Финансовые ренты
6.3.2 Ренты с начислением процентов m раз в год
Годовая рента
В этом случае платеж R выполняется в конце каждого года, а проценты начисляются m раз в год по ставке , то есть каждый раз начисляется . Изобразим такую ренту на оси времени:
Вычислим наращенную к моменту n сумму этой ренты.
Последний платеж входит в наращенную сумму без изменения. Предпоследний платеж делается за 1 год до момента n, и на него начисляются сложные проценты m раз по ставке , то есть наращенная на этот платеж сумма в момент n будет равна
Третий от конца платеж делается за 2 года до момента n, и наращенная на этот платеж сумма в момент n будет равна Первый платеж делается за n-1 год до момента n, следовательно, в момент n наращенная на него сумма будет равна
Для вычисления наращенной суммы платежей мы применяли формулу из лекции 3. Наращенная сумма ренты состоит из наращенных сумм платежей:
Слагаемые этой суммы являются членами геометрической прогрессии с первым членом , знаменателем и числом членов k=n. Применим формулу (6.3) и получим:
Разделив числитель и знаменатель последней дроби на и применив обозначение из формулы (6.4), получим:
Рассмотрим пример на вычисление наращенной суммы ренты по формуле (6.8). Он отличается от примера 54 только тем, что банк начисляет проценты 4 раза в год.
Пример 57. Фирма для создания фонда помощи ветеранам труда вкладывает в конце каждого года по 250 000 руб. в банк, выплачивающий проценты по ставке . Какая сумма будет на счёте фонда через 5 лет?
Решение. Вклады в банк образуют ренту, для которой R=250 000 руб., m=4, , . Вычисляем наращенную сумму ренты по формуле (6.8), подставляя в нее
Сравнивая ответ, полученный в примере 57, с ответом примера 54, находим, что начисление банком процентов 4 раза в год привело к увеличению наращенной суммы ренты на 7 129.54 руб.
p-срочная рента
В этом случае платежи производятся p раз каждый год через равные промежутки времени. Каждый платеж равен R/p. Проценты начисляются mраз в год по ставке , то есть процент за один период равен . На оси времени эту ренту можно изобразить так же, как в п. 6.3.1. Найдем наращенную сумму этой ренты в момент n.
На последний платеж проценты не начисляются, и он входит в наращенную сумму без изменения, то есть в размере R/p. На предпоследний платеж начисляются проценты по ставке за период, равный 1/p части года, и наращенная к моменту n на этот платеж сумма равна
На второй с конца платеж начисляются проценты по ставке за период, равный 2/p части года, и наращенная к моменту n на этот платеж сумма равна
Последний платеж делается за лет до момента n, то есть наращенная в момент n на этот платеж сумма равна:
Вся наращенная на ренту сумма равна:
Слагаемые этой суммы являются членами геометрической прогрессии с первым членом , знаменателем
и числом членов k=np. Эта сумма равна:
Разделив числитель и знаменатель последней дроби на , получим формулы:
Заметим, что функция была определена при выводе формулы (6.2) только для целых значений n (n - число членов ренты). Так как значения m/p могут быть нецелыми, будем считать теперь, что эта функция определена при любых положительных значениях n. Теперь мы можем переписать последнее равенство в более компактном виде:
Рассмотрим пример на вычисление наращенной суммы ренты по формуле (6.9). Он отличается от примера 57 только тем, что годовая сумма денег, которую фирма кладет на счет в банк, разбивается на два равных платежа.
Пример 58. Фирма для создания фонда помощи ветеранам труда вкладывает два раза в год по 125 000 руб. в банк, выплачивающий проценты по ставке . Какая сумма будет на счете фонда через 5 лет?
Решение. Вклады в банк образуют ренту, для которой R=250 000 руб. , m=4, ,
Вычисляем наращенную сумму ренты по формуле (6.9), подставляя в нее
Сравнивая ответ, полученный в примере 58, с ответом примера 57, находим, что разбиение годовой суммы на два равных платежа привело к увеличению наращенной суммы ренты на 29 770.29 руб.
В учебнике [5] рассмотрен также частный случай p-срочной ренты при p=m. В этом случае формула (6.9) может быть упрощена и принимает вид:
В финансовых моделях используются также ренты с непрерывным начислением процентов - годовые, p-срочные и с периодом больше года. Формулы для наращенных сумм таких рент похожи для уже рассмотренных в этой лекции. В случае годовой ренты имеет место формула:
а для p-срочной ренты имеет место формула: