Элементы финансовой математики

Финансовые ренты

Разбить на страницы
Показывать лекцию целиком

6.1 Основные определения

Финансовой рентой называется последовательность платежей, равных по величине и производящихся через равные промежутки времени.

Временной интервал между последовательными выплатами называется периодом ренты. Чаще всего встречаются ренты, период которых равен году, половине года, кварталу или месяцу. Срок от начала первого до конца последнего периода называется сроком ренты. Если последний период не указывается (срок ренты бесконечный), то рента называется бессрочной.

Ренты бывают условные и безусловные. Безусловная рента имеет фиксированный срок, а срок условной ренты зависит от наступления некоторого события. Платежи по ипотеке или потребительскому кредиту являются безусловной рентой, а пенсия - условной рентой. В этой лекции рассматриваются только безусловные ренты.

Если выплаты производятся в конце периода, то рента называется обычной или постнумерандо, если выплаты производятся в начале периода, то рента называется авансированной или пренумерандо.

6.2 Функция коэффициентов для финансовой ренты

При выводе формул, связанных с финансовыми рентами, мы будем неоднократно применять формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии. Напомним, что геометрической прогрессией называется последовательность чисел $$b_i\, (i\ge 1)$$, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q, которое называется знаменателем прогрессии:

$$b_{i+1}=q\,b_i,\ i\,=\,1,\,2,\ldots$$

Сумма $$S_n$$ первых n членов геометрической прогрессии, у которой $$q\ne1$$, вычисляется по формуле:

$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}\,\,\, (6.1)$$

Рассмотрим обычную ренту, состоящую из n платежей, например, вкладов в банк. Обозначим через R величину рентного платежа. Предположим, что в конце каждого периода на все сделанные до этого момента платежи начисляются сложные проценты по ставке i. Изобразим такую ренту на оси времени:

Выведем формулу вычисления наращенной суммы рентных платежей к концу периода n, которую будем обозначать через S.

Платеж, сделанный в момент n, входит в наращенную сумму S без изменения, то есть в размере R. Сумма, наращенная к моменту n на платеж, сделанный в момент n-1, равна R(1+i) . Сумма, наращенная к моменту n на платеж, сделанный в момент n-2, равна $$R(1+i)^{2}$$ и т.д. Сумма, наращенная к моменту n на платеж, сделанный в момент 2, равна $$R(1+i)^{n-2}$$. Сумма, наращенная к моменту n на платеж, сделанный в момент 1, равна $$R(1+i)^{n-1}.$$

Следовательно, наращенная сумма всей ренты в момент n будет равна:

$$S=R+R(1+i)+R(1+i)^{2}+\ldots+R(1+i)^{n-2}+R(1+i)^{n-1}.$$

Слагаемые этой суммы являются членами геометрической прогрессии, первый член которой $$b_1=R$$, знаменатель q=1+i. По формуле (45) находим сумму первых n членов этой геометрической прогрессии:

$$ S=\frac{b_{1}(q^{n}-1)}{q-1}=\frac{R[(1+i)^{n}-1]}{1+i-1}= R\,\frac{(1+i)^{n}-1}{i}\,. $$

Для коэффициента, на который умножается R в получившейся формуле, принято использовать следующее обозначение:

$$ s_{n;\,i}=\frac{(1+i)^{n}-1}{i}\,\,\, (6.2) $$

Тогда наращенная сумма финансовой ренты выражается формулой:

$$ S=Rs_{n;\,i}\,\,\, (6.3) $$

Из формулы (6.3) видно, что значение функции $$s_{n;\,i}$$- это наращенная за n периодов сумма финансовой ренты с платежами, равными 1. Ранее, когда компьютеры еще не были так распространены, для выполнения расчётов по формуле (использовались специальные таблицы значений функции $$s_{n;\,i}$$. Теперь для вычисления значений этой функции можно использовать финансовый калькулятор или программу Excel. Заметим, что функция $$s_{n;\,i}$$ не входит в число встроенных финансовых функций Excel. Но это легко исправить, так как нетрудно написать свою функцию, выполняющую вычисления по формуле (46), на VBA.

Рассмотрим два примера на применение формулы (6.3).

Пример 54. Фирма создаёт фонд помощи ветеранам труда, вкладывая ежегодно 250 000 руб. в банк, выплачивающий 8% годовых (сложных). Какая сумма будет на счёте фонда через 5 лет?

Решение. Вклады в банк образуют простую ренту (далее просто ренту), для которой R=250 000 руб., n=5, i=8%. Вычисляем наращенную сумму ренты по формуле(6.3), подставляя в нее $$s_{5;\,8\%}=5.8666:$$

$$ S=250\,000\times s_{5;\,8\%}=250\,000\times5.8666 = 1\,466\,650.25\mbox{ руб.} $$

Пример 55. Предприниматель вкладывает 10 000 руб. в конце каждого месяца в банк, выплачивающий проценты по ставке $$j_{12}=9\%$$. Какую сумму он накопит за 2 года?

Решение. Вклады в банк, которые делает предприниматель, образуют финансовую ренту, в которой R=10 000, n=24, (2 года по 12 месяцев), i=0.09/12=0.0075. Находим наращенную сумму ренты по формуле (47), подставляя в неё $$s_{24;\,0.75\%}=26.1885$$

$$ S=10\,000s_{24;\,0.75\%}\,= 10\,000\times 26.1885=261\,884.71\mbox{ руб.}$$

Сделаем важное замечание, касающееся авансированных рент, когда платежи делаются в начале периода. Наращенная сумма авансированной ренты выражается формулой:

$$ S=R\,(1+i)\,s_{n;\,i}\,\,\, (6.4) $$

Действительно, вместе с авансированной рентой можно рассмотреть обычную ренту с тем же множеством платежей, которая начинается на один период раньше. Наращенные суммы этих рент в момент n должны совпадать, поэтому получаем формулу (6.4). Подобные несложные изменения потребуется выполнять и в остальных формулах, приведенных в этой лекции, если применять их для авансированных рент.

6.3 Основные виды финансовых рент

До настоящего момента в этой лекции рассматривались только обычные (или постнумерандо) ренты с начислением процентов один раз в конце периода. Однако на практике встречаются финансовые ренты с различными правилами выполнения платежей и начисления процентов. Рассмотрим некоторые из них и выведем для них формулы вычисления наращенной суммы S, аналогичные формуле (6.3).

6.3.1 Ренты с начислением процентов в конце года

Годовая рента

Так называется рента, в которой платеж, равный R, выплачивается в конце каждого года, и в конце каждого года на накопленную сумму начисляются сложные проценты по ставке i. Наращенная за n лет сумма S и величина платежа R рассчитываются по формуле (6.3).

p-срочная рента

Так называется рента, при которой p раз в год через равные промежутки времени производятся платежи, равные R/p. На накопленную сумму в конце каждого года начисляются сложные проценты по годовой ставке i. Изобразим такую ренту на оси времени:

Всего за n~лет будет сделано np платежей. Выведем формулу, выражающую наращенную к моменту n сумму этой ренты, в предположении, что проценты за любой период начисляются по формуле сложных процентов.

Последний платеж входит в наращенную сумму без изменения, то есть в размере R/p. На предпоследний платеж по годовой ставке i начисляются сложные проценты за период, равный 1/p части года, следовательно, в момент~n наращенная на этот платеж сумма будет равна

$$\frac Rp\,(1+i)^{\frac 1p}.$$

Сумма, наращенная к моменту n на второй от конца платеж, будет равна

$$\frac Rp\,(1+i)^{\frac 2p}.$$

Сумма, наращенная к моменту n на первый платеж, будет равна

$$\frac Rp\,(1+i)^{\frac{np-1}{p}},$$

так как на него начисляются сложные проценты np-1 раз по годовой ставке i каждый раз за период, равный 1/p части года. (Можно рассуждать и иначе: так как

$$\frac{np-1}{p}=n-\frac{1}{p}\,,$$

то на сделанный в момент 1 платеж к моменту~n начисляются сложные проценты по годовой ставке i за период, равный n-1/p годам.)

Наращенная за n лет сумма всей ренты равна:

$$ S=\frac{R}{p}+\frac{R}{p}(1+i)^{{1\over p}}+\frac{R}{p}(1+i)^{{2\over p}}+\ldots+ \frac{R}{p}(1+i)^{\frac{np-1}{p}}. $$

Слагаемые этой суммы являются членами геометрической прогрессии с первым членом $$b_{1}=R/p$$ и знаменателем $$q=(1+i)^{\frac 1p}$$. Число членов этой прогрессии равно $$k=np$$. По формуле (45), суммы первых k членов геометрической прогрессии, находим S:

$$ S=\frac{b_{1}(q^{k}-1)}{q-1}=\frac{R}{p}\times\frac{{\left((1+i)^{{1\over p}}\right)}^{np}-1}% {(1+i)^{{1\over p}}-1} =R\,\frac{(1+i)^{n}-1}{p[(1+i)^{{1\over p}}-1]} $$

Введем обозначение:

$$s_{n;\,i}^{(p)}=\frac{(1+i)^{n}-1}{p[\left(1+i\right)^{{1\over p}}-1]}\,\,\, (6.5)$$

Тогда наращенная сумма p-срочной ренты равна:

$$ S=Rs_{n;\,i}^{(p)}\,\,\, (6.6) $$

Коэффициент $$s_{n;\,i}^{(p)} $$ можно представить в виде произведения:

$$s_{n;\,i}^{(p)}=s_{n;\,i}\,K_{p;\,i}\,\,\, (6.7)$$

где

$$K_{p;\,i}=\frac{i}{p[\left(1+i\right)^{{1\over p}}-1]}\,. $$

Когда-то для выполнения расчетов по формуле (50) использовались специальные таблицы значений функций $$s_{n;\,i}$$ и $$K_{p;\,i}\,$$. Теперь для вычисления значений этих функций можно использовать финансовый калькулятор или программу Excel. Однако самым удобным и полезным является создание своей функции на VBA. При этом нет смысла представлять функцию $$s_{n;\,i}^{(p)} $$ в виде произведения (как в формуле (51), а следует реализовывать вычисления по формуле (6.6).

Рассмотрим пример на вычисление наращенной суммы ренты по формуле (6.7). Он отличается от примера 54 только тем, что годовой платеж разбивается на два равных платежа.

Пример 56. Фирма для создания фонда помощи ветеранам труда вкладывает два раза в год по 125 000 руб. в банк, выплачивающий 8% годовых. Какая сумма будет на счёте фонда через 5 лет?

Решение. Вклады в банк образуют 2-срочную ренту, для которой R=250 000 руб., n=5, i=8%. Вычисляем наращенную сумму ренты по формуле (6.7), подставляя в нее $$s_{5;\,8\%}^{(2)}=5.9817:$$

$$ S=250\,000\times s_{5;\,8\%}^{(2)}= 250\,000\times 5.9817 = 1\,495\,418.91\mbox{ руб.} $$

Сравнивая ответ, полученный в примере 56, с ответом примера 54, находим, что разбиение годовой суммы на два равных платежа привело к увеличению наращенной суммы ренты на 28 768.66 руб.

На практике крайне редко, но встречаются ренты с периодом больше года, в которых платеж, равный $$R_{r}$$, выполняется один раз в R~лет (>1). В лекции мы не будем рассматривать вывод формул для такой ренты.

6.3.2 Ренты с начислением процентов m раз в год

Годовая рента

В этом случае платеж R выполняется в конце каждого года, а проценты начисляются m раз в год по ставке $$j_{m}$$, то есть каждый раз начисляется $$j_{m}/m\%$$. Изобразим такую ренту на оси времени:

Вычислим наращенную к моменту n сумму этой ренты.

Последний платеж входит в наращенную сумму без изменения. Предпоследний платеж делается за 1 год до момента n, и на него начисляются сложные проценты m раз по ставке $$j_{m}$$, то есть наращенная на этот платеж сумма в момент n будет равна

$$R\left(1+\frac{j_m}{m}\right)^m\,.$$

Третий от конца платеж делается за 2 года до момента n, и наращенная на этот платеж сумма в момент n будет равна $$R\left(1+\frac{j_m}{m}\right)^{2m}\,.$$ Первый платеж делается за n-1 год до момента n, следовательно, в момент n наращенная на него сумма будет равна

$$R\left(1+\frac{j_m}{m}\right)^{(n-1)m}\,.$$

Для вычисления наращенной суммы платежей мы применяли формулу из лекции 3. Наращенная сумма ренты состоит из наращенных сумм платежей:

$$ S=R+R\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{m}+R\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{2m} +\ldots+R\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{(n-1)m}. $$

Слагаемые этой суммы являются членами геометрической прогрессии с первым членом $$b_{1}=R$$, знаменателем $$q=(1+j_{m}/m)^{m}$$ и числом членов k=n. Применим формулу (6.3) и получим:

$$ S=\frac{b_{1}(q^{n}-1)}{q-1}=% \frac{R\left[{\left(\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{m}\right)}^{n}-1\right]}% {\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{m}-1}=% R\,\frac{\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{mn}-1}% {\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{m}-1} $$

Разделив числитель и знаменатель последней дроби на $$j_{m}/m$$ и применив обозначение из формулы (6.4), получим:

$$ {\displaystyle S=R\,\frac{{\displaystyle\frac{\left(1+\frac{j_m}{m}\right)^{mn}-1}{\frac{j_m}{m}}}}% {{\displaystyle\frac{\left(1+\frac{j_{m}}{m}\right)^{m}-1}{\frac{j_{m}}{m}}}} \,=\,R\,\frac{s_{mn;\,\frac{j_{m}}{m}}}{s_{m;\,\frac{j_{m}}{m}}}\,\,\, (6.8)} $$

Рассмотрим пример на вычисление наращенной суммы ренты по формуле (6.8). Он отличается от примера 54 только тем, что банк начисляет проценты 4 раза в год.

Пример 57. Фирма для создания фонда помощи ветеранам труда вкладывает в конце каждого года по 250 000 руб. в банк, выплачивающий проценты по ставке $$j_{4}=8\%$$. Какая сумма будет на счёте фонда через 5 лет?

Решение. Вклады в банк образуют ренту, для которой R=250 000 руб., m=4, $$nm=5\times4=20$$, $$j_{4}/m=8/4=2\,\%$$. Вычисляем наращенную сумму ренты по формуле (6.8), подставляя в нее $$s_{20;\,2\%}=24.2974, s_{4;\,2\%}=4.1216 :$$

$$ S=250\,000\times \displaystyle\frac {s_{20;\,2\%}}{s_{4;\,2\%}}\, =250\,000\times \frac {24.2974}{4.1216}\,=\, 1\,473\,779.79\mbox{ руб.} $$

Сравнивая ответ, полученный в примере 57, с ответом примера 54, находим, что начисление банком процентов 4 раза в год привело к увеличению наращенной суммы ренты на 7 129.54 руб.

p-срочная рента

В этом случае платежи производятся p раз каждый год через равные промежутки времени. Каждый платеж равен R/p. Проценты начисляются mраз в год по ставке $$j_m$$, то есть процент за один период равен $$j_m/m\%$$. На оси времени эту ренту можно изобразить так же, как в п. 6.3.1. Найдем наращенную сумму этой ренты в момент n.

На последний платеж проценты не начисляются, и он входит в наращенную сумму без изменения, то есть в размере R/p. На предпоследний платеж начисляются проценты по ставке $$j_{m}$$ за период, равный 1/p части года, и наращенная к моменту n на этот платеж сумма равна

$$\frac Rp\left(1+\frac{j_{m}}m\right)^{\frac mp}$$

На второй с конца платеж начисляются проценты по ставке $$j_{m}$$ за период, равный 2/p части года, и наращенная к моменту n на этот платеж сумма равна

$$\frac Rp\left(1+\frac{j_{m}}m\right)^{\frac {2m}p}\,.$$

Последний платеж делается за $$n-{1\over p}$$ лет до момента n, то есть наращенная в момент n на этот платеж сумма равна:

$$\frac Rp\left(1+\frac{j_{m}}m\right)^{m(n-\frac 1p)}$$

Вся наращенная на ренту сумма равна:

$$ S=\frac{R}{p}+\frac{R}{p}\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{{m\over p}}\!+ \frac{R}{p}\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{{2m\over p}}\!+ \ldots+\frac{R}{p}\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{m\left(n-{1\over p}\right)}% \!\!\!. $$

Слагаемые этой суммы являются членами геометрической прогрессии с первым членом $$b_{1}=R/p\,$$, знаменателем

$$q=\left(1+\frac{j_{m}}m\right)^{\frac mp}$$

и числом членов k=np. Эта сумма равна:

$$\begin{eqnarray*} S = \frac{b_{1}(q^{k}-1)}{q-1}=\frac{R}{p}\times \frac{{\left(\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{{m\over p}}\right)}^{np}-1}% {\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{{m\over p}}-1}=\\[4pt] = \frac{R}{p}\times\frac{\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{mn}-1}% {\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{{m\over p}}-1} \end{eqnarray*}$$

Разделив числитель и знаменатель последней дроби на $$j_{m}/m$$, получим формулы:

$$\begin{eqnarray} S=\frac{R}{p}% \times \frac{{\displaystyle\frac{\left(1+\frac{j_m}{m}\right)^{mn}-1}{\frac{j_m}{m}}}}% {{\displaystyle\frac{\left(1+\frac{j_{m}}{m}\right)^{\frac mp}-1}{\frac{j_{m}}{m}}}} \,.\nonumber \end{eqnarray}$$

Заметим, что функция $$s_{n;\,i}$$ была определена при выводе формулы (6.2) только для целых значений n (n - число членов ренты). Так как значения m/p могут быть нецелыми, будем считать теперь, что эта функция определена при любых положительных значениях n. Теперь мы можем переписать последнее равенство в более компактном виде:

$$S=\frac{R}{p}\times \frac{s_{mn;\,{j_{m}\over m}}}{s_{{m\over p};\,{j_{m}\over m}}}}\,\,\, (6.9)$$

Рассмотрим пример на вычисление наращенной суммы ренты по формуле (6.9). Он отличается от примера 57 только тем, что годовая сумма денег, которую фирма кладет на счет в банк, разбивается на два равных платежа.

Пример 58. Фирма для создания фонда помощи ветеранам труда вкладывает два раза в год по 125 000 руб. в банк, выплачивающий проценты по ставке $$j_{4}=8\%$$. Какая сумма будет на счете фонда через 5 лет?

Решение. Вклады в банк образуют ренту, для которой R=250 000 руб. , m=4, $$nm=5\times4=20, m/p=4/2=2$$,

$$j_{4}/m=8/4=2\,\%$$

Вычисляем наращенную сумму ренты по формуле (6.9), подставляя в нее $$s_{20;\,2\%}=24.2974,$$

$$s_{2;\,2\%}=2.0200: S=125\,000\times \displaystyle\frac {s_{20;\,2\%}}{s_{2;\,2\%}}\,=\, 125\,000\times \frac {24.2974}{2.0200}\,=\, 1\,503\,550.08\mbox{ руб.} $$

Сравнивая ответ, полученный в примере 58, с ответом примера 57, находим, что разбиение годовой суммы на два равных платежа привело к увеличению наращенной суммы ренты на 29 770.29 руб.

В учебнике [5] рассмотрен также частный случай p-срочной ренты при p=m. В этом случае формула (6.9) может быть упрощена и принимает вид:

$$ S=\frac{R}{m}\, s_{mn;\,{j_{m}\over m}}\,\,\, (6.10) $$

В финансовых моделях используются также ренты с непрерывным начислением процентов - годовые, p-срочные и с периодом больше года. Формулы для наращенных сумм таких рент похожи для уже рассмотренных в этой лекции. В случае годовой ренты имеет место формула:

$$ S=R\,\frac{e^{\delta n}-1}{e^{\delta}-1}\,\,\, (6.11) $$

а для p-срочной ренты имеет место формула:

$$ S=\frac{R}{p}\times\frac{e^{\delta n}-1}{e^{\frac{\delta}{p}}-1}\,\,\, (6.12) $$

6.4 Бессрочная рента

По количеству членов ренты делят на конечные или ограниченные по срокам и бесконечные или бессрочные, вечные. Бессрочная рента (далее мы будем использовать именно этот термин), или перпетуитет - это рента, выплаты которой не ограничены никаким сроком. Иначе говоря, число членов такой ренты бесконечно. Приведём пример бессрочной ренты. Некоторое благотворительное общество положило в банк определенную сумму денег и перечисляет ежегодно проценты, начисляемые на эту сумму, в пользу детского дома. Количество платежей, которые получит детский дом, ограничено только сроком существования банка, в котором размещены деньги. Следовательно, если пренебречь возможностью разорения банка, эти платежи образуют бессрочную ренту.

Обычно считается, что рента является бессрочной, если количество платежей её весьма велико и их прекращение не оговаривается конкретной датой. Как бессрочную ренту можно рассматривать выплату фиксированных купонных платежей по облигационным займам с большим сроком действия. Заметим, что выпуск вечных облигаций (или бондов) популярен и в наши дни у правительств разных стран. В феврале 2005 г. Франция разместила 50-летние облигации, спрос на которые в 3 раза превысил предложение. В этом же году Нидерланды разместили 30-летние облигации. А в феврале 2006 г. Минфин США выпустил 30-летние облигации на сумму 14 млрд, спрос на них более чем в 2 раза превысил предложение. В России впервые вечные облигации выпустил банк ВТБ (2012 г.). В этом же году Газпромбанк также выпустил вечные облигации.

Классификация бессрочных рент по способам начисления процентов и срокам выполнения платежей (обычные и авансированные) полностью совпадает с классификацией конечных рент. Для бессрочной ренты верны все приведенные в этой главе формулы, если применять эти формулы для определения наращенной суммы бессрочной ренты за n периодов. Не так будет обстоять дело при оценивании приведённой ценности ренты, которую мы будем рассматривать в следующей главе.

6.5 Вычисление платежей финансовой ренты

Из всех выведенных в этой лекции формул для вычисления наращенных сумм ренты S легко получить формулы для определения рентных платежей R. Приведем пример.

Формула (47) устанавливает зависимость между четырьмя величинами: R, n, i, S. Следовательно, фиксировав значения трех из этих величин, получаем уравнение для определения четвертой. В том случае, если известны значения n, i и S, а требуется определить величину платежа R, то из формулы (6.3) получаем равенство:

$$ R={S\over s_{n;\,i}}\,\,\, (6.13) $$

Рассмотрим пример на применение формулы (6.13).

Пример 59. Сын хочет накопить за 5 лет 500 000 руб. к юбилею матери, делая ежегодные равные вклады в банк, который выплачивает проценты по годовой ставке $$i=9.5%$$(сложных). Какую сумму ему придется вкладывать каждый год?

Решение. По условию задачи имеем: S=500 000, n=5, i=0.095. Любым из предложенных ранее способов можно вычислить, что $$s_{5;\,9.5\%}=6.0446$$. По формуле (6.13) получаем:

$$R={500\,000\over 6.0446}=82\,718.20\mbox{ руб.} $$

Следовательно, в конце каждого года сын должен вкладывать в банк 82 718.20 руб.

6.6 Погашение долгосрочной задолженности единовременным платежом}

Рассмотрим следующую ситуацию. Должник взял ссуду, равную S~руб., которую он должен вернуть через n~лет одним платежом. Ежегодно до момента погашения ссуды он должен выплачивать кредитору проценты по ставке q. Одновременно с получением ссуды должник создает погасительный (амортизационный или страховой) фонд, в который делает в конце каждого года равные взносы с целью накопить к моменту возвращения долга сумму~S. На деньги, находящиеся в фонде, должник получает i% в год. Требуется определить, так называемую, срочную уплату $$\alpha$$, то есть суммарные ежегодные выплаты должника за использование ссуды.

Срочная уплата состоит из выплачиваемых за долг процентов, которые равны Sq, и взноса в страховой фонд, который мы обозначим через R. Взносы R образуют обычную годовую ренту, состоящую из n-членов, наращенная сумма которой в момент n должна быть равна S. По формуле (6.13) $$R=S/s_{n;i}$$. Следовательно, срочная уплата равна:

$$\alpha=Sq+{S\over s_{n;\,i}}\,\,\, (6.14)$$

Рассмотрим пример на применение формулы (6.14).

Пример 60. Кредит в 1 млн руб. получен фирмой в банке под 13% годовых на 4 года. Одновременно с получением кредита для его погашения создан страховой фонд, в который делаются равные ежегодные взносы. На деньги, внесенные в фонд, выплачиваются 5% годовых. Найдем ежегодную срочную уплату по долгу.

Решение. По формуле (6.14) при S=1 000 000, q=0.13, n=4, i=0.05 находим величину срочной уплаты, предварительно вычислив, что $$s_{4;\,5\%}=4.3101:$$

$$\alpha=1\,000\,000\times 0.13+{1\,000\,000\over 4.3101}=362\,011.84\mbox{ руб.} $$

При других условиях начисления процентов страховым фондом будут возникать иные виды рент и потребуется использовать соотвествующие им формулы.

Погашение долгосрочной задолженности несколькими платежами будет рассмотрено в следующей лекции.

6.7 Используем Excel

Как следует из материала, изложенного ранее в этой лекции, количественный анализ рент сводится к вычислению следующих их характеристик:

  • приведенная ценность потока платежей,
  • будущая величина потока платежей,
  • величина отдельного платежа,
  • норма доходности (процентная ставка),
  • количество периодов проведения платежей./
    •

    Все эти характеристики, за исключением приведённой ценности, связывает зависимость, выражающаяся в простейшем случае, когда платежи и начисления процентов выполняются один раз в конце каждого периода, формулами (6.2) и (6.3):

    $$S=Rs_{n;\,i},\quad s_{n;\,i}=\frac{(1+i)^{n}-1}{i}$$

    Ранее в этой лекции на примерах было показано, как, зная значения величин R, n и i, вычислить наращенную сумму ренты S, или, зная значения величин S, n и i, вычислить величину платежа R. Не представляет труда записать приведенные решения примеров на рабочих листах Excel. Ещё раз отметим, что эти решения станут существенно компактней и наглядней, если создать на VBA две функции, которые мы назвали AnnCoeff и AnnPCoeff. Функция AnnCoeff реализует функцию $$s_{n;\,i}$$, а AnnPCoeff - функцию $$s_{n;\,i}^{(p)} $$:

    $$ s_{n;\,i}=\frac{(1+i)^{n}-1}{i}\,,\ \ % s_{n;\,i}^{(p)}=\frac{(1+i)^{n}-1}{p[\left(1+i\right)^{{1\over p}}-1]} $$

    Приведём тексты этих функций (листинг 6.1). Для читателей, хоть немного знакомых с программированием на VBA, не составит труда включить их в свой модуль и использовать при решении примеров и заданий из лекций. Всех остальных отсылаем к приложению Б в учебнике [5], в котором подробно объяснено, как это сделать. 

    Function AnnCoeff(n As Integer, i As Single) As Single
 AnnCoeff = ((1 + i) ^ n - 1) / i
End Function

Function AnnPCoeff(n As Integer, i As Single, p As Integer) _
 As Single
 AnnPCoeff = ((1 + i) ^ n - 1) / p / ((1 + i) ^ (1 / p) - 1)
End Function
    (рис 16) Пример на вычисление наращенной суммы ренты

    На рис. 16 приведен фрагмент рабочего листа с решением примера 4. В решении дважды используется функция AnnCoeff (ячейки C11 и C12).

    Если известны значения величин R, S и n, а требуется вычислить, какая ставка процента i применялась, то прямую формулу для вычисления значения i написать невозможно, так как i является корнем уравнения степени n. Простейший выход в этом случае - использовать встроенную функция СТАВКА.

    В том случае, если известны значения величин R, S и i, а требуется вычислить, сколько периодов n проводились платежи, можно вывести необходимую формулу. В простейшем случае, когда платежи и начисления процентов выполняются один раз в конце каждого периода, из формул (6.2) и (6.3) получим формулу:

    $$n= \frac{\ln(1+\displaystyle{\frac{S}{R}}\,i)}{\ln(1+i)}$$

    Однако в этой ситуации имеется другая возможность для вычисления количества периодов n - воспользоваться имеющейся для этого в Excel встроенной финансовой функцией КПЕР. Но прежде чем привести пример с использованием этой функции, сообщим общую информацию о встроенных в Excel финансовых функциях, предназначенный для анализа потока платежей.

    В Excel имеется девять встроенных функций для вычисления характеристик потока платежей. Эти функции, как и большинство финансовых функций в Excel, содержатся в Пакете анализа, поэтому перед выполнением примеров и упражнений из этой лекции проверьте, установлен ли этот пакет установлен на вашем компьютере.Если Excel установлен в полном объеме, то Пакет анализа всегда доступен.

    В пакете Excel в связи с реализацией набора финансовых функций выделено небольшое количество базовых понятий, которым присвоены имена, по возможности отражающие их содержание. В принципе в локализованной версии MS Office (а мы предполагаем, что читатель работает в русской версии) должны работать как английские, так и локальные наименования. Однако по нашему опыту это не всегда выполнено строго, поэтому рекомендуем использовать русские имена, а также учесть, что, в отличие от весьма стабильных наименований в английской версии, имена в русификации постоянно меняются от одного поколения продукта к другому (напомним, что мы в этих лекциях ориентируемся на MS Office 2010). Например, функция, вычисляющая процентную ставку ренты, в MS Office 2000 называлась НОРМА, тогда как, начиная с MS Office 2003, она превратилась в функцию СТАВКА, оставаясь, по-прежнему, RATE в базовом англоязычном пакете. Начнём с перечисления названий аргументов финансовых функций в той терминологии, которая использована в справочной системе MS Office 2010. Для удобства читателя соберем эти термины в следующей таблице:

    Аргумент Назначение
    ставка процентная ставка
    кол_пер количество периодов проведения операции
    период порядковый номер периода (от 0 до кол_пер)
    платеж величина периодического платежа
    нач_сум начальная сумма
    буд_ст будущая стоимость
    тип тип начисления процентов (1 - начало, 0 - конец периода

    Приведем теперь таблицу, в которой содержатся имена функций (в русифицированной и англоязычной версиях) анализа регулярных потоков, их аргументы и вычисляемые величины:

    Функция Аргумент Вычисляемая величина
    БС FV (ставка;кол_пер;платеж[;нач_сум][;тип]) будущая величина потока
    КПЕР NPER (ставка;платеж;нач_сум[;буд_ст][;тип]) количество выплат
    СТАВКА RATE (кол_пер;платеж;нач_сум[;буд_ст][;тип]) процентная ставка
    ПЛТ PMT (кол_пер;платеж;нач_сум[;буд_ст][;тип]) величина периодического платежа
    ПС PV (ставка;кол_пер;платеж;[;буд_ст][;тип]) современная ценность потока платежей
    ПРОЦПЛАТ IPMT (ставка;период;кол_пер;нач_сум;буд_ст[;тип]) выплата по процентам в указанный период
    ОСПЛТ PPMT (ставка;период;кол_пер;нач_сум;буд_ст;[;тип]) величина основного платежа в указанный период
    ОБЩПЛАТ CUMIPT (ставка;период;кол_пер;нач_сум;нач_пер;кон_пер;буд_ст;тип) сумма накопленных процентов
    ОБЩДОХОД CUMPRINC (ставка;кол_пер;нач_сум;нач_пер;кон_пер;буд_ст;тип) накопленная сумма погашенного долга
    (рис 17) Вычисления с использованием функции БС

    На рис.17 приведен фрагмент рабочего листа с решением примера 54 с использованием встроенной функции БС и функции AnnCoeff. Как видно на рисунке, результаты вычислений совпадают с ранее вычисленными.

    Как было отмечено выше, с помощью встроенных функций можно выполнить вычисления в ситуациях, когда отсутствуют формулы для прямого счета. Примером такой ситуации является необходимость определения срока погашения долга, взятого на определенных условиях. Рассмотрим конкретный пример.

    Пример 61 Г-н Сидоров получил ссуду в размере 100 000 руб. под 8% годовых и согласен выплачивать ежемесячно по 2 000 руб. в счёт её погашения. Сколько месяцев потребуется для выплаты всей суммы ссуды?

    Решение. В приведённой выше таблице находим функцию КПЕР, которая определяет необходимое для погашения ссуды количество выплат. Введем в любую ячейку формулу:

    =КПЕР(8\%/12;-2000;100000)

    и определим, что для выплаты ссуды потребуется 61 месяц. Для того чтобы иметь возможность решать этот пример с другими данными (например, может измениться процент, под который предоставляется ссуда), следует использовать в формуле в качестве параметров не числа, а относительные адреса.

    (рис 18) Пример на определение количества платежей

    На рис.18 приведен фрагмент рабочего листа с решением примера 61.

    Сделаем некоторые замечания, касающиеся применения функции КПЕР. Аргумент платеж может оказаться слишком мал, чтобы можно было вернуть ссуду. В этом случае в ячейке с формулой появится сообщение об ошибке: # ЧИСЛО!. Для возврата ссуды необходимо, чтобы ежемесячные выплаты были больше соответствующей процентной ставки, умноженной на полную величину ссуды. В рассмотренном примере величина ежемесячных выплат должна быть больше 666 руб.

    Обратим внимание читателя на важное правило, которое касается аргументов функций, являющихся суммами денег. Оно касается всех функций из приведённой выше таблицы.

    Если некоторый аргумент функции является платежом (расходом), то он должен иметь отрицательное значение. Например, в формуле в ячейке B14 (рис.17) знак минус поставлен перед аргументом из ячейки B6 (величина платежа). Знак минус можно указывать либо в ячейках с данными, либо в формуле перед соответствующими аргументами.

    Если значением формулы является величина платежа, то это значение также выдаётся со знаком минус. На экране монитора в этом случае и число, и знак минус перед ним выделяются красным цветом.

    Список ключевых терминов

    Аннуитет - синоним финансовой ренты при страховании жизни.

    Поток денежных платежей - несколько денежных платежей следующих друг за другом.

    Период ренты - временной интервал между последовательными выплатами финансовой ренты.

    Перпетуитет - бессрочная рента, выплаты которой не ограничены никаким сроком.

    Сроком ренты - срок от начала первого до конца последнего периода ренты.

    Финансовая рента - последовательность платежей, равных по величине и производящихся через равные промежутки времени.

    Краткие итоги

    В лекции рассмотрены финансовые ренты. Обсуждаются основные виды финансовых рент и их использование в повседневной практике денежных расчётов потребительский кредит, ипотека, купонные платежи по облигациям и т.п.). В рассмотренных в тексте примерах используется информация актуальная в июле-августе 2016 г. Продолжен обзор возможностей программы Excel для решения рассмотренных в курсе примеров.

    Страницы:

    6.1 Основные определения

    Финансовой рентой называется последовательность платежей, равных по величине и производящихся через равные промежутки времени.

    Временной интервал между последовательными выплатами называется периодом ренты. Чаще всего встречаются ренты, период которых равен году, половине года, кварталу или месяцу. Срок от начала первого до конца последнего периода называется сроком ренты. Если последний период не указывается (срок ренты бесконечный), то рента называется бессрочной.

    Ренты бывают условные и безусловные. Безусловная рента имеет фиксированный срок, а срок условной ренты зависит от наступления некоторого события. Платежи по ипотеке или потребительскому кредиту являются безусловной рентой, а пенсия - условной рентой. В этой лекции рассматриваются только безусловные ренты.

    Если выплаты производятся в конце периода, то рента называется обычной или постнумерандо, если выплаты производятся в начале периода, то рента называется авансированной или пренумерандо.

    6.2 Функция коэффициентов для финансовой ренты

    При выводе формул, связанных с финансовыми рентами, мы будем неоднократно применять формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии. Напомним, что геометрической прогрессией называется последовательность чисел $$b_i\, (i\ge 1)$$, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q, которое называется знаменателем прогрессии:

    $$b_{i+1}=q\,b_i,\ i\,=\,1,\,2,\ldots$$

    Сумма $$S_n$$ первых n членов геометрической прогрессии, у которой $$q\ne1$$, вычисляется по формуле:

    $$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}\,\,\, (6.1)$$

    Рассмотрим обычную ренту, состоящую из n платежей, например, вкладов в банк. Обозначим через R величину рентного платежа. Предположим, что в конце каждого периода на все сделанные до этого момента платежи начисляются сложные проценты по ставке i. Изобразим такую ренту на оси времени:

    Выведем формулу вычисления наращенной суммы рентных платежей к концу периода n, которую будем обозначать через S.

    Платеж, сделанный в момент n, входит в наращенную сумму S без изменения, то есть в размере R. Сумма, наращенная к моменту n на платеж, сделанный в момент n-1, равна R(1+i) . Сумма, наращенная к моменту n на платеж, сделанный в момент n-2, равна $$R(1+i)^{2}$$ и т.д. Сумма, наращенная к моменту n на платеж, сделанный в момент 2, равна $$R(1+i)^{n-2}$$. Сумма, наращенная к моменту n на платеж, сделанный в момент 1, равна $$R(1+i)^{n-1}.$$

    Следовательно, наращенная сумма всей ренты в момент n будет равна:

    $$S=R+R(1+i)+R(1+i)^{2}+\ldots+R(1+i)^{n-2}+R(1+i)^{n-1}.$$

    Слагаемые этой суммы являются членами геометрической прогрессии, первый член которой $$b_1=R$$, знаменатель q=1+i. По формуле (45) находим сумму первых n членов этой геометрической прогрессии:

    $$ S=\frac{b_{1}(q^{n}-1)}{q-1}=\frac{R[(1+i)^{n}-1]}{1+i-1}= R\,\frac{(1+i)^{n}-1}{i}\,. $$

    Для коэффициента, на который умножается R в получившейся формуле, принято использовать следующее обозначение:

    $$ s_{n;\,i}=\frac{(1+i)^{n}-1}{i}\,\,\, (6.2) $$

    Тогда наращенная сумма финансовой ренты выражается формулой:

    $$ S=Rs_{n;\,i}\,\,\, (6.3) $$

    Из формулы (6.3) видно, что значение функции $$s_{n;\,i}$$- это наращенная за n периодов сумма финансовой ренты с платежами, равными 1. Ранее, когда компьютеры еще не были так распространены, для выполнения расчётов по формуле (использовались специальные таблицы значений функции $$s_{n;\,i}$$. Теперь для вычисления значений этой функции можно использовать финансовый калькулятор или программу Excel. Заметим, что функция $$s_{n;\,i}$$ не входит в число встроенных финансовых функций Excel. Но это легко исправить, так как нетрудно написать свою функцию, выполняющую вычисления по формуле (46), на VBA.

    Рассмотрим два примера на применение формулы (6.3).

    Пример 54. Фирма создаёт фонд помощи ветеранам труда, вкладывая ежегодно 250 000 руб. в банк, выплачивающий 8% годовых (сложных). Какая сумма будет на счёте фонда через 5 лет?

    Решение. Вклады в банк образуют простую ренту (далее просто ренту), для которой R=250 000 руб., n=5, i=8%. Вычисляем наращенную сумму ренты по формуле(6.3), подставляя в нее $$s_{5;\,8\%}=5.8666:$$

    $$ S=250\,000\times s_{5;\,8\%}=250\,000\times5.8666 = 1\,466\,650.25\mbox{ руб.} $$

    Пример 55. Предприниматель вкладывает 10 000 руб. в конце каждого месяца в банк, выплачивающий проценты по ставке $$j_{12}=9\%$$. Какую сумму он накопит за 2 года?

    Решение. Вклады в банк, которые делает предприниматель, образуют финансовую ренту, в которой R=10 000, n=24, (2 года по 12 месяцев), i=0.09/12=0.0075. Находим наращенную сумму ренты по формуле (47), подставляя в неё $$s_{24;\,0.75\%}=26.1885$$

    $$ S=10\,000s_{24;\,0.75\%}\,= 10\,000\times 26.1885=261\,884.71\mbox{ руб.}$$

    Сделаем важное замечание, касающееся авансированных рент, когда платежи делаются в начале периода. Наращенная сумма авансированной ренты выражается формулой:

    $$ S=R\,(1+i)\,s_{n;\,i}\,\,\, (6.4) $$

    Действительно, вместе с авансированной рентой можно рассмотреть обычную ренту с тем же множеством платежей, которая начинается на один период раньше. Наращенные суммы этих рент в момент n должны совпадать, поэтому получаем формулу (6.4). Подобные несложные изменения потребуется выполнять и в остальных формулах, приведенных в этой лекции, если применять их для авансированных рент.

    6.3 Основные виды финансовых рент

    До настоящего момента в этой лекции рассматривались только обычные (или постнумерандо) ренты с начислением процентов один раз в конце периода. Однако на практике встречаются финансовые ренты с различными правилами выполнения платежей и начисления процентов. Рассмотрим некоторые из них и выведем для них формулы вычисления наращенной суммы S, аналогичные формуле (6.3).

    6.3.1 Ренты с начислением процентов в конце года

    Годовая рента

    Так называется рента, в которой платеж, равный R, выплачивается в конце каждого года, и в конце каждого года на накопленную сумму начисляются сложные проценты по ставке i. Наращенная за n лет сумма S и величина платежа R рассчитываются по формуле (6.3).

    p-срочная рента

    Так называется рента, при которой p раз в год через равные промежутки времени производятся платежи, равные R/p. На накопленную сумму в конце каждого года начисляются сложные проценты по годовой ставке i. Изобразим такую ренту на оси времени:

    Всего за n~лет будет сделано np платежей. Выведем формулу, выражающую наращенную к моменту n сумму этой ренты, в предположении, что проценты за любой период начисляются по формуле сложных процентов.

    Последний платеж входит в наращенную сумму без изменения, то есть в размере R/p. На предпоследний платеж по годовой ставке i начисляются сложные проценты за период, равный 1/p части года, следовательно, в момент~n наращенная на этот платеж сумма будет равна

    $$\frac Rp\,(1+i)^{\frac 1p}.$$

    Сумма, наращенная к моменту n на второй от конца платеж, будет равна

    $$\frac Rp\,(1+i)^{\frac 2p}.$$

    Сумма, наращенная к моменту n на первый платеж, будет равна

    $$\frac Rp\,(1+i)^{\frac{np-1}{p}},$$

    так как на него начисляются сложные проценты np-1 раз по годовой ставке i каждый раз за период, равный 1/p части года. (Можно рассуждать и иначе: так как

    $$\frac{np-1}{p}=n-\frac{1}{p}\,,$$

    то на сделанный в момент 1 платеж к моменту~n начисляются сложные проценты по годовой ставке i за период, равный n-1/p годам.)

    Наращенная за n лет сумма всей ренты равна:

    $$ S=\frac{R}{p}+\frac{R}{p}(1+i)^{{1\over p}}+\frac{R}{p}(1+i)^{{2\over p}}+\ldots+ \frac{R}{p}(1+i)^{\frac{np-1}{p}}. $$

    Слагаемые этой суммы являются членами геометрической прогрессии с первым членом $$b_{1}=R/p$$ и знаменателем $$q=(1+i)^{\frac 1p}$$. Число членов этой прогрессии равно $$k=np$$. По формуле (45), суммы первых k членов геометрической прогрессии, находим S:

    $$ S=\frac{b_{1}(q^{k}-1)}{q-1}=\frac{R}{p}\times\frac{{\left((1+i)^{{1\over p}}\right)}^{np}-1}% {(1+i)^{{1\over p}}-1} =R\,\frac{(1+i)^{n}-1}{p[(1+i)^{{1\over p}}-1]} $$

    Введем обозначение:

    $$s_{n;\,i}^{(p)}=\frac{(1+i)^{n}-1}{p[\left(1+i\right)^{{1\over p}}-1]}\,\,\, (6.5)$$

    Тогда наращенная сумма p-срочной ренты равна:

    $$ S=Rs_{n;\,i}^{(p)}\,\,\, (6.6) $$

    Коэффициент $$s_{n;\,i}^{(p)} $$ можно представить в виде произведения:

    $$s_{n;\,i}^{(p)}=s_{n;\,i}\,K_{p;\,i}\,\,\, (6.7)$$

    где

    $$K_{p;\,i}=\frac{i}{p[\left(1+i\right)^{{1\over p}}-1]}\,. $$

    Когда-то для выполнения расчетов по формуле (50) использовались специальные таблицы значений функций $$s_{n;\,i}$$ и $$K_{p;\,i}\,$$. Теперь для вычисления значений этих функций можно использовать финансовый калькулятор или программу Excel. Однако самым удобным и полезным является создание своей функции на VBA. При этом нет смысла представлять функцию $$s_{n;\,i}^{(p)} $$ в виде произведения (как в формуле (51), а следует реализовывать вычисления по формуле (6.6).

    Рассмотрим пример на вычисление наращенной суммы ренты по формуле (6.7). Он отличается от примера 54 только тем, что годовой платеж разбивается на два равных платежа.

    Пример 56. Фирма для создания фонда помощи ветеранам труда вкладывает два раза в год по 125 000 руб. в банк, выплачивающий 8% годовых. Какая сумма будет на счёте фонда через 5 лет?

    Решение. Вклады в банк образуют 2-срочную ренту, для которой R=250 000 руб., n=5, i=8%. Вычисляем наращенную сумму ренты по формуле (6.7), подставляя в нее $$s_{5;\,8\%}^{(2)}=5.9817:$$

    $$ S=250\,000\times s_{5;\,8\%}^{(2)}= 250\,000\times 5.9817 = 1\,495\,418.91\mbox{ руб.} $$

    Сравнивая ответ, полученный в примере 56, с ответом примера 54, находим, что разбиение годовой суммы на два равных платежа привело к увеличению наращенной суммы ренты на 28 768.66 руб.

    На практике крайне редко, но встречаются ренты с периодом больше года, в которых платеж, равный $$R_{r}$$, выполняется один раз в R~лет (>1). В лекции мы не будем рассматривать вывод формул для такой ренты.

    6.3.2 Ренты с начислением процентов m раз в год

    Годовая рента

    В этом случае платеж R выполняется в конце каждого года, а проценты начисляются m раз в год по ставке $$j_{m}$$, то есть каждый раз начисляется $$j_{m}/m\%$$. Изобразим такую ренту на оси времени:

    Вычислим наращенную к моменту n сумму этой ренты.

    Последний платеж входит в наращенную сумму без изменения. Предпоследний платеж делается за 1 год до момента n, и на него начисляются сложные проценты m раз по ставке $$j_{m}$$, то есть наращенная на этот платеж сумма в момент n будет равна

    $$R\left(1+\frac{j_m}{m}\right)^m\,.$$

    Третий от конца платеж делается за 2 года до момента n, и наращенная на этот платеж сумма в момент n будет равна $$R\left(1+\frac{j_m}{m}\right)^{2m}\,.$$ Первый платеж делается за n-1 год до момента n, следовательно, в момент n наращенная на него сумма будет равна

    $$R\left(1+\frac{j_m}{m}\right)^{(n-1)m}\,.$$

    Для вычисления наращенной суммы платежей мы применяли формулу из лекции 3. Наращенная сумма ренты состоит из наращенных сумм платежей:

    $$ S=R+R\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{m}+R\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{2m} +\ldots+R\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{(n-1)m}. $$

    Слагаемые этой суммы являются членами геометрической прогрессии с первым членом $$b_{1}=R$$, знаменателем $$q=(1+j_{m}/m)^{m}$$ и числом членов k=n. Применим формулу (6.3) и получим:

    $$ S=\frac{b_{1}(q^{n}-1)}{q-1}=% \frac{R\left[{\left(\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{m}\right)}^{n}-1\right]}% {\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{m}-1}=% R\,\frac{\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{mn}-1}% {\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{m}-1} $$

    Разделив числитель и знаменатель последней дроби на $$j_{m}/m$$ и применив обозначение из формулы (6.4), получим:

    $$ {\displaystyle S=R\,\frac{{\displaystyle\frac{\left(1+\frac{j_m}{m}\right)^{mn}-1}{\frac{j_m}{m}}}}% {{\displaystyle\frac{\left(1+\frac{j_{m}}{m}\right)^{m}-1}{\frac{j_{m}}{m}}}} \,=\,R\,\frac{s_{mn;\,\frac{j_{m}}{m}}}{s_{m;\,\frac{j_{m}}{m}}}\,\,\, (6.8)} $$

    Рассмотрим пример на вычисление наращенной суммы ренты по формуле (6.8). Он отличается от примера 54 только тем, что банк начисляет проценты 4 раза в год.

    Пример 57. Фирма для создания фонда помощи ветеранам труда вкладывает в конце каждого года по 250 000 руб. в банк, выплачивающий проценты по ставке $$j_{4}=8\%$$. Какая сумма будет на счёте фонда через 5 лет?

    Решение. Вклады в банк образуют ренту, для которой R=250 000 руб., m=4, $$nm=5\times4=20$$, $$j_{4}/m=8/4=2\,\%$$. Вычисляем наращенную сумму ренты по формуле (6.8), подставляя в нее $$s_{20;\,2\%}=24.2974, s_{4;\,2\%}=4.1216 :$$

    $$ S=250\,000\times \displaystyle\frac {s_{20;\,2\%}}{s_{4;\,2\%}}\, =250\,000\times \frac {24.2974}{4.1216}\,=\, 1\,473\,779.79\mbox{ руб.} $$

    Сравнивая ответ, полученный в примере 57, с ответом примера 54, находим, что начисление банком процентов 4 раза в год привело к увеличению наращенной суммы ренты на 7 129.54 руб.

    p-срочная рента

    В этом случае платежи производятся p раз каждый год через равные промежутки времени. Каждый платеж равен R/p. Проценты начисляются mраз в год по ставке $$j_m$$, то есть процент за один период равен $$j_m/m\%$$. На оси времени эту ренту можно изобразить так же, как в п. 6.3.1. Найдем наращенную сумму этой ренты в момент n.

    На последний платеж проценты не начисляются, и он входит в наращенную сумму без изменения, то есть в размере R/p. На предпоследний платеж начисляются проценты по ставке $$j_{m}$$ за период, равный 1/p части года, и наращенная к моменту n на этот платеж сумма равна

    $$\frac Rp\left(1+\frac{j_{m}}m\right)^{\frac mp}$$

    На второй с конца платеж начисляются проценты по ставке $$j_{m}$$ за период, равный 2/p части года, и наращенная к моменту n на этот платеж сумма равна

    $$\frac Rp\left(1+\frac{j_{m}}m\right)^{\frac {2m}p}\,.$$

    Последний платеж делается за $$n-{1\over p}$$ лет до момента n, то есть наращенная в момент n на этот платеж сумма равна:

    $$\frac Rp\left(1+\frac{j_{m}}m\right)^{m(n-\frac 1p)}$$

    Вся наращенная на ренту сумма равна:

    $$ S=\frac{R}{p}+\frac{R}{p}\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{{m\over p}}\!+ \frac{R}{p}\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{{2m\over p}}\!+ \ldots+\frac{R}{p}\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{m\left(n-{1\over p}\right)}% \!\!\!. $$

    Слагаемые этой суммы являются членами геометрической прогрессии с первым членом $$b_{1}=R/p\,$$, знаменателем

    $$q=\left(1+\frac{j_{m}}m\right)^{\frac mp}$$

    и числом членов k=np. Эта сумма равна:

    $$\begin{eqnarray*} S = \frac{b_{1}(q^{k}-1)}{q-1}=\frac{R}{p}\times \frac{{\left(\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{{m\over p}}\right)}^{np}-1}% {\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{{m\over p}}-1}=\\[4pt] = \frac{R}{p}\times\frac{\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{mn}-1}% {\left(1+{j_{m}\over m}\right)^{{m\over p}}-1} \end{eqnarray*}$$

    Разделив числитель и знаменатель последней дроби на $$j_{m}/m$$, получим формулы:

    $$\begin{eqnarray} S=\frac{R}{p}% \times \frac{{\displaystyle\frac{\left(1+\frac{j_m}{m}\right)^{mn}-1}{\frac{j_m}{m}}}}% {{\displaystyle\frac{\left(1+\frac{j_{m}}{m}\right)^{\frac mp}-1}{\frac{j_{m}}{m}}}} \,.\nonumber \end{eqnarray}$$

    Заметим, что функция $$s_{n;\,i}$$ была определена при выводе формулы (6.2) только для целых значений n (n - число членов ренты). Так как значения m/p могут быть нецелыми, будем считать теперь, что эта функция определена при любых положительных значениях n. Теперь мы можем переписать последнее равенство в более компактном виде:

    $$S=\frac{R}{p}\times \frac{s_{mn;\,{j_{m}\over m}}}{s_{{m\over p};\,{j_{m}\over m}}}}\,\,\, (6.9)$$

    Рассмотрим пример на вычисление наращенной суммы ренты по формуле (6.9). Он отличается от примера 57 только тем, что годовая сумма денег, которую фирма кладет на счет в банк, разбивается на два равных платежа.

    Пример 58. Фирма для создания фонда помощи ветеранам труда вкладывает два раза в год по 125 000 руб. в банк, выплачивающий проценты по ставке $$j_{4}=8\%$$. Какая сумма будет на счете фонда через 5 лет?

    Решение. Вклады в банк образуют ренту, для которой R=250 000 руб. , m=4, $$nm=5\times4=20, m/p=4/2=2$$,

    $$j_{4}/m=8/4=2\,\%$$

    Вычисляем наращенную сумму ренты по формуле (6.9), подставляя в нее $$s_{20;\,2\%}=24.2974,$$

    $$s_{2;\,2\%}=2.0200: S=125\,000\times \displaystyle\frac {s_{20;\,2\%}}{s_{2;\,2\%}}\,=\, 125\,000\times \frac {24.2974}{2.0200}\,=\, 1\,503\,550.08\mbox{ руб.} $$

    Сравнивая ответ, полученный в примере 58, с ответом примера 57, находим, что разбиение годовой суммы на два равных платежа привело к увеличению наращенной суммы ренты на 29 770.29 руб.

    В учебнике [5] рассмотрен также частный случай p-срочной ренты при p=m. В этом случае формула (6.9) может быть упрощена и принимает вид:

    $$ S=\frac{R}{m}\, s_{mn;\,{j_{m}\over m}}\,\,\, (6.10) $$

    В финансовых моделях используются также ренты с непрерывным начислением процентов - годовые, p-срочные и с периодом больше года. Формулы для наращенных сумм таких рент похожи для уже рассмотренных в этой лекции. В случае годовой ренты имеет место формула:

    $$ S=R\,\frac{e^{\delta n}-1}{e^{\delta}-1}\,\,\, (6.11) $$

    а для p-срочной ренты имеет место формула:

    $$ S=\frac{R}{p}\times\frac{e^{\delta n}-1}{e^{\frac{\delta}{p}}-1}\,\,\, (6.12) $$

    6.4 Бессрочная рента

    По количеству членов ренты делят на конечные или ограниченные по срокам и бесконечные или бессрочные, вечные. Бессрочная рента (далее мы будем использовать именно этот термин), или перпетуитет - это рента, выплаты которой не ограничены никаким сроком. Иначе говоря, число членов такой ренты бесконечно. Приведём пример бессрочной ренты. Некоторое благотворительное общество положило в банк определенную сумму денег и перечисляет ежегодно проценты, начисляемые на эту сумму, в пользу детского дома. Количество платежей, которые получит детский дом, ограничено только сроком существования банка, в котором размещены деньги. Следовательно, если пренебречь возможностью разорения банка, эти платежи образуют бессрочную ренту.

    Обычно считается, что рента является бессрочной, если количество платежей её весьма велико и их прекращение не оговаривается конкретной датой. Как бессрочную ренту можно рассматривать выплату фиксированных купонных платежей по облигационным займам с большим сроком действия. Заметим, что выпуск вечных облигаций (или бондов) популярен и в наши дни у правительств разных стран. В феврале 2005 г. Франция разместила 50-летние облигации, спрос на которые в 3 раза превысил предложение. В этом же году Нидерланды разместили 30-летние облигации. А в феврале 2006 г. Минфин США выпустил 30-летние облигации на сумму 14 млрд, спрос на них более чем в 2 раза превысил предложение. В России впервые вечные облигации выпустил банк ВТБ (2012 г.). В этом же году Газпромбанк также выпустил вечные облигации.

    Классификация бессрочных рент по способам начисления процентов и срокам выполнения платежей (обычные и авансированные) полностью совпадает с классификацией конечных рент. Для бессрочной ренты верны все приведенные в этой главе формулы, если применять эти формулы для определения наращенной суммы бессрочной ренты за n периодов. Не так будет обстоять дело при оценивании приведённой ценности ренты, которую мы будем рассматривать в следующей главе.

    6.5 Вычисление платежей финансовой ренты

    Из всех выведенных в этой лекции формул для вычисления наращенных сумм ренты S легко получить формулы для определения рентных платежей R. Приведем пример.

    Формула (47) устанавливает зависимость между четырьмя величинами: R, n, i, S. Следовательно, фиксировав значения трех из этих величин, получаем уравнение для определения четвертой. В том случае, если известны значения n, i и S, а требуется определить величину платежа R, то из формулы (6.3) получаем равенство:

    $$ R={S\over s_{n;\,i}}\,\,\, (6.13) $$

    Рассмотрим пример на применение формулы (6.13).

    Пример 59. Сын хочет накопить за 5 лет 500 000 руб. к юбилею матери, делая ежегодные равные вклады в банк, который выплачивает проценты по годовой ставке $$i=9.5%$$(сложных). Какую сумму ему придется вкладывать каждый год?

    Решение. По условию задачи имеем: S=500 000, n=5, i=0.095. Любым из предложенных ранее способов можно вычислить, что $$s_{5;\,9.5\%}=6.0446$$. По формуле (6.13) получаем:

    $$R={500\,000\over 6.0446}=82\,718.20\mbox{ руб.} $$

    Следовательно, в конце каждого года сын должен вкладывать в банк 82 718.20 руб.

    6.6 Погашение долгосрочной задолженности единовременным платежом}

    Рассмотрим следующую ситуацию. Должник взял ссуду, равную S~руб., которую он должен вернуть через n~лет одним платежом. Ежегодно до момента погашения ссуды он должен выплачивать кредитору проценты по ставке q. Одновременно с получением ссуды должник создает погасительный (амортизационный или страховой) фонд, в который делает в конце каждого года равные взносы с целью накопить к моменту возвращения долга сумму~S. На деньги, находящиеся в фонде, должник получает i% в год. Требуется определить, так называемую, срочную уплату $$\alpha$$, то есть суммарные ежегодные выплаты должника за использование ссуды.

    Срочная уплата состоит из выплачиваемых за долг процентов, которые равны Sq, и взноса в страховой фонд, который мы обозначим через R. Взносы R образуют обычную годовую ренту, состоящую из n-членов, наращенная сумма которой в момент n должна быть равна S. По формуле (6.13) $$R=S/s_{n;i}$$. Следовательно, срочная уплата равна:

    $$\alpha=Sq+{S\over s_{n;\,i}}\,\,\, (6.14)$$

    Рассмотрим пример на применение формулы (6.14).

    Пример 60. Кредит в 1 млн руб. получен фирмой в банке под 13% годовых на 4 года. Одновременно с получением кредита для его погашения создан страховой фонд, в который делаются равные ежегодные взносы. На деньги, внесенные в фонд, выплачиваются 5% годовых. Найдем ежегодную срочную уплату по долгу.

    Решение. По формуле (6.14) при S=1 000 000, q=0.13, n=4, i=0.05 находим величину срочной уплаты, предварительно вычислив, что $$s_{4;\,5\%}=4.3101:$$

    $$\alpha=1\,000\,000\times 0.13+{1\,000\,000\over 4.3101}=362\,011.84\mbox{ руб.} $$

    При других условиях начисления процентов страховым фондом будут возникать иные виды рент и потребуется использовать соотвествующие им формулы.

    Погашение долгосрочной задолженности несколькими платежами будет рассмотрено в следующей лекции.

    6.7 Используем Excel

    Как следует из материала, изложенного ранее в этой лекции, количественный анализ рент сводится к вычислению следующих их характеристик:

  • приведенная ценность потока платежей,
  • будущая величина потока платежей,
  • величина отдельного платежа,
  • норма доходности (процентная ставка),
  • количество периодов проведения платежей./
    •

    Все эти характеристики, за исключением приведённой ценности, связывает зависимость, выражающаяся в простейшем случае, когда платежи и начисления процентов выполняются один раз в конце каждого периода, формулами (6.2) и (6.3):

    $$S=Rs_{n;\,i},\quad s_{n;\,i}=\frac{(1+i)^{n}-1}{i}$$

    Ранее в этой лекции на примерах было показано, как, зная значения величин R, n и i, вычислить наращенную сумму ренты S, или, зная значения величин S, n и i, вычислить величину платежа R. Не представляет труда записать приведенные решения примеров на рабочих листах Excel. Ещё раз отметим, что эти решения станут существенно компактней и наглядней, если создать на VBA две функции, которые мы назвали AnnCoeff и AnnPCoeff. Функция AnnCoeff реализует функцию $$s_{n;\,i}$$, а AnnPCoeff - функцию $$s_{n;\,i}^{(p)} $$:

    $$ s_{n;\,i}=\frac{(1+i)^{n}-1}{i}\,,\ \ % s_{n;\,i}^{(p)}=\frac{(1+i)^{n}-1}{p[\left(1+i\right)^{{1\over p}}-1]} $$

    Приведём тексты этих функций (листинг 6.1). Для читателей, хоть немного знакомых с программированием на VBA, не составит труда включить их в свой модуль и использовать при решении примеров и заданий из лекций. Всех остальных отсылаем к приложению Б в учебнике [5], в котором подробно объяснено, как это сделать. 

    Function AnnCoeff(n As Integer, i As Single) As Single
 AnnCoeff = ((1 + i) ^ n - 1) / i
End Function

Function AnnPCoeff(n As Integer, i As Single, p As Integer) _
 As Single
 AnnPCoeff = ((1 + i) ^ n - 1) / p / ((1 + i) ^ (1 / p) - 1)
End Function
    (рис 16) Пример на вычисление наращенной суммы ренты

    На рис. 16 приведен фрагмент рабочего листа с решением примера 4. В решении дважды используется функция AnnCoeff (ячейки C11 и C12).

    Если известны значения величин R, S и n, а требуется вычислить, какая ставка процента i применялась, то прямую формулу для вычисления значения i написать невозможно, так как i является корнем уравнения степени n. Простейший выход в этом случае - использовать встроенную функция СТАВКА.

    В том случае, если известны значения величин R, S и i, а требуется вычислить, сколько периодов n проводились платежи, можно вывести необходимую формулу. В простейшем случае, когда платежи и начисления процентов выполняются один раз в конце каждого периода, из формул (6.2) и (6.3) получим формулу:

    $$n= \frac{\ln(1+\displaystyle{\frac{S}{R}}\,i)}{\ln(1+i)}$$

    Однако в этой ситуации имеется другая возможность для вычисления количества периодов n - воспользоваться имеющейся для этого в Excel встроенной финансовой функцией КПЕР. Но прежде чем привести пример с использованием этой функции, сообщим общую информацию о встроенных в Excel финансовых функциях, предназначенный для анализа потока платежей.

    В Excel имеется девять встроенных функций для вычисления характеристик потока платежей. Эти функции, как и большинство финансовых функций в Excel, содержатся в Пакете анализа, поэтому перед выполнением примеров и упражнений из этой лекции проверьте, установлен ли этот пакет установлен на вашем компьютере.Если Excel установлен в полном объеме, то Пакет анализа всегда доступен.

    В пакете Excel в связи с реализацией набора финансовых функций выделено небольшое количество базовых понятий, которым присвоены имена, по возможности отражающие их содержание. В принципе в локализованной версии MS Office (а мы предполагаем, что читатель работает в русской версии) должны работать как английские, так и локальные наименования. Однако по нашему опыту это не всегда выполнено строго, поэтому рекомендуем использовать русские имена, а также учесть, что, в отличие от весьма стабильных наименований в английской версии, имена в русификации постоянно меняются от одного поколения продукта к другому (напомним, что мы в этих лекциях ориентируемся на MS Office 2010). Например, функция, вычисляющая процентную ставку ренты, в MS Office 2000 называлась НОРМА, тогда как, начиная с MS Office 2003, она превратилась в функцию СТАВКА, оставаясь, по-прежнему, RATE в базовом англоязычном пакете. Начнём с перечисления названий аргументов финансовых функций в той терминологии, которая использована в справочной системе MS Office 2010. Для удобства читателя соберем эти термины в следующей таблице:

    Аргумент Назначение
    ставка процентная ставка
    кол_пер количество периодов проведения операции
    период порядковый номер периода (от 0 до кол_пер)
    платеж величина периодического платежа
    нач_сум начальная сумма
    буд_ст будущая стоимость
    тип тип начисления процентов (1 - начало, 0 - конец периода

    Приведем теперь таблицу, в которой содержатся имена функций (в русифицированной и англоязычной версиях) анализа регулярных потоков, их аргументы и вычисляемые величины:

    Функция Аргумент Вычисляемая величина
    БС FV (ставка;кол_пер;платеж[;нач_сум][;тип]) будущая величина потока
    КПЕР NPER (ставка;платеж;нач_сум[;буд_ст][;тип]) количество выплат
    СТАВКА RATE (кол_пер;платеж;нач_сум[;буд_ст][;тип]) процентная ставка
    ПЛТ PMT (кол_пер;платеж;нач_сум[;буд_ст][;тип]) величина периодического платежа
    ПС PV (ставка;кол_пер;платеж;[;буд_ст][;тип]) современная ценность потока платежей
    ПРОЦПЛАТ IPMT (ставка;период;кол_пер;нач_сум;буд_ст[;тип]) выплата по процентам в указанный период
    ОСПЛТ PPMT (ставка;период;кол_пер;нач_сум;буд_ст;[;тип]) величина основного платежа в указанный период
    ОБЩПЛАТ CUMIPT (ставка;период;кол_пер;нач_сум;нач_пер;кон_пер;буд_ст;тип) сумма накопленных процентов
    ОБЩДОХОД CUMPRINC (ставка;кол_пер;нач_сум;нач_пер;кон_пер;буд_ст;тип) накопленная сумма погашенного долга
    (рис 17) Вычисления с использованием функции БС

    На рис.17 приведен фрагмент рабочего листа с решением примера 54 с использованием встроенной функции БС и функции AnnCoeff. Как видно на рисунке, результаты вычислений совпадают с ранее вычисленными.

    Как было отмечено выше, с помощью встроенных функций можно выполнить вычисления в ситуациях, когда отсутствуют формулы для прямого счета. Примером такой ситуации является необходимость определения срока погашения долга, взятого на определенных условиях. Рассмотрим конкретный пример.

    Пример 61 Г-н Сидоров получил ссуду в размере 100 000 руб. под 8% годовых и согласен выплачивать ежемесячно по 2 000 руб. в счёт её погашения. Сколько месяцев потребуется для выплаты всей суммы ссуды?

    Решение. В приведённой выше таблице находим функцию КПЕР, которая определяет необходимое для погашения ссуды количество выплат. Введем в любую ячейку формулу:

    =КПЕР(8\%/12;-2000;100000)

    и определим, что для выплаты ссуды потребуется 61 месяц. Для того чтобы иметь возможность решать этот пример с другими данными (например, может измениться процент, под который предоставляется ссуда), следует использовать в формуле в качестве параметров не числа, а относительные адреса.

    (рис 18) Пример на определение количества платежей

    На рис.18 приведен фрагмент рабочего листа с решением примера 61.

    Сделаем некоторые замечания, касающиеся применения функции КПЕР. Аргумент платеж может оказаться слишком мал, чтобы можно было вернуть ссуду. В этом случае в ячейке с формулой появится сообщение об ошибке: # ЧИСЛО!. Для возврата ссуды необходимо, чтобы ежемесячные выплаты были больше соответствующей процентной ставки, умноженной на полную величину ссуды. В рассмотренном примере величина ежемесячных выплат должна быть больше 666 руб.

    Обратим внимание читателя на важное правило, которое касается аргументов функций, являющихся суммами денег. Оно касается всех функций из приведённой выше таблицы.

    Если некоторый аргумент функции является платежом (расходом), то он должен иметь отрицательное значение. Например, в формуле в ячейке B14 (рис.17) знак минус поставлен перед аргументом из ячейки B6 (величина платежа). Знак минус можно указывать либо в ячейках с данными, либо в формуле перед соответствующими аргументами.

    Если значением формулы является величина платежа, то это значение также выдаётся со знаком минус. На экране монитора в этом случае и число, и знак минус перед ним выделяются красным цветом.

    Список ключевых терминов

    Аннуитет - синоним финансовой ренты при страховании жизни.

    Поток денежных платежей - несколько денежных платежей следующих друг за другом.

    Период ренты - временной интервал между последовательными выплатами финансовой ренты.

    Перпетуитет - бессрочная рента, выплаты которой не ограничены никаким сроком.

    Сроком ренты - срок от начала первого до конца последнего периода ренты.

    Финансовая рента - последовательность платежей, равных по величине и производящихся через равные промежутки времени.

    Краткие итоги

    В лекции рассмотрены финансовые ренты. Обсуждаются основные виды финансовых рент и их использование в повседневной практике денежных расчётов потребительский кредит, ипотека, купонные платежи по облигациям и т.п.). В рассмотренных в тексте примерах используется информация актуальная в июле-августе 2016 г. Продолжен обзор возможностей программы Excel для решения рассмотренных в курсе примеров.

    Предыдущее занятие Следующее занятие
    Вернуться к учебному плану
    ^