Приведенная ценность финансовой ренты

7.3.2 Ренты с начислением процентов m раз в год

Годовая рента

Используя формулы из лекций 3 и 6, находим значение приведённой ценности этой ренты:

$$ PV = S\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{-nm}= R\,\frac{\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{nm}-1}{\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{m}-1}\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{-nm}=\\[8pt] = R\frac{1-\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{-nm}}{\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{m}-1}=R\,\frac{\displaystyle\frac{1-\left(1+\frac{j_m}{m}\right)^{-nm}}% {\frac{j_m}{m}}}% {\displaystyle\frac{\left(1+\frac{j_m}{m}\right)^{m}-1}% {\frac{j_m}{m}}}% = R\,\frac{a_{nm;\,{j_{m}\over m}}}% {s_{m;\,{j_{m}\over m}}}$$

Итак, приведённая ценность рассматриваемой ренты может быть вычислена по формуле:

$$ PV=R\,\frac{a_{nm;\,{j_{m}\over m}}}{s_{m;\,{j_{m}\over m}}}\,\,\, (7.5) $$

$$p$$-срочная рента

Применяя формулы из лекций 3 и 6, получаем:

$$PV = S\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{-nm}=\frac{R}{p}\times \frac{\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{nm}-1}{\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{{m\over p}}-1} \left(1+{j_{m}\over m}\right)^{-nm}=\\[8pt] = \frac{R}{p}\times \frac{1-\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{-nm}}{\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{{m\over p}}-1}% =\frac{R}{p}\times \frac{\displaystyle\frac{1-\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{-nm}}% {\frac{j_m}{m}}}% {\displaystyle\frac{\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{{m\over p}}-1}% {\frac{j_m}{m}}}=% \frac{R}{p}\times\frac{a_{nm;\,{j_{m}\over m}}}{s_{{m\over p};\,{j_{m}\over m}}}$$

Итак, приведённая ценность ренты в данном случае равна:

$$ PV=\frac{R}{p}\times\frac{a_{nm;\,{j_{m}\over m}}}{s_{{m\over p};\,{j_{m}\over m}}}\,\,\, (7.6) $$

$$p$$-срочная рента при $$p=m$$

В лекции 6 было доказано, что $$s_{1;\,j_{m}/m}=1$$, поэтому формула (7.6) в этом случае принимает вид:

$$ PV=R\,\frac{a_{nm;\,{j_{m}\over m}}}{m}\,\,\, (7.7) $$

7.3.3 Рента с непрерывным начислением процентов

Ещё раз отметим, что ренты с непрерывным начислением процентов широко применяются в Годовая рента

Применяя формулы из лекции 3 и 6, получаем:

$$ PV=Se^{-\delta n}=R\,\frac{e^{\delta n}-1}{e^{\delta}-1} e^{-\delta n}= R\,\frac{1-e^{-\delta n}}{e^{\delta}-1}. $$

Итак, приведённая ценность ренты равна:

$$ PV=R\,\frac{1-e^{-\delta n}}{e^{\delta}-1}\,\,\, (7.8) $$

$$p$$-срочная рента

Применяя формулы из лекций 3 и 6, получаем:

$$ PV = Se^{-\delta n}=\frac{R}{p}\times\frac{e^{\delta n}-1}{e^{{\delta\over p}}-1}% \times e^{-\delta n}= \frac{R}{p}\times\frac{1-e^{-\delta n}}{e^{{\delta\over p}}-1}$$

Таким образом, приведённая ценность ренты равна:

$$ PV=\frac{R}{p}\times\frac{1-e^{-\delta n}}{e^{{\delta\over p}}-1}\,\,\, (7.9) $$

Рассмотрим примеры, при решении которых используются выведенные выше формулы.

Пример 63. Какую сумму необходимо положить в начальный момент в банк, чтобы иметь возможность в течение следующих 5 лет ежегодно снимать со счета 50 000 руб., исчерпав счет полностью к концу срока. Банк начисляет на вложенные в него деньги проценты по ставке: а) годовой $$i=8%$$, б) $$j_{4}=8\%$$, в) непрерывной $$\delta=8\%$$?

Решение. Во всех случаях требуется найти приведённую ценность годовой ренты. В случае а) проценты начисляются в конце года. Применяем формулу (7.6):

$$PV=Ra_{n;\,i}=50\,000\, a_{5;\,8\%}.$$

Вычисляем, что $$a_{5;\,8\%}=3.9927$$ и подставляем в формулу:

$$ PV=50\,000\times 3.9927=199\,635\mbox{ руб.} $$

б) В этом случае проценты начисляются 4 раза в год. Применяем формулу (7.9) при $$n=5, m=4, j_{m}/m=8\%/4=2\%$$:

$$ PV=R\,\frac{a_{nm;\,{j_{m}\over m}}}{s_{m;\,{j_{m}\over m}}}=% 50\,000\,\frac{a_{20;\,2\%}}{s_{4;\,2\%}}. $$

По формулам находим значения:

$$ a_{20;\,2\%}=\frac{1-(1+0.02)^{-20}}{0.02}=16.3514 ,\\ s_{4;\,2\%}=\frac{(1+0.02)^{4}-1}{0.02}=4.1216.$$

Подставляем вычисленные значения и получаем ответ:

$$ PV=50\,000\times\frac{16.3514}{4.1216}=198\,362.31\mbox{ руб.} $$

в) В этом случае применяем формулу (7.8) при $$n=5, \delta=0.08$$:

$$ PV=R\,\frac{1-e^{-\delta n}}{e^{\delta}-1}=% 50\,000\,\frac{1-e^{-0.08\times 5}}{e^{0.08}-1}=197\,917.85\mbox{ руб.} $$

Пример 64. Какую сумму необходимо положить в банк, чтобы в течение следующих 5 лет ежегодно получать 300 000 руб., полностью исчерпав счет к концу этого срока. Деньги будут сниматься каждые 2 месяца равными частями. Банк начисляет на находящиеся на счету деньги проценты по ставке: а) годовой $$i=8\%$$, б) годовой $$j_{4}=8\% $$, в) непрерывной годовой $$\delta=8\%$$.

Решение. о всех случаях требуется найти современную ценность p-срочной ренты при p=6.

а) В этом случае проценты начисляются только в конце года. Применяем формулу (7.5) при n=5, i=8%, p=6:

$$ PV=Ra_{n;\,i}^{(p)}=300\,000\times a_{5;\,8\%}^{(6)}. $$

Вычисляем значение $$a_{5;\,8\%}^{(6)} = 4.1238$$, подставляем его и получаем ответ:

$$ PV = 300\,000\times 4.1238=1\,237\,140\mbox{ руб.} $$

б) В этом случае проценты начисляются 4 раза в год. Применяем формулу (7.6) при n=5, m=4, $$j_{m}=8\%$$, p=6:

$$ PV=\frac{R}{p}\times\frac{a_{mn;\,{j_{m}\over m}}}{s_{{m\over p};\,{j_{m}\over m}}}= \frac{300\,000}{6}\times\frac{a_{20;\,2\%}}{s_{{2\over 3};\,2\%}}. $$

По формулам вычисляем:

$$ s_{{2\over 3};\,2\%}=0.6645,\ \ a_{20;\,2\%}=16.3514. $$

Находим современную ценность ренты:

$$ PV=300\,000\times\frac{16.3514}{6\times 0.6645}=1\,230\,422.78\ \mbox{руб.} $$

в) В этом случае проценты начисляются непрерывно. Применяем формулу (7.9) при n=5, p=6, $$\delta=0.08$$:

$$ PV=\frac{R}{p}\times\frac{1-e^{-\delta n}}{e^{{\delta\over p}}-1}= \frac{300\,000}{6}\times\frac{1-e^{-0.08\times 5}}{e^{{0.08\over 6}}-1} = 1\,228\,076.14 \mbox{ руб.} $$

7.3.4 Бессрочная рента

В предыдущей лекции мы уже говорили о бессрочной ренте и приводили примеры таких рент. Очевидно, что наращенная сумма бессрочной ренты, каждый член которой равен положительному числу R, бесконечно велика, и говорить об её величине не имеет смысла. Иначе обстоит дело с современной ценностью бессрочной ренты.

Приведённой ценностью $$PV_{\infty}$$ бессрочной ренты является сумма, которую надо вложить в начальный момент под сложные проценты по данной ставке, чтобы в дальнейшем каждый год (или каждый период начисления процентов) можно было получать с этого вклада сумму R. Приведённую ценность бессрочной ренты можно определить как предел приведённой ценности конечной ренты при неограниченном увеличении числа членов ренты. Ниже при нахождении пределов всюду используется тот факт, что $$\lim_{n\rightarrow \infty} a^{-n}=0$$ при любом $$a>1$$. Рассмотрим различные некоторые виды бессрочной ренты.

Годовая рента с начислением процентов в конце каждого года по ставке сложных процентов, равной $$i$$

Приведённая ценность конечной ренты этого вида определяется формулой (7.2). Найдем предел данного в этой формуле выражения при неограниченном увеличении n:

$$ PV_{\infty}=\lim_{n\rightarrow\infty} PV=\lim_{n\rightarrow\infty} Ra_{n;\,i}= R\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}=\frac{R}{i}. $$

Следовательно, приведённая ценность бессрочной ренты в данном случае равна:

$$ PV_{\infty}=\frac{R}{i}\,\,\, (7.10) $$

$$p$$-срочная рента с начислением процентов в конце года по ставке сложных процентов, равной $$i$$

Приведённая ценность бессрочной ренты в этом случае равна пределу выражения в формуле (7.3):

$$ PV_{\infty} = \lim_{n\rightarrow\infty} PV=\lim_{n\rightarrow\infty} Ra_{n;\,i}^{(p)}= R\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1-(1+i)^{-n}}{p[(1+i)^{{1\over p}}-1]}= \frac{R}{p[(1+i)^{{1\over p}}-1]}$$

Воспользуемся формулой из лекции 6 и получим:

$$p((1+i)^{1 /p}-1)=\frac{i}{K_{p;\,i}}$$

следовательно, полученное для $$PV_{\infty}$$ выражение можно переписать так:

$$ PV_{\infty}=R\,\frac{K_{p;\,i}}{i}\,\,\, (7.11) $$

Годовая рента с начислением процентов $$m$$ раз в год по ставке $$\mbox{\boldmath j_m$$

приведённая ценность бессрочной ренты в этом случае равна пределу выражения в формуле (7.5):

$$ PV_{\infty} = \lim_{n\rightarrow\infty} PV=\lim_{n\rightarrow\infty} R\,\frac{a_{nm;\,{j_{m}\over m}}}{s_{m;\,{j_{m}\over m}}}=\\[6pt] = R\,\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1-\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{-nm}}% {\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{m}-1}= \frac{R}{\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{m}-1}$$

Используя формулу из лекции 6, последнее равенство можно переписать и получить формулу:

$$ PV_{\infty}=\frac{R}{{j_{m}\over m}\times s_{m;\,{j_{m}\over m}}}\,\,\, (7.12) $$

$$p$$-срочная рента с начислением процентов $$m$$ раз в год по ставке $$\mbox{\boldmath j_m$$

Приведённая ценность бессрочной ренты в этом случае равна пределу выражения из формулы (7.6):

$$ PV_{\infty} = \lim_{n\rightarrow\infty} PV=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{R}{p}\times\frac{a_{nm;\,{j_{m}\over m}}}{s_{{m\over p};\,{j_{m}\over m}}}= \frac{R}{p}\times\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1-\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{-nm}}% {\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{{m\over p}}-1}=\\ = \frac{R}{p}\times\frac{1}{\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{{m\over p}}-1}$$

Используя формулу из лекции 6, последнее равенство можно переписать и получить формулу:

$$ PV_{\infty}=\frac{R}{p\times {j_{m}\over m}\times s_{{m\over p};\,{j_{m}\over m}}}\,\,\, (7.13) $$

В частном случае этой ренты, когда m=p, имеет место равенство:

$$s_{1;\,j_{m}/m}=1. $$

С учётом последнего равенства формула (7.13) принимает вид:

$$ PV_{\infty}=\frac{R}{m\,{j_{m}\over m}}=\frac{R}{j_{m}}\,\,\, (7.14) $$

Годовая рента с непрерывным начислением процентов по ставке $$\mbox{\boldmath \delta$$

Приведённая ценность бессрочной ренты в этом случае равна пределу выражения в формуле (7.8):

$$ PV_{\infty}=\lim_{n\rightarrow\infty} PV=\lim_{n\rightarrow\infty} R\,\frac{1-e^{-\delta n}}{e^{\delta}-1}= R\,\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1-e^{-\delta n}}{e^{\delta}-1}= \frac{R}{e^{\delta}-1} $$

Следовательно, имеем формулу:

$$ PV_{\infty}=\frac{R}{e^{\delta}-1}\,\,\, (7.15) $$

$$p$$-срочная рента с непрерывным начислением процентов по ставке $$\mbox{\boldmath \delta$$

Приведённая ценность бессрочной ренты в этом случае равна пределу выражения в формуле (7.9):

$$ PV_{\infty}=\lim_{n\rightarrow\infty} PV=\lim_{n\rightarrow\infty} R\,\frac{1-e^{-\delta n}}{p\left(e^{{\delta \over p}}-1\right)}= \frac{R}{p\left(e^{{\delta\over p}}-1\right)} $$

Следовательно, получили формулу:

$$ PV_{\infty}=\frac{R}{p\left(e^{{\delta\over p}}-1\right)}\,\,\, (7.16) $$

Приведем пример на использование формул для вычисления приведённой ценности бессрочной ренты.

Пример 65. Фирма планирует организовать специальный фонд для выплаты 1 000 000 руб. в конце года направленным на учёбу работникам. Какую сумму потребуется положить в банк, чтобы обеспечить получение указанной суммы неограниченно долго, если: а) банк выплачивает 8% годовых (сложных), б) банк выплачивает проценты по ставке $$j_{4}=8\%,$$ в) банк выплачивает непрерывные проценты с силой роста $$\delta=8\%$$?

Решение. а) Последовательность получаемых сумм является бессрочной рентой с начислением процентов в конце года. Применяем формулу (7.10) при R=1 000 000, i=0.08

$$ PV_{\infty}={R\over i}={1\,000\,000\over 0.08}=12\,500\,000 \mbox{ руб.} $$

б) Последовательность получаемых сумм является бессрочной рентой с начислением процентов m раз в год по годовой ставке $$j_{m}$$. Применяем формулу (7.12) при $$m=4, j_{m}=8\%, j_{m}/m=8\% /4=2\%$$:

$$ PV_{\infty}=\frac{R}{{j_{m}\over m}\times s_{m;\,{j_{m}\over m}}}=\frac{1\,000\,000}{0.03\times s_{4;\,2\%}}% =\frac{1\,000\,000}{0.02\times 4.1216}=12\,131\,188.28\ \mbox{руб.} $$

в) Последовательность получаемых сумм образует бессрочную ренту с непрерывным начислением процентов по годовой ставке $$\delta$$. Применяем формулу (7.15) при $$R=1\,000\,000, \delta=8\%=0.08$$:

$$ PV_{\infty}=\frac{R}{e^{\delta}-1}=\frac{1\,000\,000}{e^{0.08}-1} =12\,006\,665.96\mbox{ руб.}$$

7.4 Погашение долгосрочной задолженности несколькими платежами

Вернёмся к задаче погашения долгосрочной задолженности, которую мы уже рассматривали в лекции 6. Рассмотрим случай, когда задолженность погашается не единовременным платежом, а несколькими равными платежами, которые делаются через равные промежутки времени. Такая форма погашения задолженности часто используется при амортизации долга, потребительском кредите и ипотеке. Опишем соответствующую задачу.

Заёмщик получил ссуду, равную s, и обязался вернуть долг, сделав n равных срочных уплат R через равные промежутки времени. Требуется определить величину срочной уплаты R при условии, что на долг начисляются сложные проценты по ставке i за каждый промежуток времени.

Последовательность срочных уплат является рентой, имеющей n членов, приведённая ценность которой равна s. Следовательно, по формуле (7.2) $$S=R\times a_{n;\,i}$$, откуда определяем:

$$ R=\frac{S}{a_{n;\,i}}\,\,\, (7.17) $$

При таком способе погашения долга каждая следующая уплата включает бОльшую сумму долга, чем предыдущая, и меньшую сумму выплачиваемых процентов. Поясним это. Сумма выплачиваемых в периоде t процентов равна $$S_{t}\,i$$, где $$S_{t}$$ - остаток долга на начало периода t и $$S_{1}=S$$. Сумму части долга, которая погашается в периоде t, обозначим через $$R_t$$. Для неё верна формула:

$$R_{t}=R-S_{t}\,i. $$

Остаток долга на начало периода t вычисляется по формуле:

$$S_{t}=S_{t-1}-R_{t-1}\,,$$

где $$t=2,\,\ldots ,\ n. $$ Рассмотрим пример.

Пример 66. Долг в 300 тыс. руб. надо погасить за 5 лет, делая равные платежи в конце каждого года. На долг начисляются проценты по годовой ставке $$i=5%$$. Составим план погашения долга.

Решение. Используем формулу (7.17). По условию задачи $$n=5, S=S_{1}=300\,000, i=0.05$$. Подставляем эти значения в формулу и вычисляем срочную уплату:

$$ R\,=\,\frac{S}{a_{5;\,5\%}}=\frac{300\,000}{4.3295}=69\,292.44 \mbox{ руб.} $$

Запишем план погашения (амортизации) долга в виде таблицы, в которой суммы денег округлены до целых рублей:

Номер года (t)	Остаток долга на начало года t (руб.) $$S_t =S_{t-1}-R_{t-1}$$	Срочная уплата R	Сумма выплаченных в году t процентов (руб) $$S_t\times 0.05$$	Сумма погашения долга в году t $$ R_t =R- S_t\times 0.05$$
1	300 000	69 292	15 00	64 292
2	245 708	69 292	12 285	57 007
3	188 701	69 292	9 435	59 850
4	128 844	69 292	6 442	62 850
5	65 994	69 292	3 300	65 994

Итого: 300 000 руб.

7.5 Определение срока погашения долга

Иногда в условиях погашения долга s оговаривается только величина срочной уплаты R. Тогда срок погашения долга n определяют из формулы (7.17):

$$ S=\frac{R\,(1-(1+i)^{-n})}{i}\,. $$

Преобразуем эту формулу следующим образом:

$$(1+i)^{-n}=1-\frac{Si}R\,.$$

Прологарифмируем обе части последнего равенства и вычислим n:

$$ -n\ln (1+i) = \ln \left(1-{Si\over R}\right),\nonumber\\[4pt] n = -\frac{\ln \left(1-\displaystyle{Si\over R}\right)}{\ln (1+i)}.\,\,\, (7.18) $$

Отметим, что вычисленное по формуле (7.18) значение n обычно получается нецелым. Поэтому при составлении плана погашения долга уплата в последнем, неполном году должна быть уменьшена так, чтобы был выплачен остаток долга и соответствующие этому остатку проценты. Рассмотрим пример.

Пример 67. В условиях предыдущего примера предположим, что должник и кредитор договорились не о том, что долг должен быть возвращен в течение пяти лет, а о том, что годовая уплата будет равна 70 000 руб. Составим план погашения долга.

Решение. Определим по формуле (7.18) срок погашения долга:

$$ n=-\frac{\ln \left(1-{\displaystyle{ 300\,000\,\times 0.05\,\over 70\,000}}\right)} {\ln (1+0.05)}% =4.94\,. $$

Полученный результат означает, что долг будет возвращаться 4.94 года. Это означает, что первые 4 года будет выплачиваться по 70 000 руб., а в последнем году срочная уплата будет меньше, так как год неполный. Заключительная уплата в пятом году должна быть равна сумме остатка долга на начало пятого периода и начисленных на этот остаток процентов в пятом году:

$$R=62\,943+3147=66\,090\mbox{ руб.} $$

Запишем план погашения долга в виде таблицы:

Номер года (t)	Остаток долга на начало года t (руб.) $$ S_t =S_{t-1}-R_{t-1}$$	Срочная уплата R	Сумма выплаченных в году t процентов (руб) $$S_t\times 0.05$$	Сумма погашения долга в году t $$ R_t =R- S_t\times 0.05$$
1	300 000	70 000	15 000	55 000
2	245 000	70 000	12 250	57 750
3	187 250	70 000	9 362	60 638
4	126 612	70 000	6 331	63 669
5	62 943	66 090	3 147	62 943

Итого: 300 000 руб.

7.6 Процентная ставка финансовой ренты

При финансовых вычислениях может возникнуть необходимость по известному коэффициенту наращения $$s_{n;\,i}$$ или по известному коэффициенту приведёния $$a_{n;\,i}$$ найти значение процентной ставки i при фиксированном числе членов ренты n. Опишем одну из возможных ситуаций, в которой возникает такая необходимость. Фирме требуется накопить сумму s к определённому сроку, делая через равные промежутки времени n равных вкладов, размером R каждый. Какой минимальный процент на вложенные деньги надо получать для этого в банке? В этом случае, зная значения s, R, n, можно найти значение $$s_{n;\,i}$$, а затем по этому значению вычислить процентную ставку i.

Возможна другая ситуация. Вкладчик желает положить сумму s на счет в банке, чтобы после этого иметь возможность n раз снять со своего счета через равные промежутки времени сумму, равную R. Вкладчику интересно узнать, сколько процентов при этом должен платить банк на вложенные деньги. В этом случае по известным значениям s, R и n можно найти значение $$a_{n;\,i}$$ по формуле (7.2), а затем по этому значению вычислить ставку i.

В описанных ситуациях надо решить относительно i уравнение n-й степени при заданных значениях q, n, $$s_{n;\,i}$$ или $$a_{n;\,i}$$:

$$ s_{n;\,i}=q \mbox{ или } a_{n;\,i}=q\,\,\, (7.19) $$

Для решения таких уравнений типа уравнения (7.19) существуют методы нахождения приближённых значений корней с любой степенью точности. Опишем один из этих методов: метод линейной интерполяции.

Этот метод использует тот факт, что если непрерывная функция f(x) является на промежутке [$$x_1;x_2$$] монотонной (возрастающей или убывающей) и принимает на концах этого промежутка разные знаки, то в некоторой внутренней точке этого промежутка функция f(x) равна нулю, и эта точка (корень функции) единственная на данном промежутке. Приближённое значение корня функции на этом промежутке вычисляется по следующей формуле:

$$ \tilde x =x_1-\frac{f(x_1)(x_2-x_1)}{f(x_2)-f(x_1)}\,\,\, (7.20) $$

Мы применим этот метод при решении следующего примера. Необходимые вычисления могут быть легко проведены с помощью финансового калькулятора или в Excel. В п. 7.7 будет рассказано, как решать подобные задачи с помощью специальных средств Excel.

Пример 68 Для возвращения долга необходимо накопить за 10 лет 2 млн руб. Ежегодно должник может вносить в банк для этой цели 150 тыс. руб. Под какую ставку сложных процентов необходимо вкладывать эти деньги, чтобы накопить требуемую сумму в указанный срок?

Решение. По условию примера необходимо за 10 лет получить наращенную сумму S=2 млн руб. Применяя формулу из лекции 6, находим коэффициент наращения:

$$ s_{10;\,i}={S\over R}={2\,000\,000\over 150\,000}=13.(3). $$

Следовательно, надо решить относительно i уравнение (7.19). Оно имеет вид:

$$\frac{(1+i)^{10}-1}{i}=13.(3). $$

Это уравнение десятой степени. Запишем это уравнение в виде

$$ f(i)=\frac{(1+i)^{10}-1}{i}-13.(3)=0. $$

Подбором находим два значения i, при которых функция f(i) имеет разные знаки: i=5% и i=10%. Действительно, при этих значениях i мы имеем:

$$ s_{10;\,5\%}=12.5779,\quad f(0.05)=12.5779-13.(3)=-0.7554,\\ s_{10;\,10\%}=15.9374,\quad f(0.10)=15.9374-13.(3)=2.6041. $$

На промежутке [0.05; 0.10] функция f(i) меняет знак и монотонно возрастает. Находим приближённое значение i по формуле (7.20), заменив переменную x переменной i. В нашем примере имеем в качестве начальных данных:

$$x_1=0.05,\quad x_2=0.1,\quad f(x_1)=-0.7554,\quad f(x_2)=2.6041. $$

Приближённое значение корня уравнения $$\tilde{i}$$, согласно формуле (7.20), равно:

$$ \tilde{i}=0.05-\frac{-0.7554(0.1-0.05)}{2.6041+0.7554}=0.0612=6.12\%. $$

Вычислим значение f(0.0612):

$$ f(0.0612)=\frac{(1+0.0612)^{10}-1}{0.0612}-13.(3)=-0.0780. $$

Это значение близко к 0, поэтому приближённое значение корня уравнения i=6.12% можно принять в качестве решения поставленной задачи.

Если точность найденного значения i будет признана недостаточной, то следует вновь применить формулу (7.20) на промежутке [6.12%; 10%], так как функция на концах этого промежутка имеет разные знаки:

$$f(6.12\%)=-0.0780,\quad f(10\%)=2.6041. $$

Повторяя эту процедуру, можно найти значение i с любой степенью точности.

7.7 Используем Excel

Ранее в этой лекции на примерах было показано, как, зная значения величин $$R$$, $$n$$ и $$i$$, вычислить приведённую ценность ренты PV, или, зная значения величин PV, n и i, вычислить величину платежа R. Не представляет труда записать приведённые решения примеров на рабочих листах Excel. Эти решения станут существенно компактней и наглядней, если создать на VBA\ две функции, которые мы назвали PVCoeff и PVPCoeff.

Функция PVCoeff реализует функцию $$a_{n;\,i}$$, а PVPCoeff - $$a_{n;\,i}^{(p)} $$:

$$ a_{n;\,i}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\,,\ \ % a_{n;\,i}^{(p)}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{p[\left(1+i\right)^{{1\over p}}-1]}\,. $$

Приведём текст этих функций (листинг 7.1). Для читателей, хоть немного знакомых с программированием на VBA, не составит труда включить их в свой модуль и использовать при решении примеров и заданий из этого курса лекций. Всех остальных отсылаем к учебнику [5], в котором подробно объяснено, как это сделать.

Function PVCoeff(n As Integer, i As Single) As Single
 PVCoeff = (1 - (1 + i) ^ (-n)) / i
End Function

Function PVPCoeff(n As Integer, i As Single, p As Integer) _
 As Single
 PVPCoeff = (1 - (1 + i) ^ (-n)) / p / ((1 + i) ^ (1 / p) - 1)
End Function

В лекции 6 (п.,6.8) была приведёна таблица функций, имеющихся в Excel, которые используются при анализе финансовой ренты. Там же были разобраны примеры использования некоторых из них для определения наращенной суммы потока платежей, величины периодического платежа и количества платежей, необходимых для возврата долга. Теперь мы приведём примеры и замечания, касающиеся использования функций ПС и СТАВКА.

(рис 19) Пример на вычисление величины необходимого вклада

В простейшем случае с помощью функции ПС определяется объём вклада, необходимого для обеспечения фиксированного количества выплат заданной величины. На рис. 19 приведён фрагмент рабочего листа, содержащий решение примера 62 (пример 1 в этой лекции) двумя способами: с использованием функции PVCoeff и с использованием функции ПС. Как видно на рисунке, результаты вычислений совпадают.

(рис 20) Пример на применение функции СТАВКА

В п. 7.6 для определения процентной ставки финансовой ренты использовался метод линейной интерполяции. Однако более простой способ в этом случае - использовать встроенную функцию СТАВКА. Решение примера 68 (номер 7 в текущей лекции) с использованием этой функции приведёно на рис. 20.

Финансовая функция СТАВКА вычисляет процентную ставку, которая в зависимости от ситуации может быть либо нормой прибыли, либо процентом кредита. Особенностью применения этой функции является возможность использования необязательного параметра прогноз - предполагаемого значения функции. По умолчанию он полагается равным 10%. В Excel для определения значения функции СТАВКА используется метод последовательных приближений. Если решение с заданной точностью не найдено за 20 итераций, то выдаётся сообщение об ошибке: #ЧИСЛО. Именно в такой ситуации может помочь задание необязательного параметра прогноз перед повторным вычислением функции.

Важное замечание.В Excel 2003 и более поздних версиях, включая Excel 2010, финансовая функция СТАВКА выдаёт неверный результат. Какая именно ошибка была допущена при её реализации, нам не известно, но результат будет верный, если перед числом периодов поставить знак минус.

Именно по этой причине мы приводим два решения примера 68 (номер 7 в текущей лекции) на рис. 20. Первое решение выполнено с помощью команды Подбор параметра. Чтобы эта команда выполнялась успешно, предварительно определен интервал, которому принадлежит искомое значение: [0.05; 0.10]. Второе решение использует финансовую функцию СТАВКА. Ещё раз обращаем внимание читателя на то, что перед первым параметром этой функции необходимо поставить знак минус (ячейка B22). Некоторое несовпадение полученный ответов (6.12% и 6.24%) объясняется тем, что при решении соответствующих уравнений использовались различные алгоритмы. Однако решение i = 6.24% более точное.

Список ключевых терминов

приведённая ценность финансовой ренты - это приведённая ценность её наращенной суммы.

Метод линейной интерполяции - метод нахождения приближённых корней уравнения по формуле (7.20).

Краткие итоги

В лекции продолжено рассмотрение приведённой ценности потока денежных платежей. На этот раз поток денежных платежей образует финансовую ренту (равные платежи через равные промежутки времени). Умение оценивать приведённую ценность различных видов финансовых рент необходимо при принятии реальных финансовых решений, в частности, при оформлении кредита и ипотеки. Продолжен обзор возможностей программы Excel для решения рассмотренных в лекции примеров.