Нелинейные вычислительные процессы: Информация
Автор: Александр Холодов | Московский физико-технический институт
Форма обучения:
дистанционная
Стоимость самостоятельного обучения:
бесплатно
Доступ:
свободный
Документ об окончании:
Вам нравится? Нравится 12 студентам
Уровень:
Профессионал
Длительность:
3:00:00
Студентов:
385
Выпускников:
13
В качестве основного подхода к построению разностных схем для простейших (модельных) уравнений принят известный метод неопределенных коэффициентов (позволяющий рассматривать достаточно обширные семейства схем), дополненный анализом этих семейств в пространствах неопределенных коэффициентов и сеточных функций. Анализ разностных схем в пространстве коэффициентов неопределенных (предложенный А.С.Холодовым в 1978г.) оказался достаточно универсальным и весьма конструктивным средством не только для качественного сравнения различных схем (типа: устойчива – неустойчива, монотонна – немонотонна, первого – второго порядка аппроксимации и т.п.) но, в определенном смысле, и количественного их сопоставления.
Поскольку курс в целом ориентирован на методы решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, характерной чертой которых являются разрывные решения (для уравнений гиперболического типа), области больших градиентов (“пограничные слои”) и т.п., достаточно большое внимание уделено построению монотонных (мажорантных) схем. При переходе от модельных уравнений к линейным системам и нелинейным уравнениям в курсе активно используются характеристические свойства уравнений гиперболического типа и аналогичные методы расщепления для других типов уравнений, интегро-интерполяционный метод (метод интегрального тождества) и другие эффективные способы обобщения схем с сохранением заложенных в модельные схемы свойств.
Специальности: Программист, Математик
Дополнительные курсы
План занятий
Занятие
Заголовок <<
Дата изучения
Системы уравнений гиперболического типа (СУГТ)
Характеристическая форма уравнений. Дивергентная форма уравнений. Сохранение дивергентной формы при преобразовании независимых переменных. Продолженные (расширенные) системы.
Оглавление
- Введение
- Краткий обзор курса
- Квазилинейные уравнения первого порядка
- Условия гиперболичности
- Характеристические направления и условия совместности
- Скалярные уравнения переноса. Инварианты Римана
- Дивергентная форма уравнений
- Интегральное тождество и законы сохранения
- Граничные условия на поверхностях разрыва
- Неособенные преобразования независимых переменных. Сохранение гиперболичности
- Сохранение дивергентности при преобразовании независимых переменных
- Корректная постановка краевых условий для уравнения переноса
-
Постановка краевых условий и примеры систем уравнений гиперболического типа
Постановка краевых условий. Примеры СУГТ – линейное уравнение 2-го порядка, уравнения газовой динамики и др. Их характеристическая и дивергентная формы.
Оглавление
- Введение
- Краткий обзор содержания лекции 1
- Продолженные (расширенные) системы
- Постановка краевых условий для линейных СУГТ
- Необходимые условия корректности краевых условий для нелинейных СУГТ
- Граничные условия в случае продолженной системы
- Примеры уравнений и систем гиперболического типа. Линейное уравнение второго порядка
- 1D уравнения газовой динамики (Эйлера). Их характеристическая и дивергентная формы
- Введение в численные методы для простейшего уравнения переноса
-
Разностные схемы для простейшего уравнения переноса
Простейшее уравнение переноса (УП). Разностные схемы для УП в пространстве неопределенных коэффициентов. Условия аппроксимации и устойчивости. Некоторые методы регуляризации численных решений. Примеры простейших разностных схем.
Оглавление
- Введение
- Введение в численные методы для простейшего уравнения переноса (продолжение)
- Метод неопределенных коэффициентов построения разностных схем
- Примеры простейших разностных схем (Куранта-Изаксона-Риса; П.Лакса; Ландау-Меймана-Халатникова; Лакса-Вендроффа; схема «крест»)
- Условия аппроксимации разностных схем
- Линейные пространства коэффициентов разностных схем
- Условия устойчивости разностных схем
- Условия монотонности разностных схем (монотонность по Фридрихсу)
-
Критерии монотонности разностных схем
Критерии монотонности разностных схем (Фридрихса, Годунова, Хартена, Ван Лира). Монотонные по Фридрихсу схемы в пространстве неопределенных коэффициентов (схемы с положительной аппроксимацией). Схемы повышенного порядка аппроксимации для уравнения переноса. Невозможность построения линейных, монотонных по Фридрихсу схем с порядком аппроксимации выше первого (теорема Годунова).
Оглавление
- Введение
- Краткий обзор содержания лекции 3
- Методы регуляризации разностных схем
- Метод введения искусственной вязкости
- Метод сглаживания разрывных численных решений
- Неотрицательно определенные (монотонные) по Фридрихсу разностные схемы
- Нелинейные разностные схемы
- Монотонные по Годунову нелинейные схемы
- Нелинейные TVD схемы
- Монотонные по Ван Лиру нелинейные схемы (характеристический критерий монотонности)
- Эквивалентность критериев монотонности в общей области определения разностных схем
- Общее решение задачи построения монотонных по Фридрихсу разностных схем
- Схемы высокого порядка аппроксимации в пространстве коэффициентов разностных схем
- Зависимость области монотонных по Фридрихсу схем от числа Куранта
- Теорема С.К.Годунова и обобщение А.С.Холодова этой теоремы на произвольные сеточные шаблоны
-
Схемы высокого порядка аппроксимации
Наименее осциллирующие на разрывах схемы высокого порядка аппроксимации. Гибридные (TVD) схемы. Схемы повышенного порядка аппроксимации для уравнения переноса на нерасширяющихся сеточных шаблонах. Метод параметрической коррекции разностных схем.
Оглавление
- Введение
- Краткий обзор содержания лекции 4
- Наиболее точные монотонные по Фридрихсу разностные схемы (первого порядка аппроксимации)
- Наименее осциллирующие на разрывах высокоточные схемы
- Гибридные разностные схемы (схемы Р.П.Федоренко)
- Метод параметрической коррекции разностных схем
- Монотонные по Ван Лиру высокоточные схемы (схемы на основе характеристического критерия)
-
Разностные схемы в пространстве сеточных функций
Монотонные по Ван Лиру схемы повышенного порядка аппроксимации в пространстве сеточных функций. Обобщение критериев монотонности на случай многослойных и неявных сеточных шаблонов. Монотонные по Ван Лиру схемы повышенного порядка аппроксимации для многослойных и нерасширяющихся сеточных шаблонов.
-
Обобщение разностных схем для одномерных гиперболических систем уравнений
Обобщение разностных схем для уравнения переноса на случай квазилинейной системы уравнений гиперболического типа. Консервативные схемы.
Оглавление
- Введение
- Монотонные по Ван Лиру высокоточные схемы для продолженной (расширенной) системы на явном трехточечном шаблоне (окончание)
- Обобщение разностных схем для уравнения переноса на случай линейных гиперболических систем уравнений
- Обобщение на случай квазилинейных систем
- Монотонные 1D консервативные разностные схемы (начало)
-
Обобщение разностных схем на многомерный случай
Решение сеточных уравнений в случае неявных схем. Обобщение разностных схем для квазилинейной системы уравнений гиперболического типа на многомерный случай. Методы расщепления по пространственным переменным в случае канонической области интегрирования. Методы на неструктурированных сетках для решения в сложных, в том числе многосвязных областях.
Оглавление
- Введение
- Монотонные 1D консервативные разностные схемы (окончание)
- Решение сеточных уравнений в случае неявных схем для краевых задач, моделируемых гиперболическими системами
- Метод расщепления по пространственным переменным для многомерных систем гиперболических уравнений в случае канонической области интегрирования
- Методы на неструктурированных сетках для решения гиперболических систем в сложных, в том числе многосвязных областях
- Интегральное тождество в случае неструктурированных сеток
- Разностная аппроксимация интегрального тождества в случае ячеек Дирихле
- Вычисление потоков на гранях ячеек, обеспечивающее консервативность разностной схемы
- Вычисление потоков на гранях ячеек по методу С.К.Годунова
-
Квазилинейные параболические уравнения и системы
Расщепление по "физическим процессам". Примеры: автомодельная задача о бегущей волне, одномерные уравнения Навье-Стокса. Постановка краевых задач. Разностные схемы для простейшего уравнения теплопроводности. Условия аппроксимации и устойчивости.
Оглавление
- Введение
- Исходная система уравнений
- Условия параболичности исходной системы
- Приведение системы к несвязанным друг с другом скалярным уравнениям
- Методы расщепления по физическим процессам скалярных уравнений
- Расщепление по физическим процессам исходной системы
- Примеры уравнений и систем параболического типа
- Монотонные по Фридрихсу разностные схемы для линейного уравнения теплопроводности
- Краевые условия для уравнений параболического типа (Дирихле, Неймана, смешанная)
- Симметричные схемы для простейшего параболического уравнения
- Условия аппроксимации разностных схем в пространстве неопределенных коэффициентов с порядком аппроксимации O(dt,dr^2)
- Условия аппроксимации с порядком O(dt^2,dr^2)
- Условия устойчивости разностных схем
- Условия монотонности по Фридрихсу
- Построение всего множества монотонных по Фридрихсу схем для произвольных сеточных шаблонов (начало)
-
Разностные схемы для простейшего уравнения теплопроводности
Разностные схемы для простейшего уравнения теплопроводности в пространстве неопределенных коэффициентов. Монотонные схемы (схемы с положительной аппроксимацией) с порядком аппроксимации O(dt,dr^2) и O(dt^2,dr^2). Обобщение разностных схем для уравнения теплопроводности на случай квазилинейных уравнений и систем параболического типа.
Оглавление
- Введение
- Краткий обзор содержания лекции 9
- Монотонные по Фридрихсу схемы с порядком аппроксимации O(dt,dr^2)
- Примеры для «5-и точечного» сеточного шаблона
- Монотонные по Фридрихсу схемы с порядком аппроксимации O(dt^2,dr^2)
- Обобщение одномерных скалярных разностных схем на случай линейной параболической системы уравнений
- Обобщение на случай квазилинейной параболической системы
-
Консервативные схемы для уравнений и систем параболического типа
Обобщение разностных схем для квазилинейной системы уравнений параболического типа на многомерный случай. Методы расщепления по пространственным переменным.
Оглавление
- Введение
- Краткий обзор содержания лекции 10
- Интегральное тождество для дивергентной формы систем уравнений параболического типа
- Разностная аппроксимация интегрального тождества
- Консервативные разностные схемы для одномерных параболических систем уравнений
- Монотонные по Фридрихсу консервативные разностные схемы для одномерных параболических систем уравнений
- Методы расщепления по пространственным переменным для многомерных параболических систем уравнений в случае канонической области интегрирования
- Методы, основанные на отображении сложных областей на каноническую область интегрирования
- Методы на «квазирегулярных» сетках в случае сложных областей интегрирования
-
Методы на неструктурированных сетках
Методы на неструктурированных сетках для решения систем уравнений параболического типа в сложных, в том числе многосвязных областях интегрирования.
Оглавление
- Введение
- Краткий обзор содержания лекции 11
- Монотонные по Фридрихсу при произвольном временном шаге интегрирования разностные схемы на произвольных наборах сеточных узлов
- Простейшее эллиптическое уравнение (Лапласа) и разностные схемы его решения
- Разностные схемы, обеспечивающие выполнение принципа максимума
- Разностные схемы для сложных областей интегрирования, основанные на преобразовании независимых переменных
-
Некоторые численные методы решения краевых задач для эллиптических уравнений
Простейшее уравнение эллиптического типа и его разностные аппроксимации. Схемы с положительной аппроксимацией в случае регулярных и нерегулярных (неструктурированных) сеток.
Оглавление
- Введение
- Постановка задачи построения монотонных по Фридрихсу разностных схем на произвольных наборах сеточных узлов
- Условия аппроксимации разностных схем 1-го и 2-го порядка
- Условия принадлежности точки плоскости {X,Y} гипертетраэдру в расширенном пространстве с вершинами в узлах сеточного шаблона
- Пример алгоритма выбора сеточного шаблона, обеспечивающего монотонность разностной схемы по Фридрихсу
- Итерационные методы решения сеточных уравнений
- Явная, локальная, монотонная по Фридрихсу при произвольном временном шаге интегрирования разностная схема для уравнения теплопроводности
- Обобщение разностных схем для скалярных уравнений на случай эллиптических систем
- Условия эллиптичности систем уравнений 2-го порядка
- Введение в вычислительные модели на графах
-
Примеры решения модельных и прикладных задач
Системы уравнений гиперболического типа на графах (переходные ударно-волновые процессы в сетях). Примеры сетевых вычислительных моделей: уравнения мелкой воды, интенсивного дорожного движения, электроэнергетических сетей, дыхательной и кровеносной систем человека. Примеры расчетов модельных уравнений различными схемами: явная схема Куранта–Изаксона–Риса и ее консервативные варианты. Схемы П.Лакса, Лакса–Вендроффа, Маккормака, Бима–Уорминга, Русанова, трехслойная схема Головизнина. Неявные схемы Карлсона, Ландау–Меймана–Халатникова, Бабенко. Гибридные схемы и схемы со сглаживанием (Федоренко, Бориса – Бука, TVD-схемы). Высокоточные нелинейные монотонные схемы. Некоторые задачи, моделируемые уравнениями магнитогазодинамики, упруго-деформируемых тел и др.
Оглавление
- Введение
- Системы уравнений гиперболического типа на графах (сетевые вычислительные модели)
- Модельные примеры расчетов для простейшего уравнения переноса
- Двумерная задача о распаде газодинамического разрыва
- Решение задач на большие времена для процессов с существенно различающимися пространственными масштабами на примере многомерных магнитогазодинамических уравнений
- Моделирование эксперимента «морская звезда»
- Моделирование задач о распространении загрязнений в различных средах с использованием монотонных разностных схем на хаотических сетках для эллиптических уравнений
- Сетевые вычислительные модели дыхательной и кровеносной систем человека
- Квазистационарные задачи медицинской биомеханики с использованием монотонных схем на хаотических сетках для эллиптических и параболических уравнений
- Вычислительные модели фармакинетики и офтальмохирургии
- Примеры других сетевых вычислительных моделей
-