НОУ ИНТУИТ | Математическая теория формальных языков. Лекция 11: Автоматы с магазинной памятью

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 09.07.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: свободно | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 34 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

10.2. Характеризация контекстно-свободных языков

Теорема 10.2.1. Если язык L является контекстно-свободным, то существует МП-автомат, распознающий этот язык.

Доказательство. Пусть язык L порождается контекстно-свободной грамматикой $\lalg N , \Sigma , P , S \ralg$ , в которой каждое правило имеет вид $A \tto w \beta$ , где $A \in N$ , $w \in \Sigma ^*$ и $\beta \in N ^*$ (в силу теоремы 8.8.3 такая грамматика существует). Положим $\Gamma = N$ , Q = {1,2} , I = {1} , F = {2} и

$\Delta = \{ \lp \lp 1 , \varepsilon , \varepsilon \rp , \lp 2 , S \rp \rp \} \cup \{ \lp \lp 2 , w , A \rp , \lp 2 , \beta \rp \rp \mid ( A \tto w \beta ) \in P \} .$

Можно доказать, что $\lp 2 , u , S \rp \overstar{\vdash} \lp 2 , \varepsilon , \alpha \rp$ тогда и только тогда, когда существует левосторонний вывод $\smash[b]{ S \overstar{\lmarrow} u \alpha }$ (здесь $u \in \Sigma^*$ и $\alpha \in N^*$ ).

Пример 10.2.2. Пусть $\Sigma = \{ a , b , c , d \}$ . Контекстно-свободная грамматика

$\begin{align*} S \; & {\to} \; SS , \\ S \; & {\to} \; a , \\ S \; & {\to} \; bcTS , \\ T \; & {\to} \; cSS , \\ T \; & {\to} \; dTT \end{align*}$

и МП-автомат $\lalg \{ 1 , 2 \} , \Sigma , \{ S , T \} , \Delta , \{ 1 \} , \{ 2 \} \ralg$ , где

$\begin{multiline*} \Delta = \{ \lp \lp 1 , \varepsilon , \varepsilon \rp , \lp 2 , S \rp \rp ,\ \lp \lp 2 , \varepsilon , S \rp , \lp 2 , SS \rp \rp ,\ \lp \lp 2 , a , S \rp , \lp 2 , \varepsilon \rp \rp ,\ \\ \lp \lp 2 , bc , S \rp , \lp 2 , TS \rp \rp ,\ \lp \lp 2 , c , T \rp , \lp 2 , SS \rp \rp ,\ \lp \lp 2 , d , T \rp , \lp 2 , TT \rp \rp \} , \end{multiline*}$

$\objectwidth={5mm} \objectheight={5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle \xymatrix { *=[o][F-]{1} \ar @`{+/l16mm/} [] ^{} \ar "1,3" ^{\varepsilon,\varepsilon:S} & & *=[o][F=]{2} \rloop{-1,1} ^*!/r4mm/{\varepsilon,S:SS} \rloop{3,7} ^{a,S:\varepsilon} \rloop{1,0} ^{bc,S:TS} \rloop{3,-7} ^{c,T:SS} \rloop{-1,-1} ^*!/r4mm/{d,T:TT} }$

задают один и тот же язык.

Лемма 10.2.3. Каждый МП-автомат эквивалентен некоторому МП-автомату $\lalg Q , \Sigma , \Gamma , \Delta , I , F \ralg$ , где |I| = 1, |F| = 1 и каждый переход $\lp \lp p , x , \beta \rp , \lp q , \gamma \rp \rp \in \Delta$ удовлетворяет требованиям $| x | \leq 1$ и $| \beta | + | \gamma | = 1$ .

Пример 10.2.4. Рассмотрим МП-автомат $M \peq \lalg Q , \Sigma , \Gamma , \Delta , I , F \ralg$ , где $Q \peq I \peq F \peq \{ 1 \}$ , $\Sigma \peq \{ a , b , c , d \}$ , $\Gamma \peq \{ A , B \}$ ,

$\begin{multiline*} \Delta \peq \{ \lp \lp 1 , a , A \rp , \lp 1 , \varepsilon \rp \rp ,\ \lp \lp 1 , b , B \rp , \lp 1 , \varepsilon \rp \rp ,\ \\ \lp \lp 1 , c , \varepsilon \rp , \lp 1 , A \rp \rp ,\ \lp \lp 1 , d , A \rp , \lp 1 , AB \rp \rp \} . \end{multiline*}$

$\objectwidth={5mm} \objectheight={5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle \xymatrix { *=[o][F=]{1} \ar @`{+/l16mm/} [] ^{} \rloop{-1,-1} ^*!/r3mm/{a,A:\varepsilon} \rloop{-1,1} ^*!/r3mm/{b,B:\varepsilon} \rloop{1,1} ^*!/l3mm/{c,\varepsilon:A} \rloop{1,-1} ^*!/l3mm/{d,A:AB} }$

Он эквивалентен МП-автомату $M' \peq \lalg Q' , \Sigma , \Gamma , \Delta' , I , F \ralg$ , где $Q' \peq \{ 1 , 2 , 3 \}$ и

$\begin{multiline*} \Delta' = \{ \lp \lp 1 , a , A \rp , \lp 1 , \varepsilon \rp \rp ,\ \lp \lp 1 , b , B \rp , \lp 1 , \varepsilon \rp \rp ,\ \lp \lp 1 , c , \varepsilon \rp , \lp 1 , A \rp \rp ,\ \\ \lp \lp 1 , d , A \rp , \lp 2 , \varepsilon \rp \rp ,\ \lp \lp 2 , \varepsilon , \varepsilon \rp , \lp 3 , B \rp \rp ,\ \lp \lp 3 , \varepsilon , \varepsilon \rp , \lp 1 , A \rp \rp \} . \end{multiline*}$

$\objectwidth={5mm} \objectheight={5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle \xymatrix { *=[o][F=]{1} \ar @`{+/l16mm/} [] ^{} \rloop{-1,-1} ^*!/r3mm/{a,A:\varepsilon} \rloop{-1,1} ^*!/r3mm/{b,B:\varepsilon} \rloop{1,1} ^*!/l3mm/{c,\varepsilon:A} \ar "1,3" ^{d,A:\varepsilon} & & *=[o][F-]{2} \ar "2,2" ^{\varepsilon,\varepsilon:B} \\ % & *=[o][F-]{3} \ar "1,1" ^{\varepsilon,\varepsilon:A} & }$

Пример 10.2.5. Рассмотрим МП-автомат $M \peq \lalg Q , \Sigma , \Gamma , \Delta , I , F \ralg$ , где $Q \peq I \peq F \peq \{ 1 \}$ , $\Sigma \peq \{ a , b , c \}$ , $\Gamma \peq \{ A \}$ ,

$\Delta \peq \{ \lp \lp 1 , a , \varepsilon \rp , \lp 1 , A \rp \rp ,\ \lp \lp 1 , b , A \rp , \lp 1 , \varepsilon \rp \rp ,\ \lp \lp 1 , c , \varepsilon \rp , \lp 1 , \varepsilon \rp \rp \} .$

$\objectwidth={5mm} \objectheight={5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle \xymatrix { *=[o][F=]{1} \ar @`{+/l16mm/} [] ^{} \rloop{0,1} ^{a,\varepsilon:A} \rloop{1,0} ^{b,A:\varepsilon} \rloop{0,-1} ^{c,\varepsilon:\varepsilon} }$

Он эквивалентен МП-автомату $M' \peq \lalg Q' , \Sigma , \Gamma' , \Delta' , I , F \ralg$ , где $Q' \peq \{ 1 , 2 \}$ , $\Gamma' \peq \{ A , T \}$ и

$\begin{multiline*} \Delta' \peq \{ \lp \lp 1 , a , \varepsilon \rp , \lp 1 , A \rp \rp ,\ \lp \lp 1 , b , A \rp , \lp 1 , \varepsilon \rp \rp ,\ \\ \lp \lp 1 , c , \varepsilon \rp , \lp 2 , T \rp \rp ,\ \lp \lp 2 , \varepsilon , T \rp , \lp 1 , \varepsilon \rp \rp \} . \end{multiline*}$

$\objectwidth={5mm} \objectheight={5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle \xymatrix { *=[o][F=]{1} \ar @`{+/l16mm/} [] ^{} \rloop{0,1} ^{a,\varepsilon:A} \rloop{1,0} ^{b,A:\varepsilon} \ar "2,1" <0.6mm> ^{c,\varepsilon:T} \\ *=[o][F-]{2} \ar "1,1" <0.6mm> ^{\varepsilon,T:\varepsilon} }$

Пример 10.2.6. Рассмотрим МП-автомат $M \peq \lalg Q , \Sigma , \Gamma , \Delta , I , F \ralg$ , где $Q \peq I \peq F \peq \{ 1 , 2 \}$ , $\Sigma \peq \{ a , b \}$ , $\Gamma \peq \{ C \}$ ,

$\begin{multiline*} \Delta \peq \{ \lp \lp 1 , a , \varepsilon \rp , \lp 1 , C \rp \rp ,\ \lp \lp 1 , b , C \rp , \lp 1 , \varepsilon \rp \rp ,\ \\ \lp \lp 2 , b , \varepsilon \rp , \lp 2 , C \rp \rp ,\ \lp \lp 2 , a , C \rp , \lp 2 , \varepsilon \rp \rp \} . \end{multiline*}$

$\objectwidth={5mm} \objectheight={5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle \xymatrix { *=[o][F=]{1} \ar @`{+/l16mm/} [] ^{} \rloop{0,1} ^{a,\varepsilon:C} \rloop{0,-1} ^{b,C:\varepsilon} & \\ % & *=[o][F=]{2} \ar @`{+/l16mm/} [] ^{} \rloop{0,1} ^{a,\varepsilon:C} \rloop{0,-1} ^{a,C:\varepsilon} }$

Он эквивалентен МП-автомату $M' \peq \lalg Q' , \Sigma , \Gamma' , \Delta' , I' , F' \ralg$ , где $Q' \peq \{ 0 , 1 , 2 , 3 \}$ , $\Gamma' \peq \{ A , T \}$ , $I' \peq \{ 0 \}$ , $F' \peq \{ 3 \}$ ,

$\begin{multiline*} \Delta' \peq \Delta \cup \{ \lp \lp 0 , \varepsilon , \varepsilon \rp , \lp 1 , T \rp \rp ,\ \lp \lp 0 , \varepsilon , \varepsilon \rp , \lp 2 , T \rp \rp ,\ \\ \lp \lp 1 , \varepsilon , T \rp , \lp 3 , \varepsilon \rp \rp ,\ \lp \lp 2 , \varepsilon , T \rp , \lp 3 , \varepsilon \rp \rp \} . \end{multiline*}$

$\objectwidth={5mm} \objectheight={5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle \xymatrix { % & *=[o][F-]{1} \rloop{0,1} ^{a,\varepsilon:C} \rloop{0,-1} ^{b,C:\varepsilon} \ar "1,4" ^{\varepsilon,T:\varepsilon} & & *=[o][F=]{3} \\ *=[o][F-]{0} \ar @`{+/l16mm/} [] ^{} \ar "1,2" ^{\varepsilon,\varepsilon:T} \ar "2,3" _{\varepsilon,\varepsilon:T} & & *=[o][F-]{2} \rloop{0,1} ^{a,\varepsilon:C} \rloop{0,-1} ^{a,C:\varepsilon} \ar "1,4" _{\varepsilon,T:\varepsilon} & }$

Теорема 10.2.7. Если язык L распознается некоторым МП-автоматом, то L является контекстно-свободным.

Доказательство. Пусть язык L распознается МП-автоматом $\lalg Q , \Sigma , \Gamma , \Delta , I , F \ralg$ . Без ограничения общности можно считать, что $I = \{ \qinitial \}$ , $F = \{ \qaccept \}$ и каждый переход $\lp \lp p , x , \beta \rp , \lp q , \gamma \rp \rp \in \Delta$ удовлетворяет требованию $| \beta | + | \gamma | = 1$ . Построим искомую контекстно-свободную грамматику $\lalg N , \Sigma , P , S \ralg$ , положив $N = \{ A_{p,q} \mid p \in Q \commaand q \in Q \}$ , $S = A_{ \qinitial , \qaccept }$ и

$\begin{align*} P &= \{ A_{p,p} \tto \varepsilon \mid p \in Q \} \cup {} \\ &\myqquad \cup \{ A_{p,t} \tto x A_{q,r} y A_{s,t} \mid \lp \lp p , x , \varepsilon \rp , \lp q , C \rp \rp \in \Delta ,\ \\ &\myqquad \hphantom{ {} \cup {} \{ } %\} \lp \lp r , y , C \rp , \lp s , \varepsilon \rp \rp \in \Delta ,\ C \in \Gamma \commaand t \in Q \} . \end{align*}$

Можно доказать, что $\lp p , x , \varepsilon \rp \overstar{\vdash} \lp q , \varepsilon , \varepsilon \rp$ тогда и только тогда, когда $A_{p,q} \overstar{\Rightarrow} x$ (здесь $x \in \Sigma ^*$ ).

Пример 10.2.8. МП-автомат $M = \lalg \{ 1 , 2 \} , \Sigma , \Gamma , \Delta , \{ 1 \} , \{ 2 \} \ralg$ , где $\Sigma = \{ a , b \}$ , $\Gamma = \{ D , E \}$ ,

$\begin{multiline*} \Delta = \{ \lp \lp 1 , ab , \varepsilon \rp , \lp 1 , E \rp \rp ,\ \lp \lp 1 , aa , E \rp , \lp 1 , \varepsilon \rp \rp ,\ \lp \lp 1 , b , \varepsilon \rp , \lp 2 , D \rp \rp ,\ \\ \lp \lp 2 , a , \varepsilon \rp , \lp 1 , D \rp \rp ,\ \lp \lp 2 , \varepsilon , D \rp , \lp 2 , \varepsilon \rp \rp ,\ \lp \lp 2 , b , E \rp , \lp 2 , \varepsilon \rp \rp \} , \end{multiline*}$

$\objectwidth={5mm} \objectheight={5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle \xymatrix @=11mm{ *=[o][F-]{1} \ar @`{+/l16mm/} [] ^{} \rloop{0,1} ^{ab,\varepsilon:E} \rloop{0,-1} ^{aa,E:\varepsilon} \ar "1,2" <0.6mm> ^{b,\varepsilon:D} & *=[o][F=]{2} \ar "1,1" <0.6mm> ^{a,\varepsilon:D} \rloop{0,1} ^{\varepsilon,D:\varepsilon} \rloop{0,-1} ^{b,E:\varepsilon} }$

и контекстно-свободная грамматика

$\begin{align*} S \; & {\to} \; abTaaS , & T \; & {\to} \; abTaaT , \\ S \; & {\to} \; abSbU , & T \; & {\to} \; \varepsilon , \\ S \; & {\to} \; bUU , & U \; & {\to} \; aSU , \\ & & U \; & {\to} \; \varepsilon \end{align*}$

задают один и тот же язык. Здесь S, T и U соответствуют символам A_1,2, A_1,1 и A_2,2 из доказательства теоремы 10.2.7.

Упражнение 10.2.9. Найти МП-автомат, распознающий язык, порождаемый грамматикой

$\begin{align*} F \; & {\to} \; a F b , \\ F \; & {\to} \; a F a , \\ F \; & {\to} \; a . \end{align*}$

Упражнение 10.2.10. Найти контекстно-свободную грамматику, порождающую язык $\{ w \in \{a,b\}^* \mid | w |_a = | w |_b \}$

Упражнение 10.2.10. Найти контекстно-свободную грамматику, порождающую язык $\{ w \in \{a,b\}^* \mid | w |_a \geq | w |_b \}$

Упражнение 10.2.10. Найти контекстно-свободную грамматику, порождающую язык $\{ w \in \{a,b\}^* \mid | w |_a = 2 | w |_b \}$

Дальше >>

Математическая теория формальных языков

Математическая теория формальных языков

Автоматы с магазинной памятью

10.2. Характеризация контекстно-свободных языков

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Математическая теория формальных языков

Математическая теория формальных языков

Автоматы с магазинной памятью

10.2. Характеризация контекстно-свободных языков

Вопросы и ответы

Студенты