированием этой суммы.

Термин "приведенная" ценность не носит абсолютного характера - в качестве момента приведения (или точки отсчёта) в расчётах может быть взят любой момент времени. Обычно понятие приведённой ценности применяется к потоку платежей (во времени). Рассмотрим простейшие примеры приведения с использованием простых процентов.

Два контракта называют эквивалентными, если приведенные ценности потоков платежей по этим контрактам равны. Рассмотрим пример.

Пример 30. Фирма обязалась заплатить за полученное от города производственное помещение 1 000 000 руб. через 5 лет и еще 500 000 руб. через 10 лет от настоящего момента. Фирма желает рассчитаться быстрее: уплатить 600 000 руб. через 3 года, а остальной долг выплатить через 7 лет (от настоящего момента). Вычислим, какая сумма должна быть выплачена через 7 лет, если на деньги начисляются 8% простых в год.

Решение. Изобразим суммы (в 100 тыс. руб.) первого контракта над осью времени, а второго - под осью. Стрелкой внизу указан момент времени, который выбран за точку отсчёта.

Дисконтируя все суммы на момент 0, находим приведенные к моменту~0 ценности этих сумм:

$$\bigskip \qquad P_{1} =\displaystyle{\frac{S_1}{1+5r} = \frac{1\,000\,000}{1+5\times 0.08} = \frac{1\,000\,000}{1.4} = 714\,286}\,, \bigskip \qquad P_{2} =\displaystyle{\frac{S_2}{1+10r} =\frac{500\,000}{1+10\times 0.08}=\frac{500\,000}{1.8} = 277\,778\,,} \bigskip \qquad P_{3} =\displaystyle{\frac{S_3}{1+3r} = \frac{600\,000}{1+3\times 0.08} = \frac{600\,000}{1.24} = 483\,871\,,} \bigskip \qquad P_{4} =\displaystyle{\frac{S_4}{1+7r} = \frac{x}{1+7\times 0.08} = \frac{x}{1.56}\,.} \bigskip $$

Контракты эквивалентны, если выполнено равенство $$P_{1}+P_{2}=P_{3}+P_{4}$$. Из этого равенства получаем уравнение:

$$714\,286+277\,778=483\,871+\displaystyle{\frac{x}{1.56}}$$

решив которое, находим значение x:

$$x=(714\,286+277\,778-483\,871)\times 1.56=792\,780$$

Следовательно, сократив сроки платежей, фирма уменьшила суммарные выплаты с 1 500 000 руб. до

$$600\,000+792\,780=1\,392\,780\mbox{ руб.}$$

2.9 Эквивалентность учетной и процентной ставок

Продолжим обсуждение формулы, которую банк использует при учёте векселя:

$$P=S(1-td)\;.$$

Для банка, учитывающего вексель на сумму S, учётная стоимость векселя P является приведенной стоимостью суммы S, которую банк получит от векселедателя при погашении векселя. Погашение векселя произойдет через срок t. При обычном инвестировании ситуация противоположная: известна начальная сумма P, на которую начисляется процент r, а конечная сумма S вычисляется по формуле

$$S=P(1+tr)\;.$$

Предположим, что t=1, то есть рассматривается период, равный одному году. Тогда имеем следующие формулы для процентных ставок начисления и учёта:

$$ r=\displaystyle\frac{S-P}{P}\;,\ d=\displaystyle\frac{S-P}{S}\,\,\, (2.7) $$

Преобразуем формулы (2.7) к виду:

$$ \displaystyle\frac{S}{P}\,=\,1+r\;,\ \displaystyle\frac{P}{S}\,=\,1-d\,\,\, (2.8)$$

Из формул (2.8) получаем формулы, связывающие значения r и d (за один год), которые часто называют условиями эквивалентности учётной и процентной ставок:

$$ \begin{equation} r=\displaystyle\frac{d}{1-d}\;,\ d=\displaystyle\frac{r}{1+r}\,\,\, (2.9) \end{equation} $$

Графическое изображение зависимостей, выраженных формулами (2.9), приведено на рис. 3 и рис. 4.

(рис 3) График зависимости d=r/(1+r) (рис 4) График зависимости r=d/(1-d)

Из формул (2.9) следует ещё одна интерпретация процента учета d. Пусть сумма S=1 хранится 1 год на депозите при процентной ставке r. В конце года сумма процентов на S будет равна r. Приведенное значение суммы процентов r будет равно

$$\displaystyle\frac{r}{1+r}\,=\,d\,\,\, (2.10)$$

Следовательно, можно считать, что дисконт d является суммой процентов, которые выплачиваются не в конце, а в начале периода.

Таким образом, различие между процентной и учетной ставками в том, что они оценивают один и тот же поток платежей относительно разных моментов времени. Для процентной ставки это начало периода, для учетной - конец периода. Рассмотрим пример.

Пример 31. Вычислим приведённую стоимость 10 000 руб., получаемых через год: а) при процентной ставке $$r\,=\,10\%$$; б)при учетной ставке $$d\,=\,10\%$$.

Решение. При процентной ставке $$r\,=\,10\%$$ получаем:

$$P=\displaystyle\frac{S}{1+rt}\,=\,\displaystyle\frac{10\,000} {1+0.1}\,=\,9\,090.91 \mbox{ руб.}$$

При при учетной ставке $$d\,=\,10\%$$ получаем:

$$P=S(1-dt)\,=\,10\,000(1-0.1)\,=\,9\,000\mbox{ руб. }$$

Необходимо помнить, что эквивалентность процентной и учетной ставок устанавливается только для определенного периода времени t. Формулы (16) получены при $$t=1$$. В общем случае они принимают вид:

$$ r=\displaystyle\frac{d}{1-dt}\;,\ d=\displaystyle\frac{r}{1+rt}\,\,\, (2.11) $$

2.10 Влияние инфляции на ставку процента

Интересно рассмотреть одновременное влияние процессов дисконтирования по ставке r и инфляции по ставке i за один период. Инфляция, определяемая на микроэкономическом уровне как общий уровень роста цен типичной потребительской корзины (CPI - Consumer Price Index), означает, что на сегодняшние деньги вы сможете купить в 1+i раз меньше товара в конце периода. В результате современная сумма P эквивалентна по покупательной способности сумме S, определяемой формулой:

$$S={P(1+i)}$$

В этих обстоятельствах величину наращенного процента можно рассчитывать как в реальных деньгах - номинальный процент, так и по покупательной способности (с поправкой на инфляцию) - реальный процент.

Ясно, что при наличии инфляции ставка номинального процента больше ставки реального процента. Номинальный процент должен использоваться в вычислениях в реальных терминах (без поправки на инфляцию). Реальный процент используется, если данные специальным образом очищены от влияния инфляции.

Пусть сначала r - номинальный процент. Тогда после дисконтирования получаем:

$$ P={S\frac{1+r}{1+i}}={S\left(1+\frac{r-i}{1+i}\right)}\;.$$

Если величина инфляции невелика, то $$1+i\approx 1$$, откуда верна следующая приближенная формула:

$$P=S(1+r-i)$$

Следует заметить, что в условиях, характерных для России последнего десятилетия XX века, когда величина i менялась порой от тысяч до многих десятков процентов в год, пользоваться последней формулой было нельзя.

При переходе к рассмотрению реального процента $$r_1$$ следует учесть, что величина инфляции - ожидаемая величина, поэтому величина $$r_1$$ не может определяться нормативно - она получается в результате построения модели поведения инвестора. Простейшая модель Фишера утверждает, что номинальный процент r связан с реальным процентом $$r_1$$ с помощью формулы:

$$ 1+r=(1+r_1)(1+i)\,\,\, (2.12) $$

Согласно этой модели, норма процента полностью встроена в ценовой механизм. Номинальный процент включает в себя инфляционную премию, достаточную для того, чтобы кредитор получил компенсацию за уменьшенную покупательную способность будущих денег. Важно подчеркнуть, что номинальный процент строится на прогнозе, а не на историческом анализе инфляции за прошедший период. Фактические величины инфляции за предыдущий период играют роль для оценки инфляции на следующий период, но вовсе не основную.

Имеются и более сложные модели, учитывающие, например, разницу в ставках налогообложения - в этом случае разные группы инвесторов будут описываться различными моделями.

При высокой инфляции и отсутствии на рынке инструментов с достаточной номинальной доходностью получаем ситуацию с отрицательной реальной нормой процента, имевшую место в России, например, в 1993 г. (см. дискуссию в журнале "Экономика и математические методы" за 1994 г.). Рассмотрим два простых численных примера.

Пример 32. В начале 1996 г. ожидаемая годовая инфляция в России находилась на уровне $$i=50%$$. Годовой сертификат Сбербанка на сумму 1 млн. руб. давал номинальную доходность $$r=90%$$ (это то, что было прямо написано на сертификате). Посчитаем реальную доходность сертификата.

Решение. Для вычисления реального процента применим формулу (2.12):

$$ r_1=\frac{r-i}{1+i}=\frac{0.90-0.50}{1+0.50}=0.267=26.7\%$$

Заметим, что для реального процента в надежном банке это очень много, что означает встроенность в предлагаемый процент рисковой премии.

Пример 33. В рассматриваемый год ожидаемая инфляция составляет 20%. Определим, какую номинальную годовую процентную ставку следует установить по вкладам в банке, чтобы реальная годовая ставка $$r_1$$ равнялась 5%.

Решение. Значение номинальной годовой процентной ставки найдем из формулы (2.12):

$$ r=(1+r_1)(1+i)-1=(1+0.05)(1+0.20)-1=0.26=26\%$$

Список ключевых терминов

Вексель - ценная бумага, являющаяся простейшим типом долгового обязательства.

Дисконт - процентный доход, вычитаемый из ссуды в момент её выдачи.

Инфляция - снижение покупательной способности денег.

Номинальная ставка процента - ставка процента, зафиксированная в финансовом договоре.

Приведённая ценность - ценность потока платежей в определённый момент времени с учётом дисконтирования.

Простой процент - схема начисления процентов, при которой базой в течении всего рассматриваемого периода является исходная сумма.

Процентный пункт - единица, применяемая для сравнения величин, выраженных в процентах.

Реальная ставка процента - процентная ставка с учётом инфляции.

Учёт векселя - покупка банком или специализированными кредитными учреждениями векселя до наступления срока его оплаты.

Учётная ставка - процентная ставка, применяемая при учёте векселя.

Эквивалентные контракты - контракты, имеющие равные приведённые ценности потоков платежей по этим контрактам.

Краткие итоги

В лекции рассмотрено применение простого процента в задачах оценивания следующих финансовых объектов и операций с ними: банковский депозит, вексель, финансовый контракт.