НОУ ИНТУИТ | Математическая теория формальных языков. Лекция 10: Основные свойства контекстно-свободных языков

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 09.07.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: свободно | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 34 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

9.6. Пересечение контекстно-свободного языка с автоматным языком

Теорема 9.6.1. Если L₁ - контекстно-свободный язык и L₂ - автоматный язык, то язык $L_1 \cap L_2$ является контекстно-свободным.

Доказательство. Пусть $\lalg N , \Sigma , P , S \ralg$ - контекстно-свободная грамматика, порождающая язык L₁. Без ограничения общности можно считать, что множество P содержит только правила вида $A \tto a$ и $A \tto \alpha$ , где $A \in N$ , $a \in \Sigma$ и $\alpha \in N ^*$ (см. теорему 8.3.3). Пусть $\lalg Q , \Sigma , \Delta , I , F \ralg$ - конечный автомат, распознающий язык L_2. Без ограничения общности можно считать, что для каждого перехода $\lp p , x , q \rp \in \Delta$ выполняется равенство |x| = 1 (см. лемму 2.3.3).

Построим контекстно-свободную грамматику $\lp \overline N , \Sigma , \overline P , \overline S \rp$ , порождающую язык $L_1 \cap L_2$ . Положим

$\begin{align*} \overline N &= \{ \overline S \} \cup ( Q \times N \times Q ) , \\ \overline P &= \{ \overline S \tto \lp p , S , q \rp \mid p \in I \commaand q \in F \} \cup {} \\ &\myqquad \cup \{ \lp p , A , q \rp \tto a \mid \lp p , a , q \rp \in \Delta \commaand ( A \tto a ) \in P \} \cup {} \\ &\myqquad \cup \{ \lp p_0 , A , p_n \rp \tto \lp p_0 , B_1 , p_1 \rp \ldots \lp p_{n-1} , B_n , p_n \rp \mid {} \\ &\myqquad \hphantom{ {} \cup {} \{ } %\} ( A \tto B_1 \ldots B_n ) \in P ,\ p_0 \in Q , \ldots ,\ p_n \in Q \} , \end{align*}$

где $\overline S$ - новый символ (не принадлежащий множеству $Q \times N \times Q$ ).

Пример 9.6.2. Пусть $\Sigma = \{ a , b , c \}$ . Рассмотрим контекстно-свободный язык L₁, порождаемый грамматикой

$\begin{align*} S \; & {\to} \; a , \\ S \; & {\to} \; b S , \\ S \; & {\to} \; c S S , \end{align*}$

и автоматный язык L₂, распознаваемый конечным автоматом $M \peq \lalg Q , \Sigma , \Delta , I , F \ralg$ , где Q = {1,2}, I = {1}, F = {2},

$\Delta = \{ \lp 1 , a , 2 \rp ,\ \lp 1 , c , 2 \rp ,\ \lp 2 , a , 1 \rp ,\ \lp 2 , b , 1 \rp \} .$

$\objectwidth={5mm} \objectheight={5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle \xymatrix { *=[o][F-]{1} \ar @`{+/l16mm/} [] ^{} \ar `ur_r{+/u7mm/}`r_dr{[0,2]}^{c} "1,3" \ar "1,3" <0.6mm> ^{a} & & *=[o][F=]{2} \ar "1,1" <0.6mm> ^{a} \ar `dl_l{+/d7mm/}`l_ul{[0,-2]}^{b} "1,1" }$

Тогда язык $L_1 \cap L_2$ порождается контекстно-свободной грамматикой

$\begin{align*} \overline S \; & {\to} \; S_{12} , & S_{11} \; & {\to} \; c S_{21} S_{11} , \\ S_{12} \; & {\to} \; a , & S_{11} \; & {\to} \; c S_{22} S_{21} , \\ S_{21} \; & {\to} \; a , & S_{12} \; & {\to} \; c S_{21} S_{12} , \\ S_{21} \; & {\to} \; b S_{11} , & S_{12} \; & {\to} \; c S_{22} S_{22} . \\ S_{22} \; & {\to} \; b S_{12} , \end{align*}$

Здесь S₁₁, S₁₂, S₂₁ и S₂₂ соответствуют символам $\lp 1 , S , 1 \rp$ , $\lp 1 , S , 2 \rp$ , $\lp 2 , S , 1 \rp$ и $\lp 2 , S , 2 \rp$ из доказательства теоремы 9.6.1.

Теорема 9.6.3*. Если L₁ - линейный язык и L₂ - автоматный язык, то язык $L_1 \cap L_2$ является линейным.

Пример 9.6.4*. Пусть $\Sigma = \{ a , b \}$ . Рассмотрим линейный язык L₁, порождаемый грамматикой

$\begin{align*} S \; & {\to} \; aaSaa , \\ S \; & {\to} \; bSb , \\ S \; & {\to} \; \varepsilon , \end{align*}$

и автоматный язык L₂, распознаваемый конечным автоматом $M \peq \lalg Q , \Sigma , \Delta , I , F \ralg$ , где Q = {1,2,3}, I = {1}, F = {3},

$\Delta = \{ \lp 1 , a , 1 \rp ,\ \lp 1 , b , 1 \rp ,\ \lp 1 , a , 2 \rp ,\ \lp 2 , b , 3 \rp ,\ \lp 3 , a , 3 \rp ,\ \lp 3 , b , 3 \rp \} .$

$\objectwidth={5mm} \objectheight={5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle \xymatrix { *=[o][F-]{1} \ar @`{+/l16mm/} [] ^{} \rloop{0,1} ^{a} \rloop{0,-1} ^{b} \ar "1,2" ^{a} & *=[o][F-]{2} \ar "1,3" ^{b} & *=[o][F=]{3} \rloop{0,1} ^{a} \rloop{0,-1} ^{b} }$

Тогда язык $L_1 \cap L_2$ порождается контекстно-свободной грамматикой

$\begin{align*} \overline S \; & {\to} \; S_{13} , & S_{11} \; & {\to} \; b S_{11} b , \\ S_{11} \; & {\to} \; aa S_{11} aa , & S_{13} \; & {\to} \; b S_{13} b , \\ S_{12} \; & {\to} \; aa S_{11} aa , & S_{13} \; & {\to} \; b S_{12} b , \\ S_{13} \; & {\to} \; aa S_{13} aa , & S_{23} \; & {\to} \; b S_{33} b , \\ S_{13} \; & {\to} \; aa S_{23} aa , & S_{33} \; & {\to} \; b S_{33} b , \\ S_{33} \; & {\to} \; aa S_{33} aa , & S_{11} \; & {\to} \; \varepsilon , \\ & & S_{33} \; & {\to} \; \varepsilon . \end{align*}$

Эту грамматику можно упростить, заменив S₁₁ и S₃₃ на один символ.

Упражнение 9.6.5. Найти контекстно-свободную грамматику для языка $L_1 \cap L_2$ , где L₁ порождается грамматикой

$\begin{align*} F \; & {\to} \; a F a , \\ F \; & {\to} \; b F b , \\ F \; & {\to} \; \varepsilon , \end{align*}$

а язык L₂ порождается грамматикой

$\begin{align*} K \; & {\to} \; a M , & M \; & {\to} \; a K , \\ K \; & {\to} \; b K , & M \; & {\to} \; b K , \\ & & M \; & {\to} \; \varepsilon . \end{align*}$

Упражнение 9.6.6. Найти контекстно-свободную грамматику для языка $L_1 \cap L_2$ , где L₁ порождается грамматикой

$\begin{align*} F \; & {\to} \; a F a , \\ F \; & {\to} \; b F b , \\ F \; & {\to} \; \varepsilon , \end{align*}$

а язык L₂ порождается грамматикой

$\begin{align*} K \; & {\to} \; a M , & M \; & {\to} \; a K , \\ K \; & {\to} \; b M , & K \; & {\to} \; \varepsilon . \\ K \; & {\to} \; b K , \end{align*}$

Упражнение 9.6.7. Является ли контекстно-свободным язык $\{ a^n b^n a^k b^n \mid n \geq 0 ,\ k \geq 0 \}$

Упражнение 9.6.8. Является ли контекстно-свободным язык $\{ (ab)^{n^2} \mid n \geq 0 \} \cup \{ aaw \mid w \in \{a,b\}^* \}$

Упражнение 9.6.9. Существует ли над алфавитом {a,b} такой линейный язык L, что язык $\{ ubv \mid u \in L ,\ uv \in L \}$ не является контекстно-свободным?

Дальше >>

Математическая теория формальных языков

Математическая теория формальных языков

Основные свойства контекстно-свободных языков

9.6. Пересечение контекстно-свободного языка с автоматным языком

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Математическая теория формальных языков

Математическая теория формальных языков

Основные свойства контекстно-свободных языков

9.6. Пересечение контекстно-свободного языка с автоматным языком

Вопросы и ответы

Студенты