Основы цифровой техники

Преобразователи произвольных кодов

Показывать лекцию целиком

Преобразователь произвольных кодов - это логическая схема, реализующая определённую математическую формулу. На вход такой схемы подаётся двоичный код, соответствующий значению переменной $$x_{вх}$$. На выходе схемы получается двоичный код, соответствующий значению функции $$x_{вых}$$, вычисленному по указанной математической формуле.

В качестве примера синтеза логической схемы рассмотрим 3-входовую схему [2], реализующую увеличение входного кода в три раза: $$x_{вых}=3x_{вх}$$. Последовательность действий при решении подобных задач следующая [3].

  • Определим максимально возможный код на выходе 3-входовой схемы: $$7_{10} \times 3_{10} =21_{10}= 10101_{2}$$ - это пятиразрядное двоичное число. Поэтому количество выходов для данной схемы будет равно пяти.
  • Заполним таблицу истинности для синтезируемой схемы (табл. 3.1). Поскольку количество выходов данной схемы больше одного, таблица включает в себя несколько (здесь пять ) столбцов, соответствующих двоичным разрядам выходного сигнала.
  • Для каждого выхода найдем минимальное выражение с помощью карт Карно (рис. 3.1).
  • По полученным выражениям построим логическую схему на пять выходов, каждый из которых соответствует двоичному разряду вычисляемого по заданной формуле числа (рис. 3.2).
    •
    Таблица истинности трех-входовой схемы умножения на 3
    Входной код Выходной код
    В десятичном выражении В двоичном коде В десятичном выражении В двоичном коде
    $$a$$ $$b$$ $$c$$ $$Q_{4}$$ $$Q_{3}$$ $$Q_{2}$$ $$Q_{1}$$ $$Q_{0}$$
    $$2^{2}$$ $$2^{1}$$ $$2^{0}$$ $$2^{4}$$ $$2^{3}$$ $$2^{2}$$ $$2^{1}$$ $$2^{0}$$
    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
    1 0 0 1 3 0 0 0 1 1
    2 0 1 0 6 0 0 1 1 0
    3 0 1 1 9 0 1 0 0 1
    4 1 0 0 12 0 1 1 0 0
    5 1 0 1 15 0 1 1 1 1
    6 1 1 0 18 1 0 0 1 0
    7 1 1 1 21 1 0 1 0 1
    (рис 3.1) Минимизация логических выражений для выходных сигналов преобразователя, реализующего формулу x_{вых}=3x_{вх}(рис 3.2) Логическая схема преобразователя на 3 входа, реализующего формулу умножения на 3

    Рассмотрим далее схему на 4 входа, реализующую ту же самую формулу $$x_{вых}=3x_{вх}$$. Алгоритм решения тот же.

  • Определим максимально возможный код на выходе 4-входовой схемы: $$15_{10} \times 3_{10} =45_{10}= 101101_{2}$$ - это шестиразрядное двоичное число. Поэтому количество выходов для данной схемы будет равно шести.
  • Заполним таблицу истинности для синтезируемой схемы (табл. 3.2). Она включает в себя шесть столбцов, соответствующих двоичным разрядам выходного сигнала.
  • Для каждого выхода найдем минимальное выражение с помощью карт Карно (рис. 3.3).
  • По полученным выражениям построим логическую схему на шесть выходов, каждый из которых соответствует двоичному разряду вычисляемого по заданной формуле числа (рис. 3.4).
  • Если весь столбец значений для выхода $$Q_{i}=1$$, это означает, что независимо от состояния входных сигналов на выход $$Q_{i}$$ подаётся напряжение источника питания.
  • Если весь столбец значений для выхода $$Q_{i}=0$$, это означает, что независимо от состояния входных сигналов выход $$Q_{i}$$ подключен к общей точке ("земле").
    •
    Таблица истинности четырёх-входовой схемы умножения на 3
    Входной код Выходной код
    В десятичном выражении В двоичном коде В десятичном выражении В двоичном коде
    $$a$$ $$b$$ $$c$$ $$d$$ $$Q_{5}$$ $$Q_{4}$$ $$Q_{3}$$ $$Q_{2}$$ $$Q_{1}$$ $$Q_{0}$$
    $$2^{3}$$ $$2^{2}$$ $$2^{1}$$ $$2^{0}$$ $$2^{5}$$ $$2^{4}$$ $$2^{3}$$ $$2^{2}$$ $$2^{1}$$ $$2^{0}$$
    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
    1 0 0 0 1 3 0 0 0 0 1 1
    2 0 0 1 0 6 0 0 0 1 1 0
    3 0 0 1 1 9 0 0 1 0 0 1
    4 0 1 0 0 12 0 0 1 1 0 0
    5 0 1 0 1 15 0 0 1 1 1 1
    6 0 1 1 0 18 0 1 0 0 1 0
    7 0 1 1 1 21 0 1 0 1 0 1
    8 1 0 0 0 24 0 1 1 0 0 0
    9 1 0 0 1 27 0 1 1 0 1 1
    10 1 0 1 0 30 0 1 1 1 1 0
    11 1 0 1 1 33 1 0 0 0 0 1
    12 1 1 0 0 36 1 0 0 1 0 0
    13 1 1 0 1 39 1 0 0 1 1 1
    14 1 1 1 0 42 1 0 1 0 1 0
    15 1 1 1 1 45 1 0 1 1 0 1
    (рис 3.3) Минимизация логических выражений для выходных сигналов 4-входового преобразователя, реализующего формулу x_{вых}=3x_{вх}(рис 3.4) Логическая схема преобразователя на 4 входа, реализующего формулу умножения на 3

    Краткие итоги

    Работа логической схемы полностью описывается с помощью таблицы истинности. Выходов у схемы может быть не один, а несколько. Совокупность выходов схемы служат для выдачи двоичного кода, который может быть вычислен по некоторой математической формуле. Для синтеза каждой части схемы для одного выхода применяется метод минимизации с помощью карт Карно.

    Набор для практики

    Вопросы для самопроверки

  • Сколько выходов будет у преобразователя на три входа, реализующего формулу $$x_{вых}=16x_{вх}-1$$?
  • Сколько столбцов будет в таблице истинности преобразователя на три входа, реализующего формулу $$x_{вых}=8x_{вх}-2$$?
  • Сколько строк будет в таблице истинности преобразователя на три входа, реализующего формулу $$x_{вых}=8x_{вх}+7$$?
  • Каково максимальное количество входов преобразователя, синтезируемого с помощью карт Карно?
  • Приведите примеры формул, которые можно реализовать в виде преобразователя произвольных кодов.
  • Сколько выходов будет у преобразователя на четыре входа, реализующего формулу $$x_{вых}=4x_{вх}+10$$?
  • Сколько столбцов будет в таблице истинности преобразователя на четыре входа, реализующего формулу $$x_{вых}=5x_{вх}-2$$?
  • Сколько строк будет в таблице истинности преобразователя на четыре входа, реализующего формулу $$x_{вых}=2x_{вх}+7$$?
    •

    Упражнения к лекции 3

    Упражнение 1.

    Вариант 1 упражнения 1. Синтезировать логическую схему преобразователя на 3 входа, реализующего формулу $$x_{вых}=2x_{вх}+1$$.

    Вариант 2 упражнения 1. Синтезировать логическую схему преобразователя на 3 входа, реализующего формулу $$x_{вых}=2x_{вх}+5$$.

    Вариант 3 упражнения 1. Синтезировать логическую схему преобразователя на 3 входа, реализующего формулу $$x_{вых}=2x_{вх}+10$$.

    Вариант 4 упражнения 1. Синтезировать логическую схему преобразователя на 3 входа, реализующего формулу $$x_{вых}=5x_{вх}+1$$.

    Вариант 5 упражнения 1. Синтезировать логическую схему преобразователя на 3 входа, реализующего формулу $$x_{вых}=5x_{вх}+6$$.

    Вариант 6 упражнения 1. Синтезировать логическую схему преобразователя на 3 входа, реализующего формулу $$x_{вых}=x_{вх}^{2}$$.

    Вариант 7 упражнения 1. Синтезировать логическую схему преобразователя на 3 входа, реализующего формулу $$x_{вых}=x_{вх}^{3}$$.

    Вариант 8 упражнения 1. Синтезировать логическую схему преобразователя на 3 входа, реализующего формулу $$x_{вых}=x_{вх}^{3}+1$$.

    Вариант 9 упражнения 1. Синтезировать логическую схему преобразователя на 3 входа, реализующего формулу $$x_{вых}=x_{вх}^{3}+5$$.

    Вариант 10 упражнения 1. Синтезировать логическую схему преобразователя на 3 входа, реализующего формулу $$x_{вых}=x_{вх}^{2}+10$$.

    Упражнение 2.

    Вариант 1 упражнения 2. Синтезировать логическую схему преобразователя на 4 входа, реализующего формулу $$x_{вых}=2x_{вх}+1$$.

    Вариант 2 упражнения 2. Синтезировать логическую схему преобразователя на 4 входа, реализующего формулу $$x_{вых}=2x_{вх}+5$$.

    Вариант 3 упражнения 2. Синтезировать логическую схему преобразователя на 4 входа, реализующего формулу $$x_{вых}=2x_{вх}+10$$.

    Вариант 4 упражнения 2. Синтезировать логическую схему преобразователя на 4 входа, реализующего формулу $$x_{вых}=5x_{вх}+1$$.

    Вариант 5 упражнения 2. Синтезировать логическую схему преобразователя на 4 входа, реализующего формулу $$x_{вых}=5x_{вх}+6$$.

    Вариант 6 упражнения 2. Синтезировать логическую схему преобразователя на 4 входа, реализующего формулу $$x_{вых}=x_{вх}^{2}$$.

    Вариант 7 упражнения 2. Синтезировать логическую схему преобразователя на 4 входа, реализующего формулу $$x_{вых}=x_{вх}^{3}$$.

    Вариант 8 упражнения 2. Синтезировать логическую схему преобразователя на 4 входа, реализующего формулу $$x_{вых}=x_{вх}^{3}+1$$.

    Вариант 9 упражнения 2. Синтезировать логическую схему преобразователя на 4 входа, реализующего формулу $$x_{вых}=x_{вх}^{3}+5$$.

    Вариант 10 упражнения 2. Синтезировать логическую схему преобразователя на 4 входа, реализующего формулу $$x_{вых}=x_{вх}^{2}+10$$.

    Предыдущее занятие Следующее занятие
    Вернуться к учебному плану
    ^