Рассмотрим сначала ситуацию, когда изменяются только сроки платежей. При этом возникает законный вопрос, как должны измениться суммы платежей. В данной ситуации это выражается с помощью двух простых формул.
Если срок платежа суммы $$s$$ переносится на $$t$$ периодов вперед, то новая сумма платежа $$S_{1}$$ вычисляется по формуле:
$$S_{1} = S (1+i)^{t}\,\,\, (8.1)$$если срок платежа сокращается на $$t$$ периодов, то новая сумма платежа $$S_{1}$$ вычисляется по формуле:
$$S_{1} = S\,(1+i)^{-t}\,\,\, (8.2)$$Последние две формулы можно объединить в одну, если заметить, что степень, в которую возводится множитель наращения 1+i, равна разности между новым и старым моментами платежа. Обозначим через t старый момент платежа, $$T_1$$ - новый момент платежа. Новая сумма платежа $$S_{1}$$ получается из старой s по формуле:
Рассмотрим пример, при решении которого применяется эта формула.
Пример 69. Предприниматель по договору должен выплатить банку 1 июля 2017 г. 120 000 руб. Банк даёт ссуды под 18% годовых (сложных). В договоре оговорена возможность как досрочного возврата ссуды, так и продления срока ссуды без изменения процента. Вычислим, какую сумму должен предприниматель вернуть в банк, если он решил вернуть долг: а) 1 января 2016 г.; б) 1 января 2018г.
Решение.
Рассмотрим теперь ситуацию объединения (консолидации) платежей: требуется заменить несколько платежей $$S_{1},\ \ldots ,\ S_{k}$$ со сроками выплат $$t_{1},\ \ldots ,\ t_{k},$$ соответственно, одним платежом $$S_{0}$$. При этом могут возникнуть две задачи: определить величину объединённого платежа $$S_{0}$$, если он должен быть сделан в момент времени $$t_{0}$$; определить срок $$t_{0}$$ платежа $$S_{0}$$. Изобразим рассматриваемую ситуацию на оси времени:
Для эквивалентности замены платежей необходимо, чтобы в момент 0 приведённая ценность платежа $$S_{0}$$ была равна сумме приведённых ценностей всех платежей $$S_{1},\ldots S_{k}$$, то есть должно выполняться равенство:
$$S_{0}(1+i)^{-t_{0}}=\sum_{l=1}^{k}S_{l}(1+i)^{-t_{l}}\,\,\, (8.4) $$Если требуется определить величину единого платежа $$S_{0}$$, то из последнего равенства получаем формулу:
$$ S_{0}=(1+i)^{t_{0}}\sum_{l=1}^{k} S_{l}(1+i)^{-t_{l}}\,\,\, (8.5) $$Чтобы определить срок $$t_{0}$$ платежа $$S_{0}$$, решим уравнение (8.3) относительно $$t_{0}$$. Прологарифмируем обе части этого уравнения и, выполнив необходимые преобразования, получим формулу для $$t_{0}$$:
$$ \ln S_{0}(1+i)^{-t_{0}} = \ln\sum_{l=1}^{k}S_{l}(1+i)^{-t_{l}};\\[4pt] \ln S_{0}-t_{0}\ln(1+i) = \ln\sum_{l=1}^{k}S_{l}(1+i)^{-t_{l}}; \\ t_{0}= {\ln S_{0}-\ln\sum\limits_{l=1}^{k}S_{l}(1+i)^{-t_{l}}\over\ln(1+i)}\,\,\, (8.6) $$Важно понимать, что на результат вычислений по формулам (8.5) и (8.6) не может повлиять то, в каких единицах выражены суммы платежей: в рублях, тысячах или миллионах рублей. Необходимо только соблюдать следующее правило: все платежи должны быть выражены в одних и тех же единицах.
Пример 70. По контракту предприниматель должен выплатить поставщику сырья через полгода после поставки 800 00 руб., ещё через полгода - 1 500 000 руб. и ещё через полгода - 1 300 000 руб. Эти платежи решено объединить в один платеж и выплатить весь долг через год после поставки сырья. Вычислим, какую сумму надо выплатить, если на долг начисляется 16% годовых (сложных).
Решение. Чтобы применить формулу (8.5), требуется сначала вычислить моменты платежей (единицей измерения является год): $$t_1 = 0.5,\t_2 = t_1+0.5 =1,\ t_3 =t_2+0.5=1.5$$. Приводя все платежи к моменту времени 0, получаем по этой формуле:
$$ S_0=(1+0.16)^{1}\times\left[\,800\,000(1+0.16)^{-0.5}+ \right.\\[6pt] \left.+ 1\,500\,000(1+0.16)^{-1}+ 1\,300\,000(1+0.16)^{-1.5}\,\right]=\\[6pt] = 3\,568\,646.07\mbox{ руб.} $$Пример 71. Предприниматель из предыдущего примера планирует выплатить долг одним платежом, равным 3 600 000 руб. Определим, в какой момент он должен сделать такой платеж.
Решение. Как было отмечено выше, результат вычислений не зависит от того, в каких единицах выражены суммы платежей. Воспользуемся этим свойством и выразим платежи из условия примера в миллионах рублей. По формуле (8.6) находим значение $$t_{0}$$:
$$ t_{0}={\ln 3.6 -\ln\left(0.8\times 1.16^{-0.5}+1.5\times 1.16^{-1}+1.3\times 1.16^{-1.5}\right)% \over\ln 1.16}=\\[10pt] =1.06\mbox{ года}=1\mbox{ год } 22\mbox{ дня.} $$Следовательно, суммы 3.6 млн руб. хватит, чтобы погасить долг не позднее чем через 1 год 22 дня после поставки сырья.
В практике финансовых операций распространена сделка, которая называется продажей контракта. Она заключается в следующем. Некоторый субъект (или организация) имеет на руках контракт, по которому он должен получить с другого субъекта определённые суммы денег в определённые сроки. Владелец контракта желает получить деньги немедленно и для этого продаёт его банку (или другому лицу), который будет получать деньги по контракту в будущем. Сколько следует заплатить за этот контракт? Из принципа эквивалентности получаем, что за контракт следует заплатить его приведённую ценность в момент покупки. Рассмотрим пример.
Пример 72. Фермер купил у совхоза сарай, заключив контракт, по которому обязуется заплатить 100 000 руб. через год и ещё через год - 300 000 руб. Совхоз, нуждаясь в деньгах, хочет продать этот контракт финансовой организации, которая согласна его купить при условии начисления на свои деньги процентов по ставке $$j_{4}=16\%$$. Сколько должна заплатить компания совхозу за этот контракт?
Решение. Так как по условию примера проценты начисляются по ставке $$j_{4}$$, то процентный период равен кварталу. Изобразим условия контракта на оси времени: в году содержится 4 периода, а в 2 годах - 8 периодов. Ценность контракта в момент 0 обозначена через x:
Организации следует заплатить за контракт его ценность в момент 0, следовательно, должно выполняться равенство:
$$x=\frac{100\,000}{(1+i)^{4}}+\frac{300\,000}{(1+i)^{8}}\,.$$Подставим в него $$i=0.16/4=0.04$$ и найдем значение x:
Рассмотрим пример продажи и изменения условий контракта, связанный с финансовой рентой.
Пример 73. Строительная фирма продала коттедж, заключив контракт, по которому покупатель обязался выплачивать ежеквартально по 100 000 руб. в течение 5 лет. Хозяин фирмы, нуждаясь в деньгах, продаёт этот контракт банку, который получает на ссуженные деньги проценты по ставке $$j_{4}=20\%$$. Какую сумму заплатит банк хозяину фирмы за данный контракт?
Решение. Платежи по контракту можно рассматривать как ренту, состоящую из 20 платежей по 100 000 руб. каждый. За эту ренту банк должен заплатить её приведённую ценность. Эту ценность можно вычислить по формуле из лекции 7 при $$R=100\,000,n=20, i=j_{4}/4=20\%/4=5\%$$:
$$ PV=Ra_{n;\,i}=100\,000\,a_{20;\,5\%}. $$Подставляя в последнюю формулу $$a_{20;\,5\%}=12.4622$$, получаем:
$$ PV=100\,000\times 12.4622=1\,246\,220\mbox{ руб.} $$Таким образом, хозяин строительной фирмы, продавая контракт, теряет сумму, равную
$$ 2\,000\,000-1\,246\,220=753\,780\mbox{ руб.}, $$но при этом он получает деньги немедленно. Банк, покупая контракт, получит доход, равный той же сумме.
При покупке некоторого товара покупатель может заключить с продавцом контракт, включающий различные условия авансовой оплаты, получения кредита и сроков поставки товара. Чтобы выбрать наиболее выгодный для себя контракт, покупатель должен сравнить приведенные ценности возможных контрактов и найти контракт с наименьшей приведённой ценностью. Чтобы определить приведённую ценность платежей, необходимо принять какую-либо ставку сравнения, то есть ставку сложных процентов i, по которой будет производиться дисконтирование этих платежей. В теории корпоративных финансов рассматриваются различные подходы к выбору этой ставки. Рассмотрение этого вопроса выходит за рамки нашей книги.
При покупке товара покупатель делает платежи двух видов. Во-первых, это авансовые платежи $$P_{t}$$, которые он выплачивает за купленный товар в моменты времени t (считая от момента заключения контракта) до поставки товара. Приведённая ценность этих платежей на момент заключения контракта вычисляется по формуле:
Во-вторых, это платежи по погашению кредита, равного разности между ценой товара C и суммой авансовых платежей:
Приведённая ценность этих платежей зависит от условий погашения кредита. Пусть по контракту за кредит продавец получает g% годовых. Срок кредита (годы), который обычно отсчитывается от момента окончания поставки товара, обозначим через N. Рассмотрим два наиболее часто встречающихся случая:
Приведённая ценность этой суммы на момент заключения контракта вычисляется по формуле:
$$PV''=(C-\sum_{t} P_{t})\left(1+g\right)^{N}\left(1+i\right)^{-(T+N)},$$где t - срок поставки товара.
Приведённая ценность PV всех платежей по контракту на момент его заключения вычисляется по формуле:
$$ PV=\sum_{t} P_{t}(1+i)^{-t}+(C-\sum_{t} P_{t})(1+g)^{N}\left(1+i\right)^{-(T+N)} $$R по выплате кредита вычисляется по формуле:
$$R={C-\sum\limits_{t} P_{t}\over a_{N;\,g}}\,\,\, (8.7)$$
Последовательность срочных уплат представляет собой ренту, состоящую из N платежей, равных R каждый. Приведённая ценность этой ренты в момент t по формуле из лекции 7 равна $$R\,a_{N;\,i}$$. Приведённая ценность этой суммы в момент заключения контракта равна $$R\,a_{N;\,i}\,(1+i)^{-T}$$. Следовательно, приведённая ценность всех платежей по контракту на момент его заключения вычисляется по формуле:
Рассмотрим пример на сравнение контрактов.
Пример 74. Сравним следующие два контракта при ставке сравнения $$i=10%$$.
1-й контракт: Цена товара равна 20 млн руб. Делается три авансовых платежа по 3 ~млн руб. каждый: первый - в момент заключения контракта, второй - через год, третий - ещё через год. Поставка товара производится сразу после авансовых платежей. Кредит предоставляется на 3 года, считая от момента поставки товара, под 15% годовых и погашается разовым платежом в конце срока кредита.
2-й контракт: Цена товара равна 181 млн руб. В момент заключения контракта делается один авансовый платеж, равный 5 млн руб. Поставка производится в момент заключения контракта. Кредит выдаётся на 5 лет под 15% годовых с погашением равными ежегодными уплатами.
Решение. Сравним приведенные ценности этих контрактов при i=10%. Для 1-го контракта $$PV_{1}$$ вычисляем по формуле (8.7) при $$C=20~млн руб., t_{1}=0, t_{2}=1, t_{3}=2, T=2, N=3,g=15\%, P_{1}=P_{2}=P_{3}=3\mbox{ млн руб.}$$ :
Приведённую ценность 2-го контракта $$PV_{2}$$ вычисляем по формуле (8.8) при $$C=18\mbox{ млн руб.}, t_{1}=0, P_{1}=5, T=0, N=5, g=15\%$$:
$$ PV_{2}=5(1+i)^{0}+(18-5)\,{a_{5;\,10\%}\over a_{5;\,15\%}}\,(1+i)^{0}=19.701 \mbox{~млн.\ руб.} $$Первый контракт более выгоден покупателю, чем второй, но он может предпочесть второй, так как поставка товара по нему производится немедленно, а по первому контракту - с отсрочкой на два года.
Рассмотрим теперь способы измерения доходности финансово-кредитной операции для другого участника контракта - кредитора.
Доход от выдачи кредита кредитор получает в виде процентов от выданной ссуды, комиссионных, дисконта при учёте векселей и т.п. Доходность операции обычно измеряется годовой ставкой сложных (реже - простых) процентов, когда все вложения и доходы рассматриваются как эквивалентная им ссудная операция. (Однако иногда применяются и другие показатели доходности.) Эту ставку (см. лекцию 3) называют эффективной процентной ставкой. Будем обозначать её $$i_e$$. Рассмотрим, как определяется доходность некоторых финансовых операций.
P выдана под ставку процентов $$j_{m}$$ сроком на n лет с удержанием комиссионных в размере G% от суммы ссуды. Это означает, что заёмщик получает на руки $$(P-PG)$$ и должен вернуть через n лет, согласно формуле из лекции 3, сумму, равную $$P(1+j_{m}/m)^{mn}$$. Кредитор вычисляет доходность операции, исходя из условия: наращенная сумма (на реально выданную сумму) при эффективной ставке процентов $$(P-PG)(1+i_e)^{n}$$ равна возвращаемой заёмщиком через n лет сумме $$P(1+j_{m}/m)^{mn}$$. Доходность операции $$i_e$$ определяется из уравнения:
$$
(P-PG)(1+i_e)^{n}=P\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{nm}.
$$
Сократив на P и разделив обе части уравнения на 1-G, получим уравнение:
откуда получаем формулу для вычисления $$i_e$$:
$$ i_e={\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{m}\over\sqrt[n]{1-G}}-1\,\,\, (8.9) $$Рассмотрим пример на применение формулы (8.9).
Пример 75. Ссуда выдаётся на 5 лет под проценты по ставке $$j_{4}=12\%$$. Определить доходность этой операции при следующих условиях: а) комиссионные не взимаются; б) удерживаются комиссионные в размере 1% от суммы ссуды; в) удерживаются комиссионные в размере 1% от суммы ссуды и срок ссуды увеличен до 6 лет.
Решение.
Отметим, что взимание комиссионных увеличивает эффективность сделки для кредитора, а увеличение срока ссуды уменьшает её эффективность
s за n лет до срока его оплаты по простой учётной ставке $$d_s\,$$, удерживая при этом G% комиссионных от выплачиваемой за вексель суммы $$P=S(1-nd_s)$$ . Это означает, что фактически банк выплачивает сумму, равную $$(P-PG)$$. Через n лет банк получает по векселю сумму $$S=P/(1-nd_s)$$. Эта сумма должна быть равна сумме $$(P-PG)(1+i_e)^{n},$$ которая является суммой, наращенной на реальную плату за вексель, если на эту сумму начисляется $$i_e\%$$ годовых. Приравнивая эти суммы, получаем уравнение для определения эффективности сделки $$i_e$$:
$$
(P-PG)(1+i_e)^{n}={P\over 1-nd_s}\,.
$$
Решив это уравнение относительно $$i_e$$, получаем формулу:
$$ i_e={1\over\sqrt[n]{(1-nd_s)(1-G)}}-1\,\,\, (8.10) $$Пример 76. Банк учитывает вексель за 3 месяца до срока его оплаты по простой учётной ставке $$d_s=15\%$$. Определить доходность этой операции при следующих условиях: а) комиссионные не взимаются; б) удерживаются комиссионные в размере 1% от суммы, выплачиваемой за вексель; в) удерживаются комиссионные в размере 1% от суммы, выплачиваемой за вексель, и период времени до оплаты векселя - 6 месяцев.
Решение.
Мы видим, что взимание комиссионных повышает доходность операции учёта для банка, а увеличение срока до момента оплаты векселя её уменьшает.
Характерной чертой товарного рынка последнего десятилетия является рост потребительского кредита. В кредит можно купить квартиру (ипотека), машину,
мебель, бытовую технику, компьютеры и т.д. Так как, как правило, выплаты производятся p раз в году равными суммами R, то эти суммы являются членами p-срочной ренты. Приведённая ценность этой ренты при условии, что она выплачивается под $$i_e$$ процентов по формуле из лекции 7, равна $$R\;a_{n;\,i_e}^{(p)}\,$$.
С 1 июля 2014 г. в Российской федерации вступила в силу новая редакция закона "О потребительском кредите (займе)". По новым правилам кредитные и финансовые организации обязаны раскрывать и доводить до сведения клиентов полную стоимость кредита, в которую включаются сумма основного долга, проценты за пользование кредитом, иные обязательные платежи. Отметим только, что банки (по требованию Центробанка) должны были знакомить клиентов с данной информацией и до принятия нового закона.
Для покупателя основной характеристикой кредита был и остаётся процент $$i_e$$, под который этот кредит предоставляется. Однако, в ряде случаев, продающая организация не указывает этот процент, а сообщает только величину ежемесячного платежа R, их количество n и сумму первоначального взноса, если таковой имеется.
Естественно искать доходность кредита для продавца (эффективная ставка сложных процентов $$i_e$$) из условия равенства приведённой ценности ренты, которую получит продавец, и величины долга покупателя Q. Следовательно, имеем равенство:
$$ R\;a_{n;\,i_e}^{(p)}=Q. $$Разделив обе части этого равенства на R, получаем уравнение для определения значения $$i_e$$:
Пример, который рассматривается далее, описывает ситуацию, которая имела место до принятия нового закона, но порой встречается и после его принятия.
Пример 77. Летом 2003 г. пассажиры метро в Санкт Петербурге могли ознакомиться с рекламой фирмы "Кей", которая предлагала купить в кредит компьютер на следующих условиях: первоначальный взнос равен 1 800 руб. и составляет 20% стоимости компьютера, а далее необходимо платить по 770 руб. в течение 12 месяцев. Вычислим процент, под который предоставлялся кредит на покупку компьютера.
(рис 21) Пример на вычисление процента по кредиту
Решение. Используя приведенные в рекламе данные вычисляем, что полная стоимость компьютера составляет $$9\,000\mbox{ руб. }(=1\,800/0.2)$$. Следовательно, покупатель в течение года должен погасить долг Q, равный $$7\,200\mbox{ руб. }(=9\,000 - 1\,800)$$.
Можно не решать уравнение(8.11), а воспользоваться в Excel встроенной финансовой функцией СТАВКА. Напомним, что эта функция имеет три обязательных аргумента: количество платежей, величина платежа и сумма долга. Фрагмент рабочего листа, на котором выполнены необходимые вычисления, приведен на рис.21.
Обращаем внимание читателя на два следующих момента при использовании этой функции. Во-первых, перед вторым аргументом (величина платежа, ячейка B6) стоит знак минус (отток денежных средств). Во-вторых, значением функции СТАВКА является процент, начисляемый за период, что в рассматриваемой ситуации соответствует проценту за месяц. Поэтому для получения эквивалентного годового процента $$i_e$$ полученный результат умножается на 12. Таким образом, мы вычислили, что кредит на покупку компьютера предоставлялся под 48.76% (годовых).
Чтобы решить, стоит ли воспользоваться кредитом под такой процент, следует проанализировать другие варианты получения кредита или займа в размере 7 200 руб. Для информации сообщим только, что Северо-Западный банк Сбербанка РФ тогда предоставлял кредит (в рублях) на покупку потребительских товаров под 19%
При потребительском кредите погашение долга обычно выполняется равными платежами. Следовательно, каждый следующий платеж (по сравнению с предыдущим) включает большую сумму погашения долга и меньшую сумму выплачиваемых процентов. Последнее объясняется тем, что, так как сумма долга уменьшается, то уменьшается и сумма выплачиваемых процентов. А так как сумма ежемесячного платежа не изменяется, то сумма погашаемого долга увеличивается.
(рис 22) План погашения из примера 77
Покажем, как изменяются суммы выплачиваемых процентов и долга в примере 77. На рис. 22 приведен фрагмент рабочего листа, содержащий план погашения долга за купленный компьютер. По этой таблице мы можем, например, определить, что через 6 месяцев величина долга будет равна 4 028 руб.
Даже если организация, предоставляющая кредит, явно указывает процент, под который он предоставляется, нельзя сразу сказать, является ли этот процент реальным. Это связано с тем, что существуют различные методы определения платежей по кредиту. Остановим только на одном из них - методе равномерной выплаты процентов.
При методе равномерной выплаты процентов проценты начисляются сразу на всю сумму долга за весь срок кредита. Размер выплаты по кредиту вычисляется как результат деления суммы величины кредита и процентов на количество выплат. При таком подходе (выгодном для кредитора) не учитывается, что величина долга уменьшается после каждого платежа, поэтому реальный процент, под который предоставляется кредит, будет существенно выше. Вернёмся к примеру с покупкой компьютера и вычислим, каким будет процент i, если величина платежа рассчитывалась методом равномерной выплаты процентов:
Это означает, что за год в качестве процентов выплачивается сумма, равная 2 040 руб. ($$= 7\,200\times 0.2833$$). При этом из каждой выплаты 170 руб. составляют проценты, а 600 руб. идет на погашение долга.
Вернёмся к примеру 77 и вычислим процент по кредиту другим, более универсальным способом. Для решения задач, сводящихся к нахождению корня уравнения, в {\sf Excel} имеется универсальная команда Поиск решения (вкладка Данные). С её помощью, в частности, можно выполнить подбор значения параметра (в рассматриваемом случае это процент $$i_e$$), при котором значение некоторого выражения (левая часть формулы (8.11)) равно заданному числу ($$Q/R= 9.3506$$).
(рис 23) Окно команды Поиск решения
Важное замечание. \textit{Мы демонстрируем решение примера \ref{ex:cnew} с помощью универсальной команды Поиск решения. Но уже давно в Excel существует другой способ решения подобных примеров - команда Подбор параметра. Чтобы добраться до неё, следует открыть вкладку вкладка Данные, в группе команд Работа с данными открыть Анализ "что если" и в открывшемся списке выбрать Подбор параметра.
Активация команды Поиск решения (щелчок левой клавишей мыши или нажатие клавиши Ввод) приводит к появлению диалогового окна этой команды (рис. 23). В этом окне необходимо заполнить только три поля: адрес ячейки, в которой записана формула, вычисляющая значение исследуемого выражения (B16); значение, которое должно быть получено (9.3506 ); адрес ячейки с изменяемым значением параметра (B17). Так как формула выражения (ячейка B16) содержит деление на параметр $$i_e$$, то перед выполнением команды в ячейку B17 следует записать любое значение, отличное от нуля (например, 6%).
Результаты выполнения команды Поиск решения сообщаются программой Excel в информационном окне Результаты поиска решения. Это окно содержит информацию о том, найдено или нет решение. Фрагмент рабочего листа после успешного завершения команды Поиск решения приведен на рис. 21. Полученное значение процента совпало с тем, которое было вычислено с помощью встроенной функции СТАВКА.
Обращаем внимание читателя на то, что команда Поиск решения не всегда может найти значение параметра, удовлетворяющее заданному условию (корень уравнения). В таком случае в окне Результаты поиска решения появится сообщение о том, что решение не найдено. Иногда это связано с тем, что такого значения, действительно, не существует. Если же вы уверены, что такое значение параметра существует, то следует заменить начальное значение параметра в изменяемой ячейке (на более близкое к решению) и повторно выполнить команду.
Ещё одно замечание по поводу команды Поиск решения. Если существует несколько значений параметра, при которых выражение принимает заданное значение, то будет найдено то значение параметра, которое находится ближе к его начальному значению. Однако подобная ситуация, скорее всего, не встретится при решении примеров из этих лекций.
Следует помнить, что команда Поиск решения может подобрать значение только одного параметра, при котором выражение принимает заданное значение. Если требуется, например, определить допустимый вариант срока кредита и процента по нему при заданных размерах долга и платежа, то можно также использовать команду Поиск решения (потребуется заполнить другие поля диалогового окна команды). Учитывая широкий класс возможностей этой команды, её часто называют не командой, а надстройкой.
Продажа контракта - процедура изменения владельца контракта, выполняемая на основе принципа эквивалентности контрактов.
Стоимостью привлечения средств (стоимостью кредита) называют такую ставку сложных процентов i, при которой приведённая ценность всех расходов организации, выпускающей заем (в расчёте на одну облигацию), равна продажной цене облигации.
Эквивалентность контрактов - совпадение приведённых к некоторому моменту сумм платежей по исходному и новому контрактам.
В лекции рассмотрены операции, связанные с финансовыми контрактами. Основные их них это изменение условий контракта, продажа контракта, выбор контракта покупателем или продавцом. Предполагается, что эти операции выполняются с соблюдением принципа эквивалентности контрактов. Продолжен обзор возможностей программы Excel для решения рассмотренных в лекции примеров. Обсуждается применение команды Поиск решения.
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.