НОУ ИНТУИТ | Теория и практика параллельных вычислений. Лекция 8: Решение систем линейных уравнений

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 28.07.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 23 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

8.3.3. Анализ эффективности

Выберем для дальнейшего анализа эффективности получаемых параллельных вычислений параллельный алгоритм матрично-векторного умножения при ленточном горизонтальном разделении матрицы и при полном дублировании всех обрабатываемых векторов.

Трудоемкость последовательного метода сопряженных градиентов была уже определена ранее в (8.12).

Определим время выполнения параллельной реализации метода сопряженных градиентов. Вычислительная сложность параллельных операций умножения матрицы на вектор при использовании схемы ленточного горизонтального разделения матрицы составляет:

$T_p^1(calc)=2n\lceil n/p\rceil\cdot(2n-1)$

(см. "Параллельные методы умножения матрицы на вектор" ).

Как результат, при условии дублирования всех вычислений над векторами общая вычислительная сложность параллельного варианта метода сопряженных градиентов равна:

$T_p(calc)=n(2\cdot\lceil n/p\rceil\cdot(2n-1)+13n).$

С учетом полученных оценок показатели ускорения и эффективности параллельного алгоритма могут быть выражены при помощи соотношений:

$S_p=\frac{2n^3+13n^2}{n(2\lceil n/p\rceil\cdot(2n-1)+13n)}, \quad E_p=\frac{2n^3+13n^2}{p\cdot n(2\lceil n/p\rceil\cdot(2n-1)+13n)}$

Рассмотрев построенные показатели, можно отметить, что балансировка вычислительной нагрузки между процессорами в целом является достаточно равномерной.

Уточним теперь приведенные выражения – учтем длительность выполняемых вычислительных операций и оценим трудоемкость операции передачи данных между процессорами. Как можно заметить, информационное взаимодействие процессоров возникает только при выполнении операций умножения матрицы на вектор. С учетом результатов лекции 6 коммуникационная сложность рассматриваемых параллельных вычислений равна:

$T_p(comm)=2n(\alpha\cdot\lceil\log p\rceil+w(n/p)(p-1)/ \beta),$

где $\alpha$ – латентность, $\beta$ – пропускная способность сети передачи данных, а w есть размер элемента упорядочиваемых данных в байтах.

Окончательно, время выполнения параллельного варианта метода сопряженных градиентов для решения систем линейных уравнений принимает вид:

$T_p=n\cdot[(2\lceil n/p\rceil\cdot(2n-1)+13n)\cdot\tau+2(\alpha\cdot\lceil\log p\rceil+w(n/p)(p-1)/ \beta)]$

( 8.13)

где $\tau$ есть время выполнения базовой вычислительной операции.

8.3.4. Результаты вычислительных экспериментов

Вычислительные эксперименты для оценки эффективности параллельного варианта метода сопряженных градиентов для решения систем линейных уравнений проводились при условиях, указанных в п. 8.2.7.

Результаты вычислительных экспериментов приведены в таблице 8.3. Эксперименты проводились на вычислительных системах, состоящих из двух, четырех и восьми процессоров.

Таблица 8.3. Результаты вычислительных экспериментов для параллельного метода сопряженных градиентов для решения систем линейных уравнений
Размер матрицы	Последовательный алгоритм	Параллельный алгоритм
		2 процессора		4 процессора		8 процессоров
		Время	Ускорение	Время	Ускорение	Время	Ускорение
500	0,5	0,4634	1,0787	0,4706	1,0623	1,3020	0,3840
1000	8,14	3,9207	2,0761	3,6354	2,2390	3,5092	2,3195
1500	31,391	17,9505	1,7487	14,4102	2,1783	20,2001	1,5539
2000	92,36	51,3204	1,7996	40,7451	2,2667	37,9319	2,4348
2500	170,549	125,3005	1,3611	85,0761	2,0046	87,2626	1,9544
3000	363,476	223,3364	1,6274	146,1308	2,4873	134,1359	2,7097

Зависимость ускорения от количества процессоров при выполнении параллельного метода сопряженных градиентов для решения систем линейных уравнений

Рис. 8.6. Зависимость ускорения от количества процессоров при выполнении параллельного метода сопряженных градиентов для решения систем линейных уравнений

Сравнение времени выполнения эксперимента T^*_p и теоретической оценки T_p из (8.13) приведено в таблице 8.4 и на рис. 8.7.

Таблица 8.4. Сравнение экспериментального и теоретического времени выполнения параллельного метода сопряженных градиентов раешения системы линейных уравнений
Размер матрицы	2 процессора		4 процессора		8 процессоров
Размер матрицы
500	1,3042	0,4634	0,6607	0,4706	0,3390	1,3020
1000	10,3713	3,9207	5,2194	3,6354	2,6435	3,5092
1500	17,9505	17,5424	14,4102	8,8470	20,2001	34,9333
2000	82,7220	51,3204	41,4954	40,7451	20,8822	37,9319
2500	161,4695	125,3005	80,9446	85,0761	40,6823	87,2626
3000	278,9077	223,3364	139,7560	146,1308	70,1801	134,1359