НОУ ИНТУИТ | Элементы финансовой математики. Лекция 2: Простые проценты

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 24.09.2017 | Уровень: для всех | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 33 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

2.9 Эквивалентность учетной и процентной ставок

Продолжим обсуждение формулы, которую банк использует при учёте векселя:

$P=S(1-td)\;.$

Для банка, учитывающего вексель на сумму S, учётная стоимость векселя P является приведенной стоимостью суммы S, которую банк получит от векселедателя при погашении векселя. Погашение векселя произойдет через срок t. При обычном инвестировании ситуация противоположная: известна начальная сумма P, на которую начисляется процент r, а конечная сумма S вычисляется по формуле

$S=P(1+tr)\;.$

Предположим, что t=1, то есть рассматривается период, равный одному году. Тогда имеем следующие формулы для процентных ставок начисления и учёта:

$r=\displaystyle\frac{S-P}{P}\;,\ d=\displaystyle\frac{S-P}{S}\,\,\, (2.7)$

Преобразуем формулы (2.7) к виду:

$\displaystyle\frac{S}{P}\,=\,1+r\;,\ \displaystyle\frac{P}{S}\,=\,1-d\,\,\, (2.8)$

Из формул (2.8) получаем формулы, связывающие значения r и d (за один год), которые часто называют условиями эквивалентности учётной и процентной ставок:

$\begin{equation} r=\displaystyle\frac{d}{1-d}\;,\ d=\displaystyle\frac{r}{1+r}\,\,\, (2.9) \end{equation}$

Графическое изображение зависимостей, выраженных формулами (2.9), приведено на рис. 3 и рис. 4.

Рис. 3. График зависимости d=r/(1+r)

Рис. 4. График зависимости r=d/(1-d)

Из формул (2.9) следует ещё одна интерпретация процента учета d. Пусть сумма S=1 хранится 1 год на депозите при процентной ставке r. В конце года сумма процентов на S будет равна r. Приведенное значение суммы процентов r будет равно

$\displaystyle\frac{r}{1+r}\,=\,d\,\,\, (2.10)$

Следовательно, можно считать, что дисконт d является суммой процентов, которые выплачиваются не в конце, а в начале периода.

Таким образом, различие между процентной и учетной ставками в том, что они оценивают один и тот же поток платежей относительно разных моментов времени. Для процентной ставки это начало периода, для учетной - конец периода. Рассмотрим пример.

Пример 31. Вычислим приведённую стоимость 10 000 руб., получаемых через год: а) при процентной ставке $r\,=\,10\%$ ; б)при учетной ставке $d\,=\,10\%$ .

Решение. При процентной ставке $r\,=\,10\%$ получаем:

$P=\displaystyle\frac{S}{1+rt}\,=\,\displaystyle\frac{10\,000} {1+0.1}\,=\,9\,090.91 \mbox{ руб.}$

При при учетной ставке $d\,=\,10\%$ получаем:

$P=S(1-dt)\,=\,10\,000(1-0.1)\,=\,9\,000\mbox{ руб. }$

Необходимо помнить, что эквивалентность процентной и учетной ставок устанавливается только для определенного периода времени t. Формулы (16) получены при t=1 . В общем случае они принимают вид:

$r=\displaystyle\frac{d}{1-dt}\;,\ d=\displaystyle\frac{r}{1+rt}\,\,\, (2.11)$

2.10 Влияние инфляции на ставку процента

Интересно рассмотреть одновременное влияние процессов дисконтирования по ставке r и инфляции по ставке i за один период. Инфляция, определяемая на микроэкономическом уровне как общий уровень роста цен типичной потребительской корзины (CPI - Consumer Price Index), означает, что на сегодняшние деньги вы сможете купить в 1+i раз меньше товара в конце периода. В результате современная сумма P эквивалентна по покупательной способности сумме S, определяемой формулой:

В этих обстоятельствах величину наращенного процента можно рассчитывать как в реальных деньгах - номинальный процент, так и по покупательной способности (с поправкой на инфляцию) - реальный процент.

Ясно, что при наличии инфляции ставка номинального процента больше ставки реального процента. Номинальный процент должен использоваться в вычислениях в реальных терминах (без поправки на инфляцию). Реальный процент используется, если данные специальным образом очищены от влияния инфляции.

Пусть сначала r - номинальный процент. Тогда после дисконтирования получаем:

$P={S\frac{1+r}{1+i}}={S\left(1+\frac{r-i}{1+i}\right)}\;.$

Если величина инфляции невелика, то $1+i\approx 1$ , откуда верна следующая приближенная формула:

Следует заметить, что в условиях, характерных для России последнего десятилетия XX века, когда величина i менялась порой от тысяч до многих десятков процентов в год, пользоваться последней формулой было нельзя.

При переходе к рассмотрению реального процента r_1 следует учесть, что величина инфляции - ожидаемая величина, поэтому величина r_1 не может определяться нормативно - она получается в результате построения модели поведения инвестора. Простейшая модель Фишера утверждает, что номинальный процент r связан с реальным процентом r_1 с помощью формулы:

$1+r=(1+r_1)(1+i)\,\,\, (2.12)$

Согласно этой модели, норма процента полностью встроена в ценовой механизм. Номинальный процент включает в себя инфляционную премию, достаточную для того, чтобы кредитор получил компенсацию за уменьшенную покупательную способность будущих денег. Важно подчеркнуть, что номинальный процент строится на прогнозе, а не на историческом анализе инфляции за прошедший период. Фактические величины инфляции за предыдущий период играют роль для оценки инфляции на следующий период, но вовсе не основную.

Имеются и более сложные модели, учитывающие, например, разницу в ставках налогообложения - в этом случае разные группы инвесторов будут описываться различными моделями.

При высокой инфляции и отсутствии на рынке инструментов с достаточной номинальной доходностью получаем ситуацию с отрицательной реальной нормой процента, имевшую место в России, например, в 1993 г. (см. дискуссию в журнале "Экономика и математические методы" за 1994 г.). Рассмотрим два простых численных примера.

Пример 32. В начале 1996 г. ожидаемая годовая инфляция в России находилась на уровне i=50% . Годовой сертификат Сбербанка на сумму 1 млн. руб. давал номинальную доходность r=90% (это то, что было прямо написано на сертификате). Посчитаем реальную доходность сертификата.

Решение. Для вычисления реального процента применим формулу (2.12):

$r_1=\frac{r-i}{1+i}=\frac{0.90-0.50}{1+0.50}=0.267=26.7\%$

Заметим, что для реального процента в надежном банке это очень много, что означает встроенность в предлагаемый процент рисковой премии.

Пример 33. В рассматриваемый год ожидаемая инфляция составляет 20%. Определим, какую номинальную годовую процентную ставку следует установить по вкладам в банке, чтобы реальная годовая ставка r_1 равнялась 5%.

Решение. Значение номинальной годовой процентной ставки найдем из формулы (2.12):

$r=(1+r_1)(1+i)-1=(1+0.05)(1+0.20)-1=0.26=26\%$

Список ключевых терминов

Вексель - ценная бумага, являющаяся простейшим типом долгового обязательства.

Дисконт - процентный доход, вычитаемый из ссуды в момент её выдачи.

Инфляция - снижение покупательной способности денег.

Номинальная ставка процента - ставка процента, зафиксированная в финансовом договоре.

Приведённая ценность - ценность потока платежей в определённый момент времени с учётом дисконтирования.

Простой процент - схема начисления процентов, при которой базой в течении всего рассматриваемого периода является исходная сумма.

Процентный пункт - единица, применяемая для сравнения величин, выраженных в процентах.

Реальная ставка процента - процентная ставка с учётом инфляции.

Учёт векселя - покупка банком или специализированными кредитными учреждениями векселя до наступления срока его оплаты.

Учётная ставка - процентная ставка, применяемая при учёте векселя.

Эквивалентные контракты - контракты, имеющие равные приведённые ценности потоков платежей по этим контрактам.

Краткие итоги

В лекции рассмотрено применение простого процента в задачах оценивания следующих финансовых объектов и операций с ними: банковский депозит, вексель, финансовый контракт.

Дальше >>

Элементы финансовой математики

Элементы финансовой математики

Простые проценты