О решении операторных уравнений

Цель лекции: Показать способы решения операторных уравнений а гильбертовом пространстве. Реализовать с помощью объектно-ориентированного программирования на C# классы для решения этих задач.

Как мы уже отмечали, многие математические задачи могут быть записаны в виде операторных уравнений. И одной из основных задач при рассмотрении операторных уравнений является нахождение обратного оператора. Мы рассмотрим методы решения операторных уравнений, основанные на методе Галеркина. Основным модельным примером в нашем рассмотрении будет краевая (двухточечная) задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.

Мы будем рассматривать следующее уравнение

со следующими краевыми условиями Коэффициенты и , а также функция считаются известными. Однако в этой лекции мы будем рассматривать лишь случай, когда , а .

Используя результаты предыдущей лекции, мы будем рассматривать следующее гильбертово пространство , в котором в качестве базисных функций выбраны функции

Введем еще одно пространство, которое обозначим . Мы будем говорить, что функция принадлежит пространству , если коэффициенты Фурье этой функции: удовлетворяют следующему условию --- для них сходится ряд: Последнее условие требует более быстрого убывания коэффициентов Фурье, что соответствует большей гладкости решения. Как мы видели в прошлой лекции, если функция , то вторая производная этой функции (точнее, действие оператора ) принадлежит . Введем еще один простой оператор умножения на константу . Очевидно, что это тоже диагональный оператор, для которого коэффициенты равны Тогда задачу 11.1 - 11.2 можно записать в операторном виде: где . Соответственно, решением задачи 11.3 называется функция , удовлетворяющая уравнению 11.3.

Операторный подход позволяет довольно просто получить решение задачи 11.3. Чтобы вывести аналитико-численные формулы, для решения задачи 11.3 представим функцию разложением в ряд:

где коэффициенты Фурье могут быть найдены по формуле Соответственно, решение мы будем искать в виде: Таким образом задача сводится к нахождению чисел . Находить эти числа мы будем следующим образом - подставим разложение по базисным функциям в уравнение 11.3: Что можно записать следующим образом Умножая скалярно это равенство на базисные функции , получаем цепочку (бесконечную) равенств: Откуда получаем (в силу неотрицательности ): Наш операторный подход позволяет получать решение краевой задачи для дифференциального уравнения используя лишь арифметические операции.

Единственный нетривиальный момент при применении нашего операторного подхода состоит в том, чтобы получить разложение правой части по выбранному базису. Однако поскольку для получения этого разложения нужно вычислять скалярные произведения, то мы можем воспользоваться ранее созданными классами для гильбертовых пространств.