Приложение 1: Векторное пространство

В отличие от традиционных курсов не будем использовать определение векторного пространства как некоторого множества объектов, на котором выполняются некоторые аксиомы. Вместо этого определим сразу n-мерные векторы как столбцы, состоящие из вещественных чисел, которые записаны в определенном порядке и которые в дальнейшем будем обозначать следующим образом:

Действительные числа называются координатами (компонентами) вектора .

Два вектора и считаются равными, если равны их соответствующие координаты

Для заданных в такой форме векторов определены две линейные операции:

1. операция сложения, которая выполняется в следующем виде:
   

   
   
2. умножение вектора на действительное число
   

   
   

При этом предполагается, что справедливы следующие аксиомы, характеризующие свойства векторного пространства:

1. коммутативность сложения ;
2. коммутативность произведения ;
3. ассоциативность сложения ;
4. ассоциативность произведения ;
5. дистрибутивность умножения относительно сложения
   
6. дистрибутивность ;
7. наличие такого нулевого вектора, что для любого ;
8. для любого ;
9. для любого .

Множество всех -мерных векторов с определенными на нем операциями сложения и умножения на действительное число называется n-мерным векторным пространством и обозначается .

Линейной комбинацией векторов в пространстве называется выражение вида

Система векторов называется линейно независимой, если равенство

(1)

выполняется только в том случае, когда все равны нулю. Если же существует набор коэффициентов , в котором хотя бы одно значение коэффициента отлично от нуля, при котором выполняется равенство (1), то такая система называется линейно зависимой. В случае линейной зависимости системы любой из ее векторов может быть представлен в виде линейной комбинации остальных.

Совокупность линейно независимых векторов называется базисом пространства , если любой вектор этого пространства может быть представлен в виде линейной комбинации этих векторов

(2)

При этом равенство (2) называется разложением вектора по базису , а числа координатами вектора в указанном базисе.

Наиболее важными являются следующие утверждения:

1. любой базис -мерного векторного пространства содержит ровно векторов. Число векторов, образующих базис, называется размерностью векторного пространства и обозначается ;
2. любой вектор -мерного векторного пространства раскладывается по заданному базису единственным образом.

Следствием первого утверждения является тот факт, что в любая система, состоящая из векторов, является линейно зависимой.

Некоторое подмножество линейного пространства называется линейным подпространством (или просто подпространством), если:

1. из следует, что для любых и ;
2. из следует, что при любом вещественном .

Очевидно, что .

Совокупность всех линейных комбинаций векторов называется линейной оболочкойэтих векторов.

В эконометрических моделях понятия вектора и векторного пространства являются необходимыми при рассмотрении организации исходных данных. Понятие линейной зависимости (линейной комбинации) составляет основу линейных регрессионных моделей. Ортогональность базисных переменных в значительной степени связана с интерпретацией их независимости в случае нормального распределения.