Основы цифровой техники

Логические основы ЭВМ

Показывать лекцию целиком

Любая цифровая вычислительная машина состоит из логических схем - таких схем, которые могут находиться только в одном из двух возможных состояний - либо "логический ноль", либо "логическая единица". За логический 0 и логическую 1 можно принять любое выражение, в том числе и словесное, которое можно характеризовать как "истина" и "ложь". В вычислительной технике логические 0 и 1 - это состояние электрических схем с определенными параметрами. Так, для логических элементов и схем, выполненных по технологии транзисторно-транзисторной логики (ТТЛ-схемы), логический 0 - это напряжение в диапазоне 0 … + 0,4 В, а логическая 1 - это напряжение в диапазоне + 2,4 … + 5 В [1]. Работа логических схем описывается посредством специального математического аппарата, который называется логической (булевой) алгеброй или алгеброй логики. Булева алгебра была разработана Джорджем Булем (1815 - 1864 гг.), она является основой всех методов упрощения булевых выражений.

Логические переменные и логические функции - это такие переменные и функции, которые могут принимать только два значения - либо логический 0, либо логическая 1.

Основные логические функции и элементы

Логический элемент - графическое представление элементарной логической функции.

Логическое умножение (конъюнкция) - функция И

Рассмотрим ключевую схему представленную на рис. 1.1,а. Примем за логический 0 [2]:

  • на входе схемы разомкнутое состояние соответствующего ключа, например, $$А=0$$ ;
  • на выходе схемы ( $$F=0$$ ) - такое ее состояние, когда через сопротивление R ток не протекает.
    •

    Таблица истинности - это таблица, содержащая все возможные комбинации входных логических переменных и соответствующие им значения логической функции.

    (рис 1.1) Трёх-входовой логический элемент И

    Таблица истинности для логической схемы, представленной на рис. 1.1,б, состоит из 8 строк, поскольку данная схема имеет три входа - $$А$$, $$В$$ и $$С$$. Каждая из этих логических переменных может находиться либо в состоянии логического 0, либо логической 1. Соответственно количество сочетаний этих переменных равно $$2^{3}=8$$. Очевидно, что через сопротивление R ток протекает только тогда, когда замкнуты все три ключа - и $$А$$, и $$В$$, и $$С$$. Отсюда еще одно название логического умножения - логический элемент И. В логических схемах этот элемент независимо от того, на какой элементной базе он реализован, обозначается так, как показано на рис. 1.1,в.

    :если на вход логического элемента И подается хотя бы один логический 0, то на его выходе будет логический 0.

    .

    В логических выражениях применяется несколько вариантов обозначения логического умножения. Так, для приведенного на рис. 1.1,в трёх-входового элемента И, логическое выражение можно представить в виде:

  • либо $$F = A\cdot B \cdot С$$, но при этом из контекста должно быть ясно, что данное умножение именно логическое;
  • либо $$F = A \ B \ C$$ ;
  • либо $$F = A \wedge B \wedge C$$ - с использованием знака конъюнкции;
  • либо $$F = ABC$$, но при этом из контекста должно быть ясно, что между переменными $$А$$, $$B$$ и $$C$$ производится логическое умножение.
    •

    Логическое сложение (дизъюнкция) - функция ИЛИ

    Рассмотрим ключевую схему, представленную на рис. 1.2,а. Таблица истинности для данной логической схемы (рис. 1.2,б) состоит из 4 строк, поскольку данная схема имеет два входа - $$А$$ и $$В$$. Количество сочетаний этих переменных равно $$2^{2}=4$$. Очевидно, что через сопротивление R ток протекает тогда, когда замкнуты или $$А$$, или $$В$$. Отсюда еще одно название логического сложения - логическое ИЛИ. В логических схемах соответствующий логический элемент независимо от того, на какой элементной базе он реализован, обозначается так, как показано на рис. 1.2,в.

    (рис 1.2) Логический элемент ИЛИ на два входа

    Правило логического сложения: если на вход логического элемента ИЛИ подается хотя бы одна логическая $$1$$, то на его выходе будет логическая 1.

    Для логического сложения решающим является уровень логической 1.

    В логических выражениях применяется два варианта обозначения логического сложения. Так, для приведенного двух-входового элемента ИЛИ, логическое выражение можно представить в виде:

  • либо $$F = A + B$$, но при этом из контекста должно быть ясно, что данное сложение именно логическое;
  • либо $$F = A \vee B $$ - с использованием знака дизъюнкции.
    •

    Логическое отрицание (инверсия) - функция НЕ

    Рассмотрим ключевую схему, представленную на рис. 1.3,а. Таблица истинности для данной схемы (рис. 1.3,б) самая простая и состоит всего из 2 строк, поскольку она (единственная из всех логических элементов) имеет только один вход - $$А$$. Количество вариантов для единственной логической переменной равно $$2^{1}=2$$. Очевидно, что через сопротивление R ток протекает ( $$F=1$$ ) тогда, когда $$А$$ не замкнут, т.е. $$А=0$$. Еще одно название этой логической функции - отрицание, а соответствующий логический элемент называется инвертором. В логических схемах этот элемент независимо от того, на какой элементной базе он реализован, обозначается так, как показано на рис. 1.3,в. Поскольку он имеет только один вход, в его обозначении допустимым является и знак логического сложения, и знак логического умножения.

    (рис 1.3) Логический элемент НЕ

    Правило инверсии: проходя через инвертор, сигнал меняет свое значение на противоположное.

    В логических выражениях применяется единственный вариант обозначения инверсии:

    $$F =\overline{A}$$

    К основным логическим элементам относятся еще два элемента, которые являются комбинацией элементов И, ИЛИ и НЕ: элемент И-НЕ и ИЛИ-НЕ.

    Логическая функция и элемент И-НЕ

    Данная функция производит логическое умножение значений входных сигналов, а затем инвертирует результат этого умножения. В логических схемах этот элемент независимо от того, на какой элементной базе он реализован, обозначается так, как показано на рис. 1.4,а. Таблица истинности приведена на рис. 1.4,б.

    (рис 1.4) Логический элемент И-НЕ на три входа

    Если на вход логического элемента И-НЕ подается хотя бы один логический 0, то на его выходе будет логическая 1.

    В логических выражениях применяются обозначения:

  • либо $$F =\overline{A\cdot B\cdot C}$$, но при этом из контекста должно быть ясно, что данное умножение именно логическое;
  • либо $$F = \overline{ABC}$$ ;
  • либо $$F = \overline{A \ B\ C}$$ ;
  • либо $$F = \overline{A\vee B\vee C}$$.
    •

    Логическая функция и элемент ИЛИ-НЕ

    В логических схемах этот элемент независимо от того, на какой элементной базе он реализован, обозначается так, как показано на рис. 1.5,а. Таблица истинности приведена на рис. 1.5,б.

    Если на вход логического элемента ИЛИ-НЕ подается хотя бы одна логическая 1, то на его выходе будет логический 0.В логических выражениях применяются обозначения:

  • либо $$F =\overline{A + B}$$, но при этом из контекста должно быть ясно, что данное сложение именно логическое;
  • либо $$F = \overline{A \vee B}$$.
    •  (рис 1.5) Логический элемент ИЛИ-НЕ на два входа

    Логические схемы

    Составление таблиц истинности для логических схем

    Для логических схем, представляющих собой соединение нескольких логических элементов, в левой части таблицы перечисляются все возможные комбинации входных сигналов, а в правой части - соответствующие значения на выходе логической схемы. Очевидно, что левые части таблицы будут одинаковыми для всех функций двух переменных, для всех функций трёх переменных и т.д. Традиционно комбинации сигналов в них располагают в порядке возрастания соответствующих двоичных кодов. На рис. 1.6 приведен пример логической схемы и таблица истинности, полностью описывающая ее работу.

    (рис 1.6) Логическая схема и соответствующая ей таблица истинности

    Вероятность ошибки уменьшается, если не решать задачу "в лоб", а проанализировать её работу с точки зрения уже известных нам правил логического сложения, умножения и инверсии. Очевидно, что в рассматриваемой схеме осуществляется логическое сложение нескольких логических произведений [3]. Можно записать логическое выражение, соответствующее данной схеме:

    $$f = bd + \overline{a}cd + \overline{a}bd+ \overline{a}\overline{b}cd.$$

    Булево выражение в виде суммы произведений называется дизъюнктивно нормальной формой (ДНФ).

    Булево выражение в виде произведения сумм называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ).

    По правилу логического сложения выражение (1.1) имеет на выходе логическую 1 $$f=1$$ только в том случае, если равно 1 хотя бы одно из четырех произведений, входящих в сумму. По правилу логического умножения каждое произведение будет равно 1 только в том случае, когда все входящие в произведение переменные равны 1. Рассмотрим все эти возможности отдельно и по порядку.

  • Произведение $$bd$$ будет равно 1 только тогда, когда будет выполняться условие: и $$b=1$$, и $$d=1$$. При этом от значений остальных входных переменных - $$а$$ и $$с$$ - значение данного произведения не зависит. Поэтому логические 1 будут в строках, соответствующих полным произведениям $$abcd$$, в которых $$b=d=1$$, а переменные $$а$$ и $$с$$ перечисляются во всех четырех возможных комбинациях: $$abcd = 0101$$, $$0111$$, $$1101$$ и $$1111$$.
  • Произведение $$\overline{a}cd$$ будет равно 1 только тогда, когда будет выполняться условие: и $$\overline{a}= 1$$ (т.е. $$а=0$$ ), и $$с=1$$, и $$d=1$$. От значения не вошедшей в данное произведение переменной $$b$$ произведение $$\overline{a}cd$$ не зависит. Поэтому логические 1 будут в строках таблицы истинности, соответствующих полным произведениям $$abcd$$, в которых $$c=d=1$$ и одновременно $$а=0$$, а переменная $$b$$ перечисляется во всех двух возможных комбинациях: $$abcd = 0011\text{ и }0111$$.
  • Произведение $$\overline{a}bd$$ будет равно 1 только тогда, когда будет выполняться условие: и $$\overline{a}= 1$$ (т.е. $$а=0$$ ), и $$b=1$$, и $$d=1$$. От значения не вошедшей в данное произведение переменной $$c$$ произведение $$\overline{a}bd$$ не зависит. Поэтому логические 1 будут в строках таблицы истинности, соответствующих полным произведениям $$abcd$$, в которых $$b=d=1 $$ и одновременно $$а=0$$, а переменная $$c$$ перечисляется во всех двух возможных комбинациях: $$abcd = 0101 \text{ и }0111$$.
  • Произведение $$\overline{a}\overline{b}cd$$ будет равно 1 только тогда, когда будет выполняться условие: и $$\overline{a}= 1$$ (т.е. $$а=0$$ ), $$\overline{b}= 1$$ (т.е. $$b=0$$ ), и $$с=1$$ и $$d=1$$. Поэтому логическая 1, соответствующая данному полному произведению всех переменных, будет только в той строке таблицы истинности, где $$abcd = 0011$$.
    •

    Анализ всех этих возможностей показывает, что они могут совпадать для нескольких произведений. Например, комбинация входных переменных 0011 встречается в произведениях $$\overline{a}cd$$ и $$\overline{a}\overline{b}cd$$. А сочетание $$0111$$ встречается даже в трех произведениях: и в $$bd,$$ и в $$\overline{a}cd$$, и в $$\overline{a}bd$$. Это говорит о том, что для данного логического выражения есть возможности минимизации.Правила минимизации рассматриваются в лекции 2.

    Ключевые термины

    ДНФ - дизъюнктивно-нормальная форма - представление логического выражения в виде суммы произведений.

    Инверсия - операция НЕ- логическое действие, при котором появление хотя бы одного логического нуля на входе даёт логическую единицу на выходе.

    Инвертор - логический элемент, реализующий операцию НЕ.

    КНФ - конъюктивно-нормальная форма - представление логического выражения в виде произведения сумм.

    Логическая переменная - переменная, значение которой может быть равно либо логическому нулю, либо логической единице.

    Логическая схема - схема, состоящая из логических элементов.

    Логическая функция - функция, включающая в себя логические переменные, значение которой может быть равно либо логическому нулю, либо логической единице.

    Логический элемент - графическое представление элементарной логической функции.

    Логическое отрицание - операция НЕ, инверсия - логическое действие, при котором происходит изменение состояния на противоположное.

    Логическое сложение - операция ИЛИ, дизъюнкция - логическое действие, при котором появление хотя бы одной логической единицы на входе даёт логическую единицу на выходе.

    Логическое умножение - операция И, конъюнкция - логическое действие, при котором появление хотя бы одного логического нуля на входе даёт логический нуль на выходе.

    Таблица истинности - таблица, содержащая все возможные комбинации входных логических переменных и соответствующие им значения логической функции.

    Краткие итоги

    Любая цифровая вычислительная машина состоит из логических схем. Логические схемы, в свою очередь, состоят из логических элементов. Самыми простыми логическими элементами являются элементы И, ИЛИ и НЕ. Им соответствуют функции логического умножения, сложения и инверсии.

    Набор для практики

    Вопросы для самопроверки

  • Нарисуйте элементы И на два, четыре и пять входов, составьте для каждого из них таблицу истинности, напишите соответствующее каждому элементу логическое выражение.
  • Нарисуйте элементы ИЛИ на три, четыре и пять входов, составьте для каждого из них таблицу истинности, напишите соответствующее каждому элементу логическое выражение.
  • Нарисуйте элементы И-НЕ на два, четыре и пять входов, составьте для каждого из них таблицу истинности, напишите соответствующее каждому элементу логическое выражение.
  • Нарисуйте элементы ИЛИ-НЕ на три, четыре и пять входов, составьте для каждого из них таблицу истинности, напишите соответствующее каждому элементу логическое выражение.
  • Какой уровень сигнала является решающим для логического сложения? для логического умножения? для функции И-НЕ? для функции ИЛИ-НЕ?
  • Что такое таблица истинности?
  • Сколько строк в таблице истинности для 5-входовой логической схемы? для 4-входовой? для 2-входовой?
  • Функция скольких переменных описывается таблицей истинности длиной 4 строки? 64 строки? 512 строк?
    •
    Предыдущее занятие Следующее занятие
    Вернуться к учебному плану
    ^