НОУ ИНТУИТ | Математическая теория формальных языков. Лекция 12: Дополнительные свойства контекстно-свободных языков

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 09.07.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: свободно | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 34 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

11.3. Представления контекстно-свободных языков посредством гомоморфизмов

Теорема 11.3.1. Рассмотрим алфавит $\Sigma_0 = \{ a_1 , a_2 , b_1 , b_2 , c \}$ и язык $L_0 \subseteq \Sigma_0^*$ , порождаемый контекстно-свободной грамматикой G₀:

$\begin{align*} S \; & {\to} \; C b_1 b_2 b_1 R C , & A \; & {\to} \; a_1 , & R \; & {\to} \; \varepsilon , \\ C \; & {\to} \; c , & A \; & {\to} \; a_2 , & R \; & {\to} \; T a_1 T b_1 , \\ C \; & {\to} \; c D C , & A \; & {\to} \; b_1 , & R \; & {\to} \; T a_2 T b_2 , \\ D \; & {\to} \; A , & A \; & {\to} \; b_2 , & T \; & {\to} \; R , \\ D \; & {\to} \; A D , & & & T \; & {\to} \; R C C . \end{align*}$

Произвольный язык $L \subseteq \Sigma^*$ является контекстно-свободным тогда и только тогда, когда существует такой гомоморфизм $h \colon \Sigma^* \farrow \Sigma_0^*$ , что L = h^-1(L₀) или $L = h^{-1} ( L_0 \cup \{ \varepsilon \} )$ .

Доказательство. Достаточность следует из теоремы 11.2.4. Приведем теперь идею доказательства необходимости (полное доказательство можно найти в [Сал, с. 103-109]).

Пусть дан произвольный контекстно-свободный язык L. Согласно теореме 8.4.6 язык $L \sminus \{ \varepsilon \}$ порождается некоторой контекстно-свободной грамматикой $\lalg \{ A_1 , \ldots , A_n \} , \Sigma , P , A_1 \ralg$ , в которой каждое правило имеет один из следующих трех видов: $A_i \tto a$ , $A_i \tto a A_j$ , $A_i \tto a A_j A_k$ , где $a \in \Sigma$ .

Определим вспомогательную функцию $\bar{h}$ , ставящую в соответствие каждому символу из $\Sigma$ конечный язык над алфавитом $\Sigma_0$ следующим образом:

$\begin{align*} \bar{h} ( a ) &= \{ b_1 b_2^i b_1 \mid ( A_i \tto a ) \in P \} \cup {} \\ &\qquad \cup \{ b_1 b_2^i b_1 a_1 a_2^j a_1 \mid ( A_i \tto a A_j ) \in P \} \cup {} \\ &\qquad \cup \{ b_1 b_2^i b_1 a_1 a_2^k a_1 a_1 a_2^j a_1 \mid ( A_i \tto a A_j A_k ) \in P \} . \end{align*}$

Искомый гомоморфизм h определяется следующим образом: если

$\bar{h} ( a ) = \{ w_1 , w_2 , \ldots , w_k \} ,$

положим

$h ( a ) = c w_1 c w_2 c \ldots c w_k c .$

Пример 11.3.2. Пусть $\Sigma = \{ d , f , g \}$ . Рассмотрим язык L, порождаемый грамматикой

$\begin{align*} A_1 \; & {\to} \; f , \\ A_1 \; & {\to} \; d A_1 A_2 , \\ A_2 \; & {\to} \; f A_3 , \\ A_2 \; & {\to} \; f A_2 A_3 , \\ A_3 \; & {\to} \; g . \end{align*}$

Тогда L = h^-1(L₀), где гомоморфизм h задан равенствами

h(d) = cb₁b₂b₁a₁a₂a₂a₁a₁a₂a₁c,
h(f) = cb₁b₂b₁cb₁b₂b₂b₁a₁a₂a₂a₂a₁cb₁b₂b₂b₁a₁a₂a₂a₂a₁a₁a₂a₂a₁c,
h(g) = cb₁b₂b₂b₂b₁c.

Рассмотрим, например, слово $d {} f f g \in L$ . Проверим, что слово h(dffg) выводится в грамматике G₀ из теоремы 11.3.1. Очевидно, что $S \overstar{\Rightarrow} c b_1 b_2 b_1 R c$ . С помощью последних пяти правил грамматики G₀ можно вывести, что

$R \mymathrel{\overstar{\Rightarrow}} a_1 a_2 a_2 a_1 a_1 a_2 a_1 C C b_1 b_2 b_1 C C b_1 b_2 b_2 b_1 a_1 a_2 a_2 a_2 a_1 C C b_1 b_2 b_2 b_2 b_1 .$

Осталось найти такие шесть выводимых из C слов $w_1 , \ldots , w_6$ , что

$\begin{multiline*} h ( d {} f f g ) = \\= c b_1 b_2 b_1 % a_1 a_2^2 a_1^2 a_2 a_1 w_1 w_2 b_1 b_2 b_1 w_3 w_4 a_1 a_2^2 a_1 a_1 a_2 a_1 w_1 w_2 b_1 b_2 b_1 w_3 w_4 b_1 b_2^2 b_1 a_1 a_2^3 a_1 w_5 w_6 b_1 b_2^3 b_1 c . \end{multiline*}$

Подходят слова

w₁ = c,
w₂ = c,
w₃ = cb₁b₂b₂b₁a₁a₂a₂a₂a₁cb₁b₂b₂b₁a₁a₂a₂a₂a₁a₁a₂a₂a₁c,
w₄ = cb₁b₂b₁c,
w₅ = cb₁b₂b₂b₁a₁a₂a₂a₂a₁a₁a₂a₂a₁c,
w₆ = c.

Теорема 11.3.3 (Теорема Хомского-Шютценберже). Язык $L \subseteq \Sigma^*$ является контекстно-свободным тогда и только тогда, когда существуют такие натуральное число n, автоматный язык L₁ над алфавитом $\Sigma_n^{(\textup{D})} = \{ a_1 , b_1 , a_2 , b_2 , \ldots , a_n , b_n \}$ и гомоморфизм $h \colon \bigl(\Sigma_n^{(\textup{D})}\bigr)^* \farrow \Sigma ^*$ , что $L = h ( L_n^{(\textup{D})} \cap L_1 )$ , где $L_n^{(\textup{D})}$ - язык Дика над 2n буквами.