Цель лекции: научиться распознавать и решать четыре типа задач на процентные вычисления; ознакомиться с основными методами ценообразования; решать разобранные типы задач в Excel.
Процентом некоторой величины называется сотая доля этой величины. Такой величиной может быть месячный доход семьи, годовая прибыль фирмы, сумма государственного бюджета. Чтобы указать, что величина выражена в процентах, используется специальное обозначение:%. Термин "процент" произошёл от латинского pro centum - на сотню, или за сто. Выражать доли величин в процентах принято в финансовых и статистических расчётах, а также во многих других областях.
В дореволюционной России процент, получаемый за сумму, данную в долг или инвестируемую в некоторое предприятие, в купеческой среде называли интересом.
Гораздо реже используется специальное обозначение для тысячной доли целого (или десятой доли процента) - промилле. Термин "промилле" произошёл от латинского pro mille - на тысячу, или за тысячу. Для промилле также имеется специальное обозначение: %. В страховом деле плату за страхование (страховую премию) удобно, порой, выражать не в процентах, а в промиллях. Например, если имущество застраховано на 100 000 руб. c 3%, то страховая премия составляет
$$ \displaystyle{\frac{100\,000}{1\,000}}\times 3\,=\,300\mbox{ руб.}$$Необходимо различать два понимания термина процент. Во-первых, процент выступает как процентное число, указывая на часть целой величины или долю. Именно такое понятие процента чаще всего используется в социально-экономической статистике и законодательной практике регулирования предпринимательской деятельности. Например, в 2013 г. доходы от налога на прибыль предприятий составили 3.46% в общей сумме доходов Федерального бюджета Российской Федерации (12 865.9 млрд рублей). Примером законодательных формулировок, в которых используются процентные числа, являются нормы, определяющие налог на добавленную стоимость (НДС) в размере 18% или налог на прибыль корпораций в размере 20%. Однако эти величины часто меняются законодателем, поэтому читатель должен ориентироваться на современные правовые акты.
Во-вторых, и это основное понимание процента в этом курсе, процент связан с начислением сумм (процентных платежей) за определённые промежутки времени. При этом здесь следует различать ставку процента (interest rate) как некоторое число, выраженное в процентах или долях (единицы) данной величины и проценты (interest) как соответствующее абсолютное количество данной величины. Например, при годовой ставке 10% по вкладу в банке, что есть указание на годовую процентную ставку по вкладу, и начальной величине вклада 100 000 руб. наращенная за год сумма 10 000 руб. называется процентами по вкладу.
Важное замечание. Если в тексте написано r%, то эта величина равна вещественному числу r/100: 10%=0.1. И наоборот, если в тексте написано вещественное значение $$i$$ (без знака %), то ему соответствует i*100%: 0.1=10%.
В настоящей лекции мы рассмотрим лишь простейшие задачи на процентные вычисления, связанные с первым пониманием процента как процентного числа. Внимание - и здесь можно ошибиться!
При процентных вычислениях очень важно отчётливо понимать, какая величина принята за 100%. Эта величина называется базой. Например, в упомянутом выше примере с Федеральным бюджетом Российской Федерации базой является сумма бюджета в 12 865.9 млрд, рублей. Тогда 3.46% налоговых поступлений означают, что величина налоговых поступлений составила
$$12\,865.9 \times 3.46/100=445.16\mbox{ млрд\,руб.}$$Рассмотрим четыре задачи на процентные числа, на которые мы затем в будем ссылаться как на четыре основные задачи.
Основная задача 1. Определить число, которое составляет n% от числа A.
Решение. Обозначим искомое число через x и запишем условия задачи в следующем виде:
Эту запись иногда называют процентной пропорцией, которая может быть записана так:
$$\frac{A}{x}=\frac{100}{n}$$откуда получаем формулу для вычисления значения числа x:
Основная задача 2. Определить число, n% которого равны B.
Решение. Обозначим искомое число через x и запишем условия задачи в следующем виде:
Имеет место следующая пропорция:
$$\frac{x}{B}=\frac{100}{n},$$откуда получаем формулу для вычисления значения числа x:
Основная задача 3. Определить, сколько процентов от числа A составляет число B.
Решение. Обозначим искомое число процентов через x и запишем условия задачи следующем виде:
Имеет место следующая пропорция:
$$\frac{A}{B}=\frac{100}{x}\,$$откуда получаем формулу для вычисления значения числа x:
Основная задача 4. Определить, сколько процентов от некоторого
числа составляет число B, если n% этого числа равны A.
Решение. Обозначим искомое число процентов через x
и запишем условия задачи следующем виде:
Имеет место следующая пропорция:
$$\frac{A}{B}=\frac{n}{x}$$откуда получаем формулу для вычисления значения x:
Заметим, что формула 1.3 является частным случаем формулы 1.4, а основная задача 3 - частным случаем основной задачи 4 при $$n=100$$
Решение любых примеров на процентные числа базируется на решении этих четырёх основных задач.
Пример 1. В США применяется налог с продаж, величина которого меняется от штата к штату. В Калифорнии этот налог, как правило, составляет 8.75%. Сумма налога не указывается в продажной цене товара, а начисляется при оплате покупок. Покупатель выбрал в Wal Mart товары на сумму $39.53 без учёта налога с продаж. Какую сумму он заплатил в кассе?
Решение. Обозначим через x сумму налога и запишем условия задачи в виде процентной пропорции:
Это основная задача 1. По формуле (1.1) вычисляем сумму налога:
$$x=\frac{39.53\times 8.75}{100}=\$3.46$$Следовательно, покупатель при оплате покупок заплатил сумму, равную
$$ 39.53+3.46=\$42.99 \medskip$$Обращаем ваше внимание на то, что знаки большинства валют указываются перед суммой. Знак рубля является исключением и ставится после суммы. Официальный знак рубля - буква Р с дополнительным элементом в виде горизонтальной черты, был утверждён 11 декабря 2013 г. Покажем как будут изображаться знаки популярных валют (доллар, евро, иена, английский фунт, рубль) в программе Excel при задании соответствующих финансовых форматов в ячейках:
(рис 1.1) Знаки валют
Пример 2. В России в продажную цену товара включается налог на добавленную стоимость (НДС). Его величина для большинства товаров составляет 18%. Иногда он указывается отдельной строкой в кассовом чеке (это актуально для предпринимателей). При покупке товаров сумма НДС составила 48.66 руб. Какова стоимость товара без НДС?
Решение. Обозначим через x стоимость товара без НДС и запишем условие задачи в виде процентной пропорции:
Это основная задача 2. Находим значение x по формуле (1.2):
Пример 3. Покупатель приобрёл в магазине "Пятерочка" товары на сумму 110.90 руб. По дисконтной карте ему была предоставлена скидка, равная 7.50 руб. Чему равна величина скидки в процентах от суммы покупки?
Решение. Обозначим через x искомое число процентов и
запишем условие задачи в виде процентной пропорции:
Это основная задача 3. Значение x находим по формуле (1.3):
Пример 4. Господин Н сначала владел 1000 акций компании К, что составляло 2.5% от общего числа акций этой компании. Чему стала равна его доля после покупки ещё 200 акций?
Решение. Обозначим через x число процентов, которое соответствует 1200 акций и запишем условие задачи в виде процентной пропорции:
Это основная задача 4. Значение x находим по формуле (1.4):
Не имеет никакого смысла складывать, вычитать или сравнивать количества процентов, относящиеся к разным базам. Например, если предприятие производит два продукта - A и B, причём продукт A приносит 20% прибыли, а продукт B 15% прибыли, то совершенно неверно заключить, что от производства этих двух продуктов предприятие получает 35% прибыли или что при производстве продукта A оно получит сумму денег на 5% большую, чем при производстве продукта B. Ответ зависит от пропорций выпуска продуктов. Подобные задачи мы рассмотрим ниже.
Пример 5. Господин Н, получив в наследство $65 000 купил на них две квартиры: однокомнатную за $25 000 и двухкомнатную за $40 000. Через год он продал эти квартиры, получив от продажи однокомнатной квартиры 40% прибыли, а от продажи двухкомнатной квартиры 30% прибыли. Сколько процентов прибыли господин Н получил от продажи двух квартир?
Решение. Вычислим сумму денег, полученную в качестве прибыли. По Формуле (1) суммы прибыли от продажи однокомнатной и двухкомнатной квартир равны, соответственно,
$$25\,000\times0.4=\$10\,000,\ 40\,000\times0.3=\$12\,000.$$Всего господин Н получил прибыль, равную
$$\$10\,000+\$12\,000=\$22\,000.$$Требуется определить, сколько процентов составляет $22000 от $65 000. Обозначим искомое число процентов через x и найдем его значение по формуле (1.3):
Пример 6. Вычислим, на сколько процентов прибыль, полученная от продажи двухкомнатной квартиры господином Н из примера 5, больше, чем прибыль, полученная им от продажи однокомнатной квартиры.
Решение. В предыдущем примере мы уже нашли, что прибыль от продажи однокомнатной квартиры равна $10000, а от продажи двухкомнатной квартиры -$12000. Надо найти, на сколько процентов число $12 000 больше числа $10000. Базой (100%) в этом случае является число 10000. Вычислим, сколько процентов составляет число 12000 от числа 10000. Обозначим искомое число процентов через x и найдем его значение по формуле (1.3):
Следовательно, сумма прибыли, полученная от продажи двухкомнатной квартиры, на 20% больше, чем сумма прибыли, полученной от продажи однокомнатной квартиры.
В следующем примере рассматриваются так называемые безналоговые покупки. Приведём сначала краткую информацию об этом.
Безналоговые покупки в Европе. Когда вы делаете покупки в странах Европейского сообщества, то оплачиваете не только цену товара, но и налог на добавленную стоимость, который включается в продажную цену. Вы можете вернуть выплаченную сумму НДС, если получите при покупках чеки безналоговых покупок. Такие чеки выдаются во многих магазинах Европы. Безналоговые покупки в Европейском сообществе - это система возврата НДС для туристов, не являющихся гражданами Европейского сообщества. Сумма НДС возвращается при пересечении границы Европейского сообщества, если вы вывозите купленные товары с течение 90 дней со дня покупки и имеете на эти товары чеки безналоговых покупок. Когда вы покидаете Европейское сообщество, предъявите ваши покупки и чеки безналоговых покупок таможенным властям. Они поставят штамп на ваши чеки. После этого вы можете получить обратно выплаченную сумму НДС по чекам безналоговых покупок в специальных пунктах возврата налогов.
Пример 7. В Великобритании НДС для большинства товаров составляет 17.5%. НДС входит в продажную цену товара. Какой процент составляет налог на добавленную стоимость в продажной цене?
Решение. Цену товара без НДС примем за 100%. Тогда продажная цена товара составляет
$$100\%+17.5\%=117.5\%.$$Обозначим через x искомое число процентов и запишем условие задачи в виде процентной пропорции:
Это основная задача 3. Значение x находим по формуле(3):
При процентных расчётах нередко допускаются ошибки, связанные с начислением сложного процента. Это понятие будет подробно рассматриваться в третьей и последующих лекциях. Здесь мы разберем только решение нескольких примеров, связанных с ним.
Пример 8. Некоторый товар подорожал в январе на 10% и в феврале ещё на 10%. На сколько процентов подорожал товар за два месяца?
Решение. Первоначальную цену товара примем за 100%. После первого повышения она стала равна
$$100\%+100\%\times0.1=110\%.$$При втором повышении эта новая цена увеличится на 10%, то есть на $$$110\%\times0.1=11\%$$$ от первоначальной цены. Таким образом, цена через два месяца составит
$$110\%+11\%=121\%$$от первоначальной цены. Следовательно, цена товара за два месяца повысилась на 21%.
Замечание. Распространённая ошибка - просто сложить проценты:
$$10\%+10\%=20\%.$$Ошибка заключается в том, что при этом складывают проценты, начисленные на разные базы.
Пример 9. Цена товара уменьшилась в результате двух снижений цены на одно и то же число процентов с 800 руб. до 512 руб. На сколько процентов снижалась цена каждый раз?
Решение. Обозначим искомое число процентов через x. Первое снижение равно
после чего цена стала равна
$$800-800\times\frac{x}{100}=800\left(1-\frac{x}{100}\right)\mbox{ руб.}$$Эта новая цена снизилась при втором снижении на
$$800\left(1-\frac{x}{100}\right)\frac{x}{100}\mbox{ руб.}$$и стала равна:
$$800\left(1-\frac{x}{100}\right)-800\left(1-\frac{x}{100}\right)% \frac{x}{100}=800\left(1-\frac{x}{100}\right)^2.$$По условию задачи эта цена после второго снижения стала равна 512, то есть искомое число процентов x является корнем уравнения:
Так как снижение цены не может произойти более чем на 100%, то
$$x\le100, \mbox{\ откуда\ }1-\displaystyle\frac{x}{100}\ge0,$$поэтому последнее уравнение равносильно уравнению:
$$1-\frac{x}{100}=0.8, \mbox{ откуда }x=20\%$$Замечание. Распространённая ошибка при решении последней задачи состоит в следующем. Вычисляют общее снижение цены за два раза:
$$800-512=288\mbox{ руб.}$$Далее находят, сколько процентов составляет число 288 от первоначальной цены 800 руб. по формуле(1.3):
$$\frac{288}{800}\times100\%=36\%$$Делят это число на 2 и получают 18%. Сущность ошибки и здесь состоит в том, что не учитывается, что проценты в первый и во второй раз должны начисляться на разные базы.
Портфелем ценных бумаг физического лица (или организации) называется совокупность принадлежащих ему (ей) ценных бумаг. Ценными бумагами являются облигации, акции, векселя и другие финансовые инструменты, по которым держатель (владелец) портфеля может получить деньги. Сумма этих денег зависит от номинальных и рыночных цен бумаг и начисляемых процентов. Формирование портфеля ценных бумаг является одной из основных (и трудных) задач теории финансов, для решения которой необходимы вероятностные методы. В нашем учебнике мы рассмотрим только некоторые элементарные задачи об оценке доходности портфеля ценных бумаг.
Пример 10. Пусть портфель ценных бумаг состоит из 50 облигаций, номинальная стоимость которых 100 руб., и 30 облигаций, номинальной стоимости 50 руб. По облигациям первого вида выплачивается 10% годового дохода, а по облигациям второго вида -15%. Сколько процентов годового дохода получит держатель портфеля от всех входящих в него облигаций?
Решение. Общая стоимость облигаций портфеля равна
$$50\times100+30\times50=6\,500\mbox{ руб.}$$Найдем общую сумму годового дохода от всех облигаций. От 50 облигаций первого вида владелец портфеля получит $$50\times100\times0.1=500~руб.$$, а от 30 облигаций второго вида - $$30\times50\times0.15=225~руб.$$ процентного дохода. Всего он получит $$500+225=725~руб.$$ процентного дохода. Вычислим, сколько процентов составляет число $$725$ от числа 6\,500$$ по формуле(1.3):
$$\frac{725}{6\,500}\times100\%=11\frac2{13}\%$$Пример 11. Держатель портфеля ценных бумаг из примера 10 хочет увеличить доходность своего портфеля до 12% (годовых), увеличив число облигаций второго вида. Сколько облигаций второго вида он должен для этого прикупить?
Решение. Обозначим число облигаций второго вида, которые надо купить, через x. Общее число облигаций второго вида станет после этого равно 30+x. Стоимость всех облигаций портфеля станет при этом равна
Доход от облигаций второго вида равен
$$(30+x)\times50\times0.15=7.5(30+x)\mbox{ руб.}$$Доход от облигаций первого вида не изменился и составляет $$50\times100\times0.1=500~руб.$$
По формуле(1.3) составляем уравнение:
$$\frac{7.5(30+x)+500}{5000+50(30+x)}\times100=12,$$решив которое, находим, что $$x=36\frac23$$. Следовательно, владелец портфеля должен купить 37 облигаций второго вида (округляем число $$36\frac23$$ в большую сторону).
В этом разделе лекции речь пойдёт об процентных вычислениях, связанных с начислением налогов. Налог - обязательный и безвозмездный платеж с организаций и физических лиц в виде процента принадлежащих им денежных средств и стоимостей ряда неденежных активов. Государство собирает налоги, чтобы финансировать общегосударственные расходы: содержание аппарата управления, армии, органов охраны порядка, науку, народное образование, социальное обеспечение и т.\,п. Существует много различных налогов, но их величина всегда устанавливается в процентах от налогооблагаемой базы. Например, в РФ в течении ряда лет подоходный налог составляет 13% от суммы полученных доходов. Система налогообложения в РФ разнообразна и сложна, хотя в последние годы делаются попытки её реформирования и упрощения.
Приведенные в этом пункте примеры, как и многие примеры в этом курсе, носят условный характер. Главная цель этих примеров - рассмотреть возникающие на практике ситуации и показать, как выполняются необходимые вычисления.
В первом примере рассматривается налогообложение корпораций. Российское налоговое законодательстве содержит много особых случаев, которые необходимо принимать во внимание при учёте затрат, которые не облагаются налогом. Поэтому мы рассматриваем пример, использующий данные о налогообложении корпораций в США, где правила налогообложения не обременены таким количеством деталей (хотя и там, возможно, произошли уже некоторые изменения).
Налоги на доходы корпораций определяются в США по трехступенчатой системе налогообложения следующим образом:
| Налогооблагаемый доход (долл.) | Ставка налога (%) |
|---|---|
| До 50 000 | 15 |
| От 50 000 до 75 000 | 25 |
| Более 75 000 | 34 |
Налогооблагаемый доход корпорации вычисляется так: из валовой выручки вычитаются все затраты, включая амортизацию оборудования и расходы на выплату процентов за имеющиеся кредиты. Учёт амортизации при вычислении налогооблагаемого дохода мы рассмотрим в лекции 4. Приведём пример вычисления налога с корпорации.
Пример 12. Валовая выручка корпорации за год равна $ 140 000, производственные расходы составляют $ 55 000. Корпорация сделала заем в банке на сумму $50 000, за который выплатила 8% годовых. Амортизация оборудования равна $ 12 000. Вычислим сумму налога, которую должна выплатить корпорация.
Решение. Расходы на выплату процентов за пользование капиталом, полученным в долг от банка, равны
$$\$\,50\,000\times0.08=\$\,4\,000$$Налогооблагаемый доход равен
$$ \$\,140\,000-\$\,55\,000-\$\,4\,000-\$\,12\,000=\$\,69\,000. $$При таком доходе ставка налога равна 25%. Сумма налога равна
$$ \$\,69\,000\times0.25=\$\,17\,250 $$По законодательству США дивиденды, выплаченные корпорацией по реализованным ею акциям, не исключаются из налогооблагаемого дохода (в противоположность расходам, выплачиваемым в качестве процентов на заемный капитал). Это делает для компании более привлекательным занимать деньги, чем использовать собственные средства.
В США налоги на доходы частных лиц также зависят от величины годового дохода гражданина и (без учёта различных льгот) взимаются по двухступенчатой системе налогообложения:
| Налогооблагаемый доход (долл.) | Ставка налога (%) |
|---|---|
| До 30 000 | 15 |
| Более 30 000 | 28 |
Существенно различаются ставки налога на главу семейства и на отдельных лиц. Имеется система льгот для лиц с низким доходом и т.п. Мы здесь не будем учитывать эти детали налогообложения.
Расчет налога на доходы частных лиц производится так: с дохода до $ 30 000берется 15% налога. Если доход превышает $ 30 000, но не превышает $ 72 000, то на $30 000 начисляется 15% налога, а на остальную сумму 28%. Если доход превышает $ 72000, то со всей суммы дохода налог начисляется по ставке 28%.
Пример 13. Годовой доход г-на Смита равен $ 28 000, г-на Холла -$ 68 000, г-на Коллинза - $ 105 000. Какой налог должен заплатить каждый из них.
Решение. Г-н Смит должен заплатить 15% налога, так как его годовой доход меньше $30 000:
$$\$\,28\,000\times0.15=\$\,4\,200.$$Так как годовой доход г-на Холла больше $30 000, но не превосходит $ 72 000, то его годовой налог состоит из двух составляющих. Во-первых, это 15%-й налог с $30 000:
$$\$\,30\,000\times0.15=\$\,4\,500.$$С остальной суммы дохода, равной $38 000 $$($\$\,68\,000-\$\,30\,000=\$\,38\,000$)$$, он должен выплатить налог по ставке 28%:
$$\$\,38\,000\times0.28=\$\,10\,640.$$Всего г-н Холл должен заплатить
$$\$\,4\,500+\$\,10\,640=\$\,15\,140.$$Доход г-на Коллинза превосходит $72 000, поэтому со всей суммы дохода он выплатит налог по ставке 28%. Сумма налога равна
В этом пункте мы не будем излагать методы и приемы современного ценообразования, для ознакомления с которыми отсылаем читателя к специальной литературе. Мы коснёмся только самых азов этой сложной проблемы и обсудим некоторые простейшие методы ценообразования. Будет показано, какие вычисления, связанные с процентами, потребуется выполнять при применении этих методов.
Часто именно ценовая конкуренция является средством, с помощью которого фирма может завоевать новый сегмент рынка. Классический пример использования цены с целью завоевания нового рынка - появление в 1967 г. в США японских цветных телевизоров. Цены на эти телевизоры были установлены на $50--100 меньше, чем у аналогичных по характеристикам телевизоров, произведённых в США. Такая ценовая стратегия позволила японским производителям бытовой техники на долгие годы занять существенный сегмент американского рынка.
Обычно выделяют пять базовых методов установления цены продукта:
На практике фирмы чаще всего устанавливают цены на свою продукцию, применяя более сложные подходы, но именно перечисленные выше методы являются отправной точкой при принятии ценовых решений.
Первые три метода (наценка, стандартный, целевой) относятся к так называемому пассивному ценообразованию. Пассивное Ценообразование - это установление цен на товар на основе затрат фирмы на его производство и организацию реализации или под влиянием цен конкурентов. При таком подходе полностью игнорируются условия на рынке, где товар будет продаваться. Прежде чем перейти непосредственно к изложению перечисленных методов, обсудим ряд понятий, которые будут использованы.
Затраты фирмы на производство товара бывают двух типов: постоянные и переменные. Постоянные затраты (в литературе используется также термин фиксированные затраты) не зависят от объёма производства, по крайней мере, в короткие промежутки времени. К ним относятся, например, затраты по содержанию управленческого аппарата фирмы, минимального количества работающих и складских помещений. Такие издержки возникают даже тогда, когда продукция вообще не выпускается. На долговременном этапе фирма может принять решение о закрытии производства, которое приведет к сокращению постоянных затрат.
Переменные затраты меняются с объёмом выпускаемой продукции. К переменным затратам относятся, прежде всего, затраты на все виды сырья, используемого в производстве.
Наценка Метод наценки (markup) является очень простым. Цена единицы продукта определяется добавлением наценки к общим затратам на её производство. Необходимой информацией при использовании этого метода являются: постоянные $$$C_f$$$ и переменные затраты $$$C_v$$$ в расчёте на одну единицу продукта и величина наценки m в процентах. Величина m показывает, что полные затраты, равные сумме постоянных и переменных затрат, будут составлять в цене единицы продукта $$ $(100-m)\%$$$. Если мы для удобства вычислений перейдем к долям единицы: $$$r=m/100$$$, то доля полных затрат в цене P составит 1-r:
Что касается постоянных затрат $$$C_f$$$, то чаще они известны для некоторой партии продукта, объёма n. Обозначим эти затраты $$$C_{fn}$$$. Тогда постоянные затраты на производство единицы продукта принято считать равными $$$\frac{C_{fn}}{n}$$$, и формула (1.5) принимает вид:
Рассмотрим следующий пример на определение цены методом наценки.
Пример 14. Фирма рассчитывает продать 10 000 единиц произведённого ею продукта, на производство которого было затрачено 400 000 руб. в виде постоянных затрат и еще 50 руб. на каждую единицу продукта (переменные затраты). Какой должна быть цена товара, если фирма хочет заработать на продаже партии 10%?
Решение. Постоянные затраты известны для партии продукта, поэтому применяем формулу при $$C_{fn}=400\,000, n=10\,000, C_v=50 и r=0.1$$:
$$ P=\displaystyle\frac{\displaystyle{\frac{400\,000}{10\,000}} +50}{1-0.1}=100\mbox{ руб.} $$Привлекательность метода наценки в его простоте. Однако он никак не учитывает ситуацию на рынке. Поэтому, применяя этот метод определения цены, фирма рискует как переоценить свой продукт, так и недооценить его. Например, если вместо 10 000 единиц продукта объём продаж составит только 9 000 единиц продукта (что на 10% меньше запланированного), то фирма ничего не заработает, а только вернёт затраченное. Дальнейшее уменьшение объёма продаж приводит к убыткам. Объединим эту информацию в следующей таблице.
| Общие затраты (руб) | 900 000 | 900 000 | 900 000 |
| Объем продаж | 10 000 | 9 000 | 8 000 |
| Выручка (руб) | 1 000 000 | 900 000 | 800 000 |
| Доход (руб) | 100 000 | 0 | - 100 000 |
| Доходность (%) | 10 | 0 | -10 |
Стандартное ценообразование. Рассмотрим ситуацию, когда фирма продаёт свою продукцию в нескольких странах, каждая из которых имеет свою национальную валюту. Стандартное ценообразование предполагает, что фирма устанавливает одну и ту же цену на свой продукт в разных странах. В этом случае цена устанавливается только с учетом обменного курса валют. Рассмотрим следующий пример.
Пример 15. Цена некоторого продукта фирмы равна 6 409 руб. Какой должна быть цена этого продукта в долларах, если обменный курс в момент установления цены составляет 64.09 руб. за доллар?
Решение. Для того чтобы определить цену товара в долларах, необходимо поделить цену в рублях на обменный курс доллара:
$$ P=\displaystyle{\frac{6\,409}{64.09}}=\$100$$Стандартное ценообразование не учитывает не только рыночные условия, но и предпочтения потребителей в разных странах. Кроме того, обменный курс валют является сильно изменяющейся величиной. Поэтому, применяя этот метод определения цены, фирма, как и при методе наценки, рискует как переоценить свой продукт, так и недооценить его.
Целевое ценообразование. При целевом ценообразовании фирма устанавливает, какой должна быть доходность её инвестиций, и вычисляет цену в связи с этой установкой. Исходными данными при применении метода целевого ценообразования являются: величина общих инвестиций I, желаемая доходность инвестиций r, общие затраты на производство единицы продукции C и ожидаемый объём продаж n. Цена единицы продукта P вычисляется по формуле:
Рассмотрим следующий пример.
Пример 16. Фирма инвестировала в организацию производства некоторого продукта 500 000 руб. и хочет заработать 20% на этих инвестициях. Общие затраты на производство единицы продукции составляют 60 руб. Ожидаемый объем продаж равен 10 000 единицы продукции. Какой должна быть установлена цена продукта, если применяется метод целевого ценообразования?
Решение. Чтобы определить цену товара, применим формулу (1.7) при $$C=60, n=10\,000, I=500\,000, r=0.2$$:
$$ P=60+\displaystyle{\frac{0.2\times 500\,000}{10\,000}}\,=70\mbox{ руб. } $$Следует отметить, что при целевом ценообразовании фирма получает желаемую доходность от своих инвестиций, если оценки затрат и объёма продаж являются точными. В целом этот метод, как уже отмечалось ранее, никак не учитывает рыночные условия.
Рыночный метод ценообразования. Как следует из названия метода, он учитывает различные условия на рынке товара при установлении цены на него. Поэтому если эти условия различные в разных странах, то и цены тоже устанавливаются различные. С точки зрения маркетинга такой подход представляется обоснованным. Однако фирма обычно не раскрывает конкретных рыночных причин, которые влияют на увеличение цены. Более того, сам факт такого увеличения всячески замалчивается. Рассмотрим следующий пример, данные для которого взяты из каталогов фирмы IKEA в США и России, изданных летом 2005 г.
Пример 17. Цена шезлонга KARLSLUND в России равна 3 990 руб. Цена того же шезлонга в США - $ 79. Можно ли считать, что применялось стандартное ценообразование, если курс доллара на момент сравнения составляет 27.80 руб.? На сколько процентов дороже шезлонг в России?
Решение. При курсе 27.80 руб. за доллар вычислим долларовый эквивалент цены шезлонга в России:
$$ P_{R}=\displaystyle{\frac{3\,990}{27.80}}\,=\$143.53. $$Как видим, цена шезлонга в России была существенно выше. Определим теперь, на сколько процентов цена в России выше цены в США:
$$ r=\displaystyle{\frac{143.53-79}{79}}\,=81.68\%. $$На полученный результат не влияет, в какой валюте вычисляются цены, действительно:
$$ P_{USA}=27.80\times 79\,=\,2\,196.20\mbox{ руб.},\ \ r=\displaystyle{\frac{3\,990-2\,196.20}{2\,196.20}}\,=81.68\%. $$Можно ещё вычислить, при каком курсе доллара в России цены на шезлонг в России и США будут эквивалентны:
$$ s=\displaystyle{\frac{3\,990}{79}}\,= 50.51\mbox{ руб. } $$Разобранный пример, согласитесь, является очень неприятным и обидным для жителей России. Возьмём информацию о другом товаре из тех же каталогов фирмы IKEA.
Пример 18. Цена лейки БЕТНА в России равна 49 руб. Цена этой же лейки в США - $ 2.99. Можно ли считать, что применялось стандартное ценообразование, если курс доллара на момент сравнения составлял 27.80 руб.? В какой стране этот товар дороже и на сколько процентов?
Решение.При курсе 27.80 руб. за доллар вычислим долларовый эквивалент цены лейки в России:
$$ P_{R}=\displaystyle{\frac{49}{27.80}}\,=\$1.76 $$Как видим, цена лейки в России ниже, чем ее цена в США. Определим теперь, на сколько процентов цена в США выше цены в России:
$$ r=\displaystyle{\frac{2.99-1.76}{1.76}}\,=69.64\%. $$В том случае, если мы хотим вычислить, на сколько процентов цена в России ниже цены в США, то получим другой результат:
$$ r=\displaystyle{\frac{2.99-1.76}{2.99}}\,=41.05\%. $$Этот пример еще раз наглядно демонстрирует, что необходимо однозначно указывать, какая величина является базой при определении процента. В первом случае базой является цена лейки в России и разница в ценах составляет 69.64%, а во втором - цена в США, и тогда разница в ценах составляет 41.05%.
Заметим, что из рассмотренных реальных примеров нельзя сделать вывод, что фирма IKEA применяет рыночный метод ценообразования. Было установлено только, что одна и та же продукция продается в США и России по разной цене. Только высший менеджмент фирмы IKEA знает, какие именно методы ценообразования применяются в этой фирме.
Стратегическое ценообразование. При стратегическом методе ценообразования сначала во всех странах устанавливается минимальная стандартная цена (minimum standard price). После этого руководитель филиала в конкретной стране выполняет исследование местных условий и особенностей (структуры затрат на производство продукта, местного рынка сбыта, целей фирмы и т.\,п.). Менеджеры в каждой стране могут выбирать, продавать ли продукт по минимальной рекомендованной цене или увеличить ее. Принятие этого решения зависит от конкуренции на местном рынке, особенностей потребителей этого рынка, местного законодательства. Решение обычно принимается при непосредственном участии головного офиса. Рассмотрим следующий пример.
Пример 19. Французская фирма YP} выпустила в продажу новую туалетную воду Neopar одновременно в США и России. В США 50 мл этой туалетной воды продавались по минимальной рекомендованной цене, равной $35.5. Предполагаемый объем продаж - 10 000 единиц товара. При такой цене фирме YP удалось возместить затраты на производство, доставку, рекламу и реализацию товара в США. В предположении, что полные затраты в России такие же, какой должна быть установлена цена в России, если предполагаемый объём продаж на 10% ниже? Курс доллара на момент установления цены составлял 27.80 руб.
Решение. При курсе 27.80 руб. за доллар вычислим рублевый эквивалент цены туалетной воды в США:
$$ P_{USA}=27.8\times 35.5\,=\,986.90\mbox{ руб. } $$Предполагаемая выручка S от продажи 10 000 единиц товара в США составит:
Объём продаж в России прогнозировался на уровне 9 000 (=10 000 x (1-0.1)) единиц товара. Следовательно, чтобы сохранить размер выручки, следовало установить цену $$$P_{R}$$$, которая вычисляется по формуле:
Важное замечание. Следует заметить, что всюду выше речь шла об определении цены продукции производителями, т.е. оптовой цены. Что касается розничных цен, то на них влияют многие факторы, среди которых налоги, таможенные сборы, транспортные расходы и наценки крупных и мелких оптовиков, а также торговая наценка. Чтобы у читателя сложилось правильное представление о том, из чего складывается розничная цена продукта, советуем ознакомиться с примером образования розничной цены из учебника [5].
В этом пункте мы разберем, как выполнить решение примеров из этой лекции на своём компьютере. Для этого потребуется, во-первых, программа Excel (любая версия не ранее XP).
А, во-вторых, умение вводить данные и работать с формулами, которые часто называют душой и сердцем электронных таблиц. Тем, кто не знаком с техникой ввода данных в Excel, рекомендуем прочесть соответствующие разделы в приложении к учебнику [5] или в [6,7].
Приведём основные правила работы с формулами. Любые формулы в Excel начинаются со знака равенства. Без знака равенства вводимые данные интерпретируются как текст, если, конечно, они не являются числом.
Ячейка, в которую вводятся данные (формула - это один из видов данных), называется активной. После того как формула введена (нажата клавиша Enter), в активной ячейке появляется значение, вычисленное по введенной формуле, а саму формулу можно увидеть в строке формул.
Порядок вычислений (приоритет) по формуле традиционен для языков программирования: выражения в скобках вычисляются в первую очередь; умножение и деление выполняются до сложения и вычитания; операции одного приоритета выполняются слева направо. Для изменения порядка вычислений используются круглые скобки.
Если формула содержит адрес ячейки (ссылку), то результат вычисления по ней зависит от содержимого этой ячейки. При изменении содержимого ячейки может измениться и результат вычислений.
Ссылки на ячейку можно вводить вручную и с помощью мыши, щелкнув ячейку. После щелчка вокруг ячейки появляется бегущая штриховая рамка, а адрес ячейки записывается в формулу. Использование мыши уменьшает количество ошибок и экономит время ввода.
При вводе данных в активную ячейку не обязательно видеть ее в окне. Можно свободно перемещаться по рабочему листу и щелкать ячейки, участвующие в формуле. Быстро вернуться в активную ячейку можно, нажав клавиши Ctrl+Backspace.
(рис 1.1) Примеры на вычисление процентов
Имеющиеся в этом курсе лекций рисунки с решениями примеров являются фрагментами рабочих листов, на которых эти решения выполнены. Эти листы имеют одинаковую структуру: в первой строке таблицы после слова Лекция указано название лекции, в тексте которой содержатся решаемые примеры. Каждый пример имеет номер, совпадающий с номером этого примера в тексте лекции. Решения примеров, по возможности, также имеют одинаковую структуру: данные, вопрос, решение. Ячейки, содержащие ответы, выделены жирным шрифтом и рамкой. Рядом с ячейками, в которые введены неочевидные формулы, записаны в качестве комментария эти формулы.
Надеемся, что сделанных пояснений будет достаточно, чтобы повторить решения первых двух примеров из этой лекции (рис. 1.1).
Для того чтобы решения примеров в Excel выглядели так же, как на рисунках в книге, необходимо установить в ячейках правильные форматы. Установка форматов выполняется с помощью команды Формат ячеек. Обычно о том, какой формат задан в ячейке, можно догадаться по отображаемому значению. Например, на рис. 1.1 в ячейках B6 и B18 задан процентный формат, а в ячейках B7 и B17 - денежный. При этом следует помнить, что между хранимыми и отображаемыми в ячейках значениями существуют определённые различия. Важно понимать, что форматирование никак не отражается на хранимых в ячейках числовых и текстовых значениях. Например, если ввести число с шестью знаками после десятичной точки в ячейку, которая отформатирована на отображение только двух знаков после десятичной точки, то на экране вы увидите число с двумя знаками после десятичной точки. Однако хранимое в ячейке значение никак не изменится, и при расчётах будет использоваться введённое значение - число с шестью знаками после десятичной точки.
В решениях примеров 12 и 13 (рис. 1.2) используется логическая функция ЕСЛИ() (формулы в ячейках B17, B27). Эта функция выполняет проверку условия, задаваемого первым аргументом, и возвращает значение второго аргумента, если условие выполнено, и значение третьего аргумента, если условие не выполнено:
=ЕСЛИ(условие; значение да; значение нет)
Так как в качестве аргументов функций могут, в свою очередь, использоваться любые другие функции, то с помощью вложений функций ЕСЛИ() друг в друга можно проверять последовательную цепочку условий. Именно так были запрограммированы формулы для определения налоговых отчислений.
(рис 1.2) Примеры на вычисление налогов
Налог - обязательный и безвозмездный платеж с организаций и физических лиц в виде процента принадлежащих им денежных средств и стоимостей ряда неденежных активов.
Наценка - один из методов ценообразования.
Переменные затраты - производственные затраты, которые зависят об объёма производства.
Портфель ценных бумаг - совокупность принадлежащих физическому лицу или организации ценных бумаг.
Постоянные затраты - производственные затраты, которые не зависят об объёма производства.
Промилле - тысячная доля некоторой величины.
Процент - сотая доля некоторой величины.
Рыночный метод ценообразования - один из методов ценообразования.
Стандартное ценообразование - один из методов ценообразования.
Стратегическое ценообразование - один из методов ценообразования.
Целевое ценообразование - один из методов ценообразования.
Ценообразование - установление цены на товар или услугу.
Цель лекции: научиться распознавать и решать четыре типа задач на процентные вычисления; ознакомиться с основными методами ценообразования; решать разобранные типы задач в Excel.
Процентом некоторой величины называется сотая доля этой величины. Такой величиной может быть месячный доход семьи, годовая прибыль фирмы, сумма государственного бюджета. Чтобы указать, что величина выражена в процентах, используется специальное обозначение:%. Термин "процент" произошёл от латинского pro centum - на сотню, или за сто. Выражать доли величин в процентах принято в финансовых и статистических расчётах, а также во многих других областях.
В дореволюционной России процент, получаемый за сумму, данную в долг или инвестируемую в некоторое предприятие, в купеческой среде называли интересом.
Гораздо реже используется специальное обозначение для тысячной доли целого (или десятой доли процента) - промилле. Термин "промилле" произошёл от латинского pro mille - на тысячу, или за тысячу. Для промилле также имеется специальное обозначение: %. В страховом деле плату за страхование (страховую премию) удобно, порой, выражать не в процентах, а в промиллях. Например, если имущество застраховано на 100 000 руб. c 3%, то страховая премия составляет
$$ \displaystyle{\frac{100\,000}{1\,000}}\times 3\,=\,300\mbox{ руб.}$$Необходимо различать два понимания термина процент. Во-первых, процент выступает как процентное число, указывая на часть целой величины или долю. Именно такое понятие процента чаще всего используется в социально-экономической статистике и законодательной практике регулирования предпринимательской деятельности. Например, в 2013 г. доходы от налога на прибыль предприятий составили 3.46% в общей сумме доходов Федерального бюджета Российской Федерации (12 865.9 млрд рублей). Примером законодательных формулировок, в которых используются процентные числа, являются нормы, определяющие налог на добавленную стоимость (НДС) в размере 18% или налог на прибыль корпораций в размере 20%. Однако эти величины часто меняются законодателем, поэтому читатель должен ориентироваться на современные правовые акты.
Во-вторых, и это основное понимание процента в этом курсе, процент связан с начислением сумм (процентных платежей) за определённые промежутки времени. При этом здесь следует различать ставку процента (interest rate) как некоторое число, выраженное в процентах или долях (единицы) данной величины и проценты (interest) как соответствующее абсолютное количество данной величины. Например, при годовой ставке 10% по вкладу в банке, что есть указание на годовую процентную ставку по вкладу, и начальной величине вклада 100 000 руб. наращенная за год сумма 10 000 руб. называется процентами по вкладу.
Важное замечание. Если в тексте написано r%, то эта величина равна вещественному числу r/100: 10%=0.1. И наоборот, если в тексте написано вещественное значение $$i$$ (без знака %), то ему соответствует i*100%: 0.1=10%.
В настоящей лекции мы рассмотрим лишь простейшие задачи на процентные вычисления, связанные с первым пониманием процента как процентного числа. Внимание - и здесь можно ошибиться!
При процентных вычислениях очень важно отчётливо понимать, какая величина принята за 100%. Эта величина называется базой. Например, в упомянутом выше примере с Федеральным бюджетом Российской Федерации базой является сумма бюджета в 12 865.9 млрд, рублей. Тогда 3.46% налоговых поступлений означают, что величина налоговых поступлений составила
$$12\,865.9 \times 3.46/100=445.16\mbox{ млрд\,руб.}$$Рассмотрим четыре задачи на процентные числа, на которые мы затем в будем ссылаться как на четыре основные задачи.
Основная задача 1. Определить число, которое составляет n% от числа A.
Решение. Обозначим искомое число через x и запишем условия задачи в следующем виде:
Эту запись иногда называют процентной пропорцией, которая может быть записана так:
$$\frac{A}{x}=\frac{100}{n}$$откуда получаем формулу для вычисления значения числа x:
Основная задача 2. Определить число, n% которого равны B.
Решение. Обозначим искомое число через x и запишем условия задачи в следующем виде:
Имеет место следующая пропорция:
$$\frac{x}{B}=\frac{100}{n},$$откуда получаем формулу для вычисления значения числа x:
Основная задача 3. Определить, сколько процентов от числа A составляет число B.
Решение. Обозначим искомое число процентов через x и запишем условия задачи следующем виде:
Имеет место следующая пропорция:
$$\frac{A}{B}=\frac{100}{x}\,$$откуда получаем формулу для вычисления значения числа x:
Основная задача 4. Определить, сколько процентов от некоторого
числа составляет число B, если n% этого числа равны A.
Решение. Обозначим искомое число процентов через x
и запишем условия задачи следующем виде:
Имеет место следующая пропорция:
$$\frac{A}{B}=\frac{n}{x}$$откуда получаем формулу для вычисления значения x:
Заметим, что формула 1.3 является частным случаем формулы 1.4, а основная задача 3 - частным случаем основной задачи 4 при $$n=100$$
Решение любых примеров на процентные числа базируется на решении этих четырёх основных задач.
Пример 1. В США применяется налог с продаж, величина которого меняется от штата к штату. В Калифорнии этот налог, как правило, составляет 8.75%. Сумма налога не указывается в продажной цене товара, а начисляется при оплате покупок. Покупатель выбрал в Wal Mart товары на сумму $39.53 без учёта налога с продаж. Какую сумму он заплатил в кассе?
Решение. Обозначим через x сумму налога и запишем условия задачи в виде процентной пропорции:
Это основная задача 1. По формуле (1.1) вычисляем сумму налога:
$$x=\frac{39.53\times 8.75}{100}=\$3.46$$Следовательно, покупатель при оплате покупок заплатил сумму, равную
$$ 39.53+3.46=\$42.99 \medskip$$Обращаем ваше внимание на то, что знаки большинства валют указываются перед суммой. Знак рубля является исключением и ставится после суммы. Официальный знак рубля - буква Р с дополнительным элементом в виде горизонтальной черты, был утверждён 11 декабря 2013 г. Покажем как будут изображаться знаки популярных валют (доллар, евро, иена, английский фунт, рубль) в программе Excel при задании соответствующих финансовых форматов в ячейках:
(рис 1.1) Знаки валют
Пример 2. В России в продажную цену товара включается налог на добавленную стоимость (НДС). Его величина для большинства товаров составляет 18%. Иногда он указывается отдельной строкой в кассовом чеке (это актуально для предпринимателей). При покупке товаров сумма НДС составила 48.66 руб. Какова стоимость товара без НДС?
Решение. Обозначим через x стоимость товара без НДС и запишем условие задачи в виде процентной пропорции:
Это основная задача 2. Находим значение x по формуле (1.2):
Пример 3. Покупатель приобрёл в магазине "Пятерочка" товары на сумму 110.90 руб. По дисконтной карте ему была предоставлена скидка, равная 7.50 руб. Чему равна величина скидки в процентах от суммы покупки?
Решение. Обозначим через x искомое число процентов и
запишем условие задачи в виде процентной пропорции:
Это основная задача 3. Значение x находим по формуле (1.3):
Пример 4. Господин Н сначала владел 1000 акций компании К, что составляло 2.5% от общего числа акций этой компании. Чему стала равна его доля после покупки ещё 200 акций?
Решение. Обозначим через x число процентов, которое соответствует 1200 акций и запишем условие задачи в виде процентной пропорции:
Это основная задача 4. Значение x находим по формуле (1.4):
Не имеет никакого смысла складывать, вычитать или сравнивать количества процентов, относящиеся к разным базам. Например, если предприятие производит два продукта - A и B, причём продукт A приносит 20% прибыли, а продукт B 15% прибыли, то совершенно неверно заключить, что от производства этих двух продуктов предприятие получает 35% прибыли или что при производстве продукта A оно получит сумму денег на 5% большую, чем при производстве продукта B. Ответ зависит от пропорций выпуска продуктов. Подобные задачи мы рассмотрим ниже.
Пример 5. Господин Н, получив в наследство $65 000 купил на них две квартиры: однокомнатную за $25 000 и двухкомнатную за $40 000. Через год он продал эти квартиры, получив от продажи однокомнатной квартиры 40% прибыли, а от продажи двухкомнатной квартиры 30% прибыли. Сколько процентов прибыли господин Н получил от продажи двух квартир?
Решение. Вычислим сумму денег, полученную в качестве прибыли. По Формуле (1) суммы прибыли от продажи однокомнатной и двухкомнатной квартир равны, соответственно,
$$25\,000\times0.4=\$10\,000,\ 40\,000\times0.3=\$12\,000.$$Всего господин Н получил прибыль, равную
$$\$10\,000+\$12\,000=\$22\,000.$$Требуется определить, сколько процентов составляет $22000 от $65 000. Обозначим искомое число процентов через x и найдем его значение по формуле (1.3):
Пример 6. Вычислим, на сколько процентов прибыль, полученная от продажи двухкомнатной квартиры господином Н из примера 5, больше, чем прибыль, полученная им от продажи однокомнатной квартиры.
Решение. В предыдущем примере мы уже нашли, что прибыль от продажи однокомнатной квартиры равна $10000, а от продажи двухкомнатной квартиры -$12000. Надо найти, на сколько процентов число $12 000 больше числа $10000. Базой (100%) в этом случае является число 10000. Вычислим, сколько процентов составляет число 12000 от числа 10000. Обозначим искомое число процентов через x и найдем его значение по формуле (1.3):
Следовательно, сумма прибыли, полученная от продажи двухкомнатной квартиры, на 20% больше, чем сумма прибыли, полученной от продажи однокомнатной квартиры.
В следующем примере рассматриваются так называемые безналоговые покупки. Приведём сначала краткую информацию об этом.
Безналоговые покупки в Европе. Когда вы делаете покупки в странах Европейского сообщества, то оплачиваете не только цену товара, но и налог на добавленную стоимость, который включается в продажную цену. Вы можете вернуть выплаченную сумму НДС, если получите при покупках чеки безналоговых покупок. Такие чеки выдаются во многих магазинах Европы. Безналоговые покупки в Европейском сообществе - это система возврата НДС для туристов, не являющихся гражданами Европейского сообщества. Сумма НДС возвращается при пересечении границы Европейского сообщества, если вы вывозите купленные товары с течение 90 дней со дня покупки и имеете на эти товары чеки безналоговых покупок. Когда вы покидаете Европейское сообщество, предъявите ваши покупки и чеки безналоговых покупок таможенным властям. Они поставят штамп на ваши чеки. После этого вы можете получить обратно выплаченную сумму НДС по чекам безналоговых покупок в специальных пунктах возврата налогов.
Пример 7. В Великобритании НДС для большинства товаров составляет 17.5%. НДС входит в продажную цену товара. Какой процент составляет налог на добавленную стоимость в продажной цене?
Решение. Цену товара без НДС примем за 100%. Тогда продажная цена товара составляет
$$100\%+17.5\%=117.5\%.$$Обозначим через x искомое число процентов и запишем условие задачи в виде процентной пропорции:
Это основная задача 3. Значение x находим по формуле(3):
При процентных расчётах нередко допускаются ошибки, связанные с начислением сложного процента. Это понятие будет подробно рассматриваться в третьей и последующих лекциях. Здесь мы разберем только решение нескольких примеров, связанных с ним.
Пример 8. Некоторый товар подорожал в январе на 10% и в феврале ещё на 10%. На сколько процентов подорожал товар за два месяца?
Решение. Первоначальную цену товара примем за 100%. После первого повышения она стала равна
$$100\%+100\%\times0.1=110\%.$$При втором повышении эта новая цена увеличится на 10%, то есть на $$$110\%\times0.1=11\%$$$ от первоначальной цены. Таким образом, цена через два месяца составит
$$110\%+11\%=121\%$$от первоначальной цены. Следовательно, цена товара за два месяца повысилась на 21%.
Замечание. Распространённая ошибка - просто сложить проценты:
$$10\%+10\%=20\%.$$Ошибка заключается в том, что при этом складывают проценты, начисленные на разные базы.
Пример 9. Цена товара уменьшилась в результате двух снижений цены на одно и то же число процентов с 800 руб. до 512 руб. На сколько процентов снижалась цена каждый раз?
Решение. Обозначим искомое число процентов через x. Первое снижение равно
после чего цена стала равна
$$800-800\times\frac{x}{100}=800\left(1-\frac{x}{100}\right)\mbox{ руб.}$$Эта новая цена снизилась при втором снижении на
$$800\left(1-\frac{x}{100}\right)\frac{x}{100}\mbox{ руб.}$$и стала равна:
$$800\left(1-\frac{x}{100}\right)-800\left(1-\frac{x}{100}\right)% \frac{x}{100}=800\left(1-\frac{x}{100}\right)^2.$$По условию задачи эта цена после второго снижения стала равна 512, то есть искомое число процентов x является корнем уравнения:
Так как снижение цены не может произойти более чем на 100%, то
$$x\le100, \mbox{\ откуда\ }1-\displaystyle\frac{x}{100}\ge0,$$поэтому последнее уравнение равносильно уравнению:
$$1-\frac{x}{100}=0.8, \mbox{ откуда }x=20\%$$Замечание. Распространённая ошибка при решении последней задачи состоит в следующем. Вычисляют общее снижение цены за два раза:
$$800-512=288\mbox{ руб.}$$Далее находят, сколько процентов составляет число 288 от первоначальной цены 800 руб. по формуле(1.3):
$$\frac{288}{800}\times100\%=36\%$$Делят это число на 2 и получают 18%. Сущность ошибки и здесь состоит в том, что не учитывается, что проценты в первый и во второй раз должны начисляться на разные базы.
Портфелем ценных бумаг физического лица (или организации) называется совокупность принадлежащих ему (ей) ценных бумаг. Ценными бумагами являются облигации, акции, векселя и другие финансовые инструменты, по которым держатель (владелец) портфеля может получить деньги. Сумма этих денег зависит от номинальных и рыночных цен бумаг и начисляемых процентов. Формирование портфеля ценных бумаг является одной из основных (и трудных) задач теории финансов, для решения которой необходимы вероятностные методы. В нашем учебнике мы рассмотрим только некоторые элементарные задачи об оценке доходности портфеля ценных бумаг.
Пример 10. Пусть портфель ценных бумаг состоит из 50 облигаций, номинальная стоимость которых 100 руб., и 30 облигаций, номинальной стоимости 50 руб. По облигациям первого вида выплачивается 10% годового дохода, а по облигациям второго вида -15%. Сколько процентов годового дохода получит держатель портфеля от всех входящих в него облигаций?
Решение. Общая стоимость облигаций портфеля равна
$$50\times100+30\times50=6\,500\mbox{ руб.}$$Найдем общую сумму годового дохода от всех облигаций. От 50 облигаций первого вида владелец портфеля получит $$50\times100\times0.1=500~руб.$$, а от 30 облигаций второго вида - $$30\times50\times0.15=225~руб.$$ процентного дохода. Всего он получит $$500+225=725~руб.$$ процентного дохода. Вычислим, сколько процентов составляет число $$725$ от числа 6\,500$$ по формуле(1.3):
$$\frac{725}{6\,500}\times100\%=11\frac2{13}\%$$Пример 11. Держатель портфеля ценных бумаг из примера 10 хочет увеличить доходность своего портфеля до 12% (годовых), увеличив число облигаций второго вида. Сколько облигаций второго вида он должен для этого прикупить?
Решение. Обозначим число облигаций второго вида, которые надо купить, через x. Общее число облигаций второго вида станет после этого равно 30+x. Стоимость всех облигаций портфеля станет при этом равна
Доход от облигаций второго вида равен
$$(30+x)\times50\times0.15=7.5(30+x)\mbox{ руб.}$$Доход от облигаций первого вида не изменился и составляет $$50\times100\times0.1=500~руб.$$
По формуле(1.3) составляем уравнение:
$$\frac{7.5(30+x)+500}{5000+50(30+x)}\times100=12,$$решив которое, находим, что $$x=36\frac23$$. Следовательно, владелец портфеля должен купить 37 облигаций второго вида (округляем число $$36\frac23$$ в большую сторону).
В этом разделе лекции речь пойдёт об процентных вычислениях, связанных с начислением налогов. Налог - обязательный и безвозмездный платеж с организаций и физических лиц в виде процента принадлежащих им денежных средств и стоимостей ряда неденежных активов. Государство собирает налоги, чтобы финансировать общегосударственные расходы: содержание аппарата управления, армии, органов охраны порядка, науку, народное образование, социальное обеспечение и т.\,п. Существует много различных налогов, но их величина всегда устанавливается в процентах от налогооблагаемой базы. Например, в РФ в течении ряда лет подоходный налог составляет 13% от суммы полученных доходов. Система налогообложения в РФ разнообразна и сложна, хотя в последние годы делаются попытки её реформирования и упрощения.
Приведенные в этом пункте примеры, как и многие примеры в этом курсе, носят условный характер. Главная цель этих примеров - рассмотреть возникающие на практике ситуации и показать, как выполняются необходимые вычисления.
В первом примере рассматривается налогообложение корпораций. Российское налоговое законодательстве содержит много особых случаев, которые необходимо принимать во внимание при учёте затрат, которые не облагаются налогом. Поэтому мы рассматриваем пример, использующий данные о налогообложении корпораций в США, где правила налогообложения не обременены таким количеством деталей (хотя и там, возможно, произошли уже некоторые изменения).
Налоги на доходы корпораций определяются в США по трехступенчатой системе налогообложения следующим образом:
| Налогооблагаемый доход (долл.) | Ставка налога (%) |
|---|---|
| До 50 000 | 15 |
| От 50 000 до 75 000 | 25 |
| Более 75 000 | 34 |
Налогооблагаемый доход корпорации вычисляется так: из валовой выручки вычитаются все затраты, включая амортизацию оборудования и расходы на выплату процентов за имеющиеся кредиты. Учёт амортизации при вычислении налогооблагаемого дохода мы рассмотрим в лекции 4. Приведём пример вычисления налога с корпорации.
Пример 12. Валовая выручка корпорации за год равна $ 140 000, производственные расходы составляют $ 55 000. Корпорация сделала заем в банке на сумму $50 000, за который выплатила 8% годовых. Амортизация оборудования равна $ 12 000. Вычислим сумму налога, которую должна выплатить корпорация.
Решение. Расходы на выплату процентов за пользование капиталом, полученным в долг от банка, равны
$$\$\,50\,000\times0.08=\$\,4\,000$$Налогооблагаемый доход равен
$$ \$\,140\,000-\$\,55\,000-\$\,4\,000-\$\,12\,000=\$\,69\,000. $$При таком доходе ставка налога равна 25%. Сумма налога равна
$$ \$\,69\,000\times0.25=\$\,17\,250 $$По законодательству США дивиденды, выплаченные корпорацией по реализованным ею акциям, не исключаются из налогооблагаемого дохода (в противоположность расходам, выплачиваемым в качестве процентов на заемный капитал). Это делает для компании более привлекательным занимать деньги, чем использовать собственные средства.
В США налоги на доходы частных лиц также зависят от величины годового дохода гражданина и (без учёта различных льгот) взимаются по двухступенчатой системе налогообложения:
| Налогооблагаемый доход (долл.) | Ставка налога (%) |
|---|---|
| До 30 000 | 15 |
| Более 30 000 | 28 |
Существенно различаются ставки налога на главу семейства и на отдельных лиц. Имеется система льгот для лиц с низким доходом и т.п. Мы здесь не будем учитывать эти детали налогообложения.
Расчет налога на доходы частных лиц производится так: с дохода до $ 30 000берется 15% налога. Если доход превышает $ 30 000, но не превышает $ 72 000, то на $30 000 начисляется 15% налога, а на остальную сумму 28%. Если доход превышает $ 72000, то со всей суммы дохода налог начисляется по ставке 28%.
Пример 13. Годовой доход г-на Смита равен $ 28 000, г-на Холла -$ 68 000, г-на Коллинза - $ 105 000. Какой налог должен заплатить каждый из них.
Решение. Г-н Смит должен заплатить 15% налога, так как его годовой доход меньше $30 000:
$$\$\,28\,000\times0.15=\$\,4\,200.$$Так как годовой доход г-на Холла больше $30 000, но не превосходит $ 72 000, то его годовой налог состоит из двух составляющих. Во-первых, это 15%-й налог с $30 000:
$$\$\,30\,000\times0.15=\$\,4\,500.$$С остальной суммы дохода, равной $38 000 $$($\$\,68\,000-\$\,30\,000=\$\,38\,000$)$$, он должен выплатить налог по ставке 28%:
$$\$\,38\,000\times0.28=\$\,10\,640.$$Всего г-н Холл должен заплатить
$$\$\,4\,500+\$\,10\,640=\$\,15\,140.$$Доход г-на Коллинза превосходит $72 000, поэтому со всей суммы дохода он выплатит налог по ставке 28%. Сумма налога равна
В этом пункте мы не будем излагать методы и приемы современного ценообразования, для ознакомления с которыми отсылаем читателя к специальной литературе. Мы коснёмся только самых азов этой сложной проблемы и обсудим некоторые простейшие методы ценообразования. Будет показано, какие вычисления, связанные с процентами, потребуется выполнять при применении этих методов.
Часто именно ценовая конкуренция является средством, с помощью которого фирма может завоевать новый сегмент рынка. Классический пример использования цены с целью завоевания нового рынка - появление в 1967 г. в США японских цветных телевизоров. Цены на эти телевизоры были установлены на $50--100 меньше, чем у аналогичных по характеристикам телевизоров, произведённых в США. Такая ценовая стратегия позволила японским производителям бытовой техники на долгие годы занять существенный сегмент американского рынка.
Обычно выделяют пять базовых методов установления цены продукта:
На практике фирмы чаще всего устанавливают цены на свою продукцию, применяя более сложные подходы, но именно перечисленные выше методы являются отправной точкой при принятии ценовых решений.
Первые три метода (наценка, стандартный, целевой) относятся к так называемому пассивному ценообразованию. Пассивное Ценообразование - это установление цен на товар на основе затрат фирмы на его производство и организацию реализации или под влиянием цен конкурентов. При таком подходе полностью игнорируются условия на рынке, где товар будет продаваться. Прежде чем перейти непосредственно к изложению перечисленных методов, обсудим ряд понятий, которые будут использованы.
Затраты фирмы на производство товара бывают двух типов: постоянные и переменные. Постоянные затраты (в литературе используется также термин фиксированные затраты) не зависят от объёма производства, по крайней мере, в короткие промежутки времени. К ним относятся, например, затраты по содержанию управленческого аппарата фирмы, минимального количества работающих и складских помещений. Такие издержки возникают даже тогда, когда продукция вообще не выпускается. На долговременном этапе фирма может принять решение о закрытии производства, которое приведет к сокращению постоянных затрат.
Переменные затраты меняются с объёмом выпускаемой продукции. К переменным затратам относятся, прежде всего, затраты на все виды сырья, используемого в производстве.
Наценка Метод наценки (markup) является очень простым. Цена единицы продукта определяется добавлением наценки к общим затратам на её производство. Необходимой информацией при использовании этого метода являются: постоянные $$$C_f$$$ и переменные затраты $$$C_v$$$ в расчёте на одну единицу продукта и величина наценки m в процентах. Величина m показывает, что полные затраты, равные сумме постоянных и переменных затрат, будут составлять в цене единицы продукта $$ $(100-m)\%$$$. Если мы для удобства вычислений перейдем к долям единицы: $$$r=m/100$$$, то доля полных затрат в цене P составит 1-r:
Что касается постоянных затрат $$$C_f$$$, то чаще они известны для некоторой партии продукта, объёма n. Обозначим эти затраты $$$C_{fn}$$$. Тогда постоянные затраты на производство единицы продукта принято считать равными $$$\frac{C_{fn}}{n}$$$, и формула (1.5) принимает вид:
Рассмотрим следующий пример на определение цены методом наценки.
Пример 14. Фирма рассчитывает продать 10 000 единиц произведённого ею продукта, на производство которого было затрачено 400 000 руб. в виде постоянных затрат и еще 50 руб. на каждую единицу продукта (переменные затраты). Какой должна быть цена товара, если фирма хочет заработать на продаже партии 10%?
Решение. Постоянные затраты известны для партии продукта, поэтому применяем формулу при $$C_{fn}=400\,000, n=10\,000, C_v=50 и r=0.1$$:
$$ P=\displaystyle\frac{\displaystyle{\frac{400\,000}{10\,000}} +50}{1-0.1}=100\mbox{ руб.} $$Привлекательность метода наценки в его простоте. Однако он никак не учитывает ситуацию на рынке. Поэтому, применяя этот метод определения цены, фирма рискует как переоценить свой продукт, так и недооценить его. Например, если вместо 10 000 единиц продукта объём продаж составит только 9 000 единиц продукта (что на 10% меньше запланированного), то фирма ничего не заработает, а только вернёт затраченное. Дальнейшее уменьшение объёма продаж приводит к убыткам. Объединим эту информацию в следующей таблице.
| Общие затраты (руб) | 900 000 | 900 000 | 900 000 |
| Объем продаж | 10 000 | 9 000 | 8 000 |
| Выручка (руб) | 1 000 000 | 900 000 | 800 000 |
| Доход (руб) | 100 000 | 0 | - 100 000 |
| Доходность (%) | 10 | 0 | -10 |
Стандартное ценообразование. Рассмотрим ситуацию, когда фирма продаёт свою продукцию в нескольких странах, каждая из которых имеет свою национальную валюту. Стандартное ценообразование предполагает, что фирма устанавливает одну и ту же цену на свой продукт в разных странах. В этом случае цена устанавливается только с учетом обменного курса валют. Рассмотрим следующий пример.
Пример 15. Цена некоторого продукта фирмы равна 6 409 руб. Какой должна быть цена этого продукта в долларах, если обменный курс в момент установления цены составляет 64.09 руб. за доллар?
Решение. Для того чтобы определить цену товара в долларах, необходимо поделить цену в рублях на обменный курс доллара:
$$ P=\displaystyle{\frac{6\,409}{64.09}}=\$100$$Стандартное ценообразование не учитывает не только рыночные условия, но и предпочтения потребителей в разных странах. Кроме того, обменный курс валют является сильно изменяющейся величиной. Поэтому, применяя этот метод определения цены, фирма, как и при методе наценки, рискует как переоценить свой продукт, так и недооценить его.
Целевое ценообразование. При целевом ценообразовании фирма устанавливает, какой должна быть доходность её инвестиций, и вычисляет цену в связи с этой установкой. Исходными данными при применении метода целевого ценообразования являются: величина общих инвестиций I, желаемая доходность инвестиций r, общие затраты на производство единицы продукции C и ожидаемый объём продаж n. Цена единицы продукта P вычисляется по формуле:
Рассмотрим следующий пример.
Пример 16. Фирма инвестировала в организацию производства некоторого продукта 500 000 руб. и хочет заработать 20% на этих инвестициях. Общие затраты на производство единицы продукции составляют 60 руб. Ожидаемый объем продаж равен 10 000 единицы продукции. Какой должна быть установлена цена продукта, если применяется метод целевого ценообразования?
Решение. Чтобы определить цену товара, применим формулу (1.7) при $$C=60, n=10\,000, I=500\,000, r=0.2$$:
$$ P=60+\displaystyle{\frac{0.2\times 500\,000}{10\,000}}\,=70\mbox{ руб. } $$Следует отметить, что при целевом ценообразовании фирма получает желаемую доходность от своих инвестиций, если оценки затрат и объёма продаж являются точными. В целом этот метод, как уже отмечалось ранее, никак не учитывает рыночные условия.
Рыночный метод ценообразования. Как следует из названия метода, он учитывает различные условия на рынке товара при установлении цены на него. Поэтому если эти условия различные в разных странах, то и цены тоже устанавливаются различные. С точки зрения маркетинга такой подход представляется обоснованным. Однако фирма обычно не раскрывает конкретных рыночных причин, которые влияют на увеличение цены. Более того, сам факт такого увеличения всячески замалчивается. Рассмотрим следующий пример, данные для которого взяты из каталогов фирмы IKEA в США и России, изданных летом 2005 г.
Пример 17. Цена шезлонга KARLSLUND в России равна 3 990 руб. Цена того же шезлонга в США - $ 79. Можно ли считать, что применялось стандартное ценообразование, если курс доллара на момент сравнения составляет 27.80 руб.? На сколько процентов дороже шезлонг в России?
Решение. При курсе 27.80 руб. за доллар вычислим долларовый эквивалент цены шезлонга в России:
$$ P_{R}=\displaystyle{\frac{3\,990}{27.80}}\,=\$143.53. $$Как видим, цена шезлонга в России была существенно выше. Определим теперь, на сколько процентов цена в России выше цены в США:
$$ r=\displaystyle{\frac{143.53-79}{79}}\,=81.68\%. $$На полученный результат не влияет, в какой валюте вычисляются цены, действительно:
$$ P_{USA}=27.80\times 79\,=\,2\,196.20\mbox{ руб.},\ \ r=\displaystyle{\frac{3\,990-2\,196.20}{2\,196.20}}\,=81.68\%. $$Можно ещё вычислить, при каком курсе доллара в России цены на шезлонг в России и США будут эквивалентны:
$$ s=\displaystyle{\frac{3\,990}{79}}\,= 50.51\mbox{ руб. } $$Разобранный пример, согласитесь, является очень неприятным и обидным для жителей России. Возьмём информацию о другом товаре из тех же каталогов фирмы IKEA.
Пример 18. Цена лейки БЕТНА в России равна 49 руб. Цена этой же лейки в США - $ 2.99. Можно ли считать, что применялось стандартное ценообразование, если курс доллара на момент сравнения составлял 27.80 руб.? В какой стране этот товар дороже и на сколько процентов?
Решение.При курсе 27.80 руб. за доллар вычислим долларовый эквивалент цены лейки в России:
$$ P_{R}=\displaystyle{\frac{49}{27.80}}\,=\$1.76 $$Как видим, цена лейки в России ниже, чем ее цена в США. Определим теперь, на сколько процентов цена в США выше цены в России:
$$ r=\displaystyle{\frac{2.99-1.76}{1.76}}\,=69.64\%. $$В том случае, если мы хотим вычислить, на сколько процентов цена в России ниже цены в США, то получим другой результат:
$$ r=\displaystyle{\frac{2.99-1.76}{2.99}}\,=41.05\%. $$Этот пример еще раз наглядно демонстрирует, что необходимо однозначно указывать, какая величина является базой при определении процента. В первом случае базой является цена лейки в России и разница в ценах составляет 69.64%, а во втором - цена в США, и тогда разница в ценах составляет 41.05%.
Заметим, что из рассмотренных реальных примеров нельзя сделать вывод, что фирма IKEA применяет рыночный метод ценообразования. Было установлено только, что одна и та же продукция продается в США и России по разной цене. Только высший менеджмент фирмы IKEA знает, какие именно методы ценообразования применяются в этой фирме.
Стратегическое ценообразование. При стратегическом методе ценообразования сначала во всех странах устанавливается минимальная стандартная цена (minimum standard price). После этого руководитель филиала в конкретной стране выполняет исследование местных условий и особенностей (структуры затрат на производство продукта, местного рынка сбыта, целей фирмы и т.\,п.). Менеджеры в каждой стране могут выбирать, продавать ли продукт по минимальной рекомендованной цене или увеличить ее. Принятие этого решения зависит от конкуренции на местном рынке, особенностей потребителей этого рынка, местного законодательства. Решение обычно принимается при непосредственном участии головного офиса. Рассмотрим следующий пример.
Пример 19. Французская фирма YP} выпустила в продажу новую туалетную воду Neopar одновременно в США и России. В США 50 мл этой туалетной воды продавались по минимальной рекомендованной цене, равной $35.5. Предполагаемый объем продаж - 10 000 единиц товара. При такой цене фирме YP удалось возместить затраты на производство, доставку, рекламу и реализацию товара в США. В предположении, что полные затраты в России такие же, какой должна быть установлена цена в России, если предполагаемый объём продаж на 10% ниже? Курс доллара на момент установления цены составлял 27.80 руб.
Решение. При курсе 27.80 руб. за доллар вычислим рублевый эквивалент цены туалетной воды в США:
$$ P_{USA}=27.8\times 35.5\,=\,986.90\mbox{ руб. } $$Предполагаемая выручка S от продажи 10 000 единиц товара в США составит:
Объём продаж в России прогнозировался на уровне 9 000 (=10 000 x (1-0.1)) единиц товара. Следовательно, чтобы сохранить размер выручки, следовало установить цену $$$P_{R}$$$, которая вычисляется по формуле:
Важное замечание. Следует заметить, что всюду выше речь шла об определении цены продукции производителями, т.е. оптовой цены. Что касается розничных цен, то на них влияют многие факторы, среди которых налоги, таможенные сборы, транспортные расходы и наценки крупных и мелких оптовиков, а также торговая наценка. Чтобы у читателя сложилось правильное представление о том, из чего складывается розничная цена продукта, советуем ознакомиться с примером образования розничной цены из учебника [5].
В этом пункте мы разберем, как выполнить решение примеров из этой лекции на своём компьютере. Для этого потребуется, во-первых, программа Excel (любая версия не ранее XP).
А, во-вторых, умение вводить данные и работать с формулами, которые часто называют душой и сердцем электронных таблиц. Тем, кто не знаком с техникой ввода данных в Excel, рекомендуем прочесть соответствующие разделы в приложении к учебнику [5] или в [6,7].
Приведём основные правила работы с формулами. Любые формулы в Excel начинаются со знака равенства. Без знака равенства вводимые данные интерпретируются как текст, если, конечно, они не являются числом.
Ячейка, в которую вводятся данные (формула - это один из видов данных), называется активной. После того как формула введена (нажата клавиша Enter), в активной ячейке появляется значение, вычисленное по введенной формуле, а саму формулу можно увидеть в строке формул.
Порядок вычислений (приоритет) по формуле традиционен для языков программирования: выражения в скобках вычисляются в первую очередь; умножение и деление выполняются до сложения и вычитания; операции одного приоритета выполняются слева направо. Для изменения порядка вычислений используются круглые скобки.
Если формула содержит адрес ячейки (ссылку), то результат вычисления по ней зависит от содержимого этой ячейки. При изменении содержимого ячейки может измениться и результат вычислений.
Ссылки на ячейку можно вводить вручную и с помощью мыши, щелкнув ячейку. После щелчка вокруг ячейки появляется бегущая штриховая рамка, а адрес ячейки записывается в формулу. Использование мыши уменьшает количество ошибок и экономит время ввода.
При вводе данных в активную ячейку не обязательно видеть ее в окне. Можно свободно перемещаться по рабочему листу и щелкать ячейки, участвующие в формуле. Быстро вернуться в активную ячейку можно, нажав клавиши Ctrl+Backspace.
(рис 1.1) Примеры на вычисление процентов
Имеющиеся в этом курсе лекций рисунки с решениями примеров являются фрагментами рабочих листов, на которых эти решения выполнены. Эти листы имеют одинаковую структуру: в первой строке таблицы после слова Лекция указано название лекции, в тексте которой содержатся решаемые примеры. Каждый пример имеет номер, совпадающий с номером этого примера в тексте лекции. Решения примеров, по возможности, также имеют одинаковую структуру: данные, вопрос, решение. Ячейки, содержащие ответы, выделены жирным шрифтом и рамкой. Рядом с ячейками, в которые введены неочевидные формулы, записаны в качестве комментария эти формулы.
Надеемся, что сделанных пояснений будет достаточно, чтобы повторить решения первых двух примеров из этой лекции (рис. 1.1).
Для того чтобы решения примеров в Excel выглядели так же, как на рисунках в книге, необходимо установить в ячейках правильные форматы. Установка форматов выполняется с помощью команды Формат ячеек. Обычно о том, какой формат задан в ячейке, можно догадаться по отображаемому значению. Например, на рис. 1.1 в ячейках B6 и B18 задан процентный формат, а в ячейках B7 и B17 - денежный. При этом следует помнить, что между хранимыми и отображаемыми в ячейках значениями существуют определённые различия. Важно понимать, что форматирование никак не отражается на хранимых в ячейках числовых и текстовых значениях. Например, если ввести число с шестью знаками после десятичной точки в ячейку, которая отформатирована на отображение только двух знаков после десятичной точки, то на экране вы увидите число с двумя знаками после десятичной точки. Однако хранимое в ячейке значение никак не изменится, и при расчётах будет использоваться введённое значение - число с шестью знаками после десятичной точки.
В решениях примеров 12 и 13 (рис. 1.2) используется логическая функция ЕСЛИ() (формулы в ячейках B17, B27). Эта функция выполняет проверку условия, задаваемого первым аргументом, и возвращает значение второго аргумента, если условие выполнено, и значение третьего аргумента, если условие не выполнено:
=ЕСЛИ(условие; значение да; значение нет)
Так как в качестве аргументов функций могут, в свою очередь, использоваться любые другие функции, то с помощью вложений функций ЕСЛИ() друг в друга можно проверять последовательную цепочку условий. Именно так были запрограммированы формулы для определения налоговых отчислений.
(рис 1.2) Примеры на вычисление налогов
Налог - обязательный и безвозмездный платеж с организаций и физических лиц в виде процента принадлежащих им денежных средств и стоимостей ряда неденежных активов.
Наценка - один из методов ценообразования.
Переменные затраты - производственные затраты, которые зависят об объёма производства.
Портфель ценных бумаг - совокупность принадлежащих физическому лицу или организации ценных бумаг.
Постоянные затраты - производственные затраты, которые не зависят об объёма производства.
Промилле - тысячная доля некоторой величины.
Процент - сотая доля некоторой величины.
Рыночный метод ценообразования - один из методов ценообразования.
Стандартное ценообразование - один из методов ценообразования.
Стратегическое ценообразование - один из методов ценообразования.
Целевое ценообразование - один из методов ценообразования.
Ценообразование - установление цены на товар или услугу.
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.