Минимизация логических схем

Показывать лекцию целиком

Составление логических выражений по таблице истинности

Каноническая сумма минтермов

Минтерм - это полное произведение всех входных переменных, соответствующее одной строке таблицы истинности, в которой значение выходной переменной (значение функции) равно логической 1. Переменная входит в минтерм с инверсией, если ее значение в данной строке таблицы равно 0, и без инверсии, если ее значение в данной строке таблицы равно 1.

Каноническая сумма минтермов - это логическая сумма всех минтермов, которая представляет собой максимальное логическое выражение, соответствующее таблице истинности.Она составляется в следующей последовательности:

В заданной таблице истинности подсчитывается $$n$$ - количество строк таблицы, в которой значение функции равно 1.

Затем записывается логическая сумма $$n$$ полных произведений.

Далее в каждом произведении расставляются инверсии над переменными в соответствии с их значением в строке таблицы.

Для примера, представленного на рис. 1.6, каноническая сумма минтермов будет выглядеть так:

$$f = \overline{a}\overline{b}cd+ \overline{a}b\overline{c}d + \overline{a}bcd + ab\overline{c}d+abcd.$$

Из сравнения (1.1) и (2.1) видно, что одной и той же таблице истинности (рис. 1.6,б) соответствуют два разных логических выражения, причем (1.1) записывается более компактно, но возможности минимизации для него еще есть. Следовательно, есть возможность минимизировать и логическую схему, представленную на рис. 1.6, a.

Минимизация логических выражений может осуществляться с помощью различных методов на основе правил булевой алгебры, в частности, диаграммы Вейча, диаграммы Венна и табличным методом, но наиболее простым и наглядным является графический способ минимизации с помощью карт Карно, опубликованный в 1953 г. Морисом Карно.

Минимизация с помощью карт Карно

Карта Карно - графическое представление таблицы истинности. Каждой клетке карты Карно соответствует строка таблицы истинности. По осям карты расставляются сочетания переменных, а внутри карты - значения функции.

Назначение карты Карно - найти логические суммы прямого и инверсного значения переменных. Для любой переменной, например, $$а$$, такая сумма равна $$а + \overline{a}= 1$$ при любом значении $$а$$: при $$а=0$$ это будет $$0 + 1 = 1$$, при $$а=1$$ это $$1 + 0 = 1$$. Поэтому при вынесении за скобки в выражении:

$$abc + \overline{a}bc = bc (a + \overline {a}) = bc\cdot 1=bc$$

- сумму $$а + \overline{a}= 1$$ можно отбросить, при этом результат выражения не изменится. В этом и заключается минимизация логических выражений с помощью карт Карно. Для достижения поставленной цели минимизации нужно соблюдать правила разметки осей карты:

Вертикальная ось размечается независимо от горизонтальной.

Начинать разметку можно с любого сочетания переменных.

Все сочетания переменных должны быть перечислены.

Для соседних клеток карты сочетание переменных должно отличаться не более чем одним знаком, причем соседними являются крайние клетки строки (столбца).

Для функции двух переменных карта Карно - это квадрат 2x2 клетки. В этих клетках размещаются 4 значения функции из последнего столбца таблицы истинности (рис. 2.2).

(рис 2.2) Таблица истинности (а) и карта Карно (б) для функции 2 переменных.

Для функции трех переменных карта Карно - это прямоугольник 2x4 или 4x2 клетки. В этих клетках размещаются 8 значений функции из последнего столбца таблицы истинности (рис. 2.3). При разметке большей из осей нужно четко придерживаться последнего, четвертого правила разметки и следить за тем, чтобы соседними не оказались сочетания $$00$$ и $$11$$, либо $$01$$ и $$10$$, в которых одновременно меняются обе переменные.

Для функции четырех переменных карта Карно - это квадрат 4x4 клетки. В этих клетках размещаются 16 значений функции из последнего столбца таблицы истинности (рис. 2.4). При разметке обеих осей нужно также четко придерживаться последнего, четвертого правила разметки и следить за тем, чтобы по одной оси соседними не оказались сочетания $$00$$ и $$11$$, либо $$01$$ и $$10$$, в которых одновременно меняются обе переменные.

Для функции пяти переменных карта Карно представляет собой уже объемную фигуру - куб 4x4x4 клетки, поэтому для минимизации логических выражений она не применяется.

(рис 2.3) Таблица истинности (а) и примеры заполнения карты Карно (б, в, г, д) для логической функции 3 переменных.

(рис 2.4) Таблица истинности (а) и примеры заполнения карты Карно (б, в) для логической функции 4 переменных.

В конкретных случаях вместо значений функций в общем виде в клетки карты проставляются конкретные значения (логические 0 и 1) из соответствующих строк таблицы истинности. Затем рассматриваются только те клетки, которые заполнены единицами. Все эти единицы должны быть обведены контурами по следующим правилам составления контуров:

Контуры должны быть прямоугольными и содержать количество единиц, равное $$2^n$$, где $$n$$ - целое число. Таким образом, в контуре может быть либо одна, либо две, либо четыре, либо восемь единиц.

Количество единиц в контуре должно быть максимальным, при этом контуры могут пересекаться между собой. Нужно учитывать, что крайние строки являются соседними и крайние столбцы также являются соседними, поэтому контуры могут быть "разорванными".

Количество контуров должно быть минимальным, но все единицы должны быть охвачены контурами. Нельзя забывать об отдельно стоящих единицах. Каждая такая единица - это контур, которому соответствует полное логическое произведение всех переменных.

После обведения контуров нужно записать минимальное выражение как логическую сумму логических произведений. Каждому произведению соответствует один контур карты Карно. В произведение входят только те переменные, которые остаются в данном контуре неизменными.При этом переменная входит в произведение с инверсией, если ее значение в данном контуре равно 0, и без инверсии, если ее значение равно 1.

Пример 1. Написать минимальное выражение для таблицы истинности, представленной на рис. 2.5,а и нарисовать по нему логическую схему.

При одном варианте разметки осей (рис. 2.5,б) первый контур, состоящий из четырех единиц, получается разорванным. Если же принять разметку, показанную на рис. 2.5,в, то контур будет иметь нормальные очертания, а выражение, ему соответствующее, останется без изменений. Учитывая, что при данном горизонтальном начертании карты Карно крайние столбцы являются соседними, ее можно представить себе как цилиндр, развернутый на плоскости. На рис. 2.5,б представлена развертка такого цилиндра, "разрезанная" между комбинациями $$bc$$, равными $$10$$ и $$11$$. А на рис. 2.5,в представлена развертка этого же цилиндра, "разрезанная" между произведениями $$bc$$, равными $$11$$ и $$01$$.

Первый контур охватывает четыре единицы, ему соответствует сумма минтермов: $$\overline{a}bc +\overline{a}b\overline{c}+abc+ab\overline{c}$$, в которой не изменяется только переменная $$b$$. Второй контур охватывает две единицы. Ему соответствует сумма минтермов $$ab\overline{c}+a\overline{b}\overline{c}$$, в которой переменная $$b$$ принимает оба возможных значения, а произведение $$a\overline{c}$$ остается неизменным. Таким образом, получаем минимальное выражение:

$$f= b + a\overline{c}.$$

Ему соответствует логическая схема на рис. 2.5,г.

(рис 2.5) Минимизация функции трех переменных

Для сравнения запишем максимальное выражение:

$$f= \overline{a}b \overline{c}+ \overline{a}bc+ a\overline{b}\overline{c}+ab\overline{c}+abc.$$

Разница между (2.2) и (2.3) очевидна и в комментариях не нуждается, за исключением того, что схема, реализованная по (2.3), будет на порядок сложнее и, соответственно, менее надежна, чем схема, показанная на рис. 2.5,г.

Пример 2. Написать минимальное выражение для таблицы истинности, представленной на рис. 2.6,а, и нарисовать по нему логическую схему.

(рис 2.6) Минимизация функции четырех переменных

При первоначально выбранной разметке осей (рис. 2.6,б) первый контур, состоящий из четырех единиц с номерами 1.1, 1.2, 1.3 и 1.4, расположенных по углам карты, получается разорванным. Если же принять разметку, показанную на рис. 2.7, то контур будет иметь очертания квадрата, а выражение, ему соответствующее, останется без изменений. Учитывая, что крайние столбцы являются соседними и крайние строки являются соседними, карту Карно для функции четырех переменных можно представить себе как торроид, развернутый на плоскости. Проще представить себе обратный процесс получения торроида из плоской фигуры - квадрата. Для этого надо сначала соединить мысленно крайние строки - получим цилиндр. После этого основания цилиндров надо мысленно соединить. Получится торроид. На рис. 2.6,б представлена развертка такого торроида, "разрезанная" между комбинациями $$аb$$, равными $$01$$ и $$00$$ и между сочетаниями $$cd$$, равными $$10$$ и $$00$$. А на рис. 2.7 представлена развертка этого же торроида, "разрезанная" между комбинациями $$аb$$, равными $$11$$ и $$10$$ и между произведениями $$cd$$, равными $$11$$ и $$01$$. После анализа контуров получим минимальное выражение $$f= \overline{a}\overline{d}+c\overline{d}+a\overline{c}d+\overline{b}\overline{c}d$$. Соответствующая ему схема приведена на рис. 2.8.

(рис 2.7) К минимизации логической функции четырех переменных

(рис 2.8) Логическая схема для минимизированного логического выражения

Ключевые термины

ДНФ - дизъюнктивно-нормальная форма - представление логического выражения в виде произведения сумм.

Каноническая сумма минтермов - это логическая сумма всех минтермов, которая представляет собой максимальное логическое выражение, соответствующее таблице истинности.

Каноническое произведение макстермов - это логическое произведение всех макстермов, которая представляет собой максимальное логическое выражение, соответствующее таблице истинности.

Карта Карно - графическое представление таблицы истинности.

КНФ - конъюнктивно-нормальная форма - представление логического выражения в виде суммы произведений.

Макстерм - это сумма всех входных переменных, соответствующее одной строке таблицы истинности, в которой значение выходной переменной (значение функции) равно 0. Переменная входит в макстерм с инверсией, если её значение в строке истинности равно 1.

Минтерм - это полное произведение всех входных переменных, соответствующее одной строке таблицы истинности, в которой значение выходной переменной (значение функции) равно логической 1. Переменная входит в минтерм с инверсией, если её значение в строке истинности равно 0.

Краткие итоги

Работа логической схемы наиболее наглядно может быть описана с помощью таблицы истинности. Возможно и решение обратной задачи - по известной таблице истинности синтезировать логическое выражение и логическую схему. Для синтеза схем применяется метод минимизации с помощью карт Карно. Наиболее рациональная логическая схема может быть синтезирована по минимизированному логическому выражению.

Набор для практики

Вопросы для самопроверки

Каково правило логического сложения? умножения?

Какой сигнал является решающим для логического сложения? умножения?

Что такое минтерм?

Что такое таблица истинности?

Сколько строк в таблице истинности для 7-входовой логической схемы?

Что означает аббревиатура ДНФ? КНФ?

Объясните соответствие карты Карно и таблицы истинности.

Для какого максимального количества переменных практически применимы карты Карно?

Почему при размётке осей карты Карно сочетания $$00$$ и $$11$$ не могут быть соседними?

На чём основан принцип минимизации логических выражений?

Какое количество единиц может содержать один контур в карте Карно для функции двух переменных? Трёх? Четырёх? Пяти?

Допустимо ли пересечение контуров на карте Карно?

Упражнения к лекциям 1 и 2

Примеры решения подобных задач подробно рассматриваются в [2].

Упражнение 1.

Вариант 1 упражнения 1. Написать каноническую сумму минтермов и нарисовать минимальную логическую схему для логического выражения

$$y = \overline{a}\overline{b}\overline{c}\overline{d}+ \overline{a}\overline{b}cd + \overline{a}bcd + \overline{a}b\overline{c} + a\overline{b}c + ab\overline{c} + abc + bd$$

Вариант 2 упражнения 1. Написать каноническую сумму минтермов и нарисовать минимальную логическую схему для логического выражения

$$y = \overline{a}\overline{b}\overline{c}\overline{d} + a\overline{b}\overline{c}\overline{d} + a\overline{b}c\overline{d} + a\overline{b}cd + ab\overline{c}\overline{d} + a\overline{c}d + abc\overline{d} + bcd.$$

Вариант 3 упражнения 1. Написать каноническую сумму минтермов и нарисовать минимальную логическую схему для логического выражения

$$y = {a}\overline{b}c\overline{d} + \overline{a}bc + a\overline{b}\overline{d} + a\overline{b}d + a\overline{d} + a\overline{b}cd + ab\overline{c}\overline{d} + abd + abc$$

Вариант 4 упражнения 1. Написать каноническую сумму минтермов и нарисовать минимальную логическую схему для логического выражения

$$y=\overline{a}\overline{b}cd + \overline{a}bc\overline{d}+\overline{a}bcd + a\overline{b}\overline{c}\overline{d} + a\overline{b}\overline{c}d + abc\overline{d} + abcd + a\overline{b}c + acd + ab$$

Вариант 5 упражнения 1. Написать каноническую сумму минтермов и нарисовать минимальную логическую схему для логического выражения

$$y=\overline{a}\overline{b}\overline{c}\overline{d}+ \overline{a}\overline{b}\overline{c}d + \overline{a}\overline{b}c\overline{d} + \overline{a}b\overline{c} + bc\overline{d} + \overline{a}b + abcd$$

Вариант 6 упражнения 1. Написать каноническую сумму минтермов и нарисовать минимальную логическую схему для логического выражения

$$y=\overline{a}b\overline{c}d+\overline{a}bcd+ a\overline{b}\overline{c}\overline{d}+a\overline{b}\overline{c}d+ a\overline{b}+\overline{b}cd + b\overline{c}\overline{d}+ab$$

Вариант 7 упражнения 1. Написать каноническую сумму минтермов и нарисовать минимальную логическую схему для логического выражения

$$y=\overline{a}\overline{b}cd+a\overline{b}\overline{c}\overline{d}+ a\overline{b}\overline{c}+ acd + ab\overline{c} + b\overline{c}d + ac\overline{d} + ad$$

Вариант 8 упражнения 1. Написать каноническую сумму минтермов и нарисовать минимальную логическую схему для логического выражения

$$y=\overline{a}\overline{b}c\overline{d} + \overline{a}bc\overline{d} + \overline{a}d + \overline{b}\overline{c}d + a\overline{b}c + a\overline{b}d + ab\overline{c} + ab + b\overline{d}$$

Вариант 9 упражнения 1. Написать каноническую сумму минтермов и нарисовать минимальную логическую схему для логического выражения

$$y=\overline{a}\overline{b}\overline{c}\overline{d} + \overline{a}\overline{b}c + \overline{a}b\overline{c} + a\overline{b}\overline{c}\overline{d} + a\overline{c}d + a\overline{b}c + ab\overline{c}\overline{d} + ab + abc + abcd$$

Вариант 10 упражнения 1. Написать каноническую сумму минтермов и нарисовать минимальную логическую схему для логического выражения

$$y=\overline{a}\overline{b} + \overline{a}b + \overline{c}d + \overline{a}bc\overline{d} + \overline{a}bcd + a\overline{b}\overline{c}\overline{d} + ab\overline{c}d + abc\overline{d} + abcd$$

Упражнение 2.

Вариант 1 упражнения 2. Минимизировать логическую схему