Инспектор
Спонсор: Microsoft
Вы можете этот курс.
Опубликован: 02.02.2011 | Уровень: для всех | Доступ: платный
Лекция 32:
Динамические структуры данных: бинарные деревья
Описание бинарного дерева выглядит следующим образом:
struct имя_типа {
информационное поле;
[служебное поле;]
адрес левого поддерева;
адрес правого поддерева;
};где информационное поле – это поле любого ранее объявленного или стандартного типа;
адрес левого (правого) поддерева – это указатель на объект того же типа, что и определяемая структура, в него записывается адрес следующего элемента левого (правого) поддерева.
Например:
struct point {
int data;//информационное поле
int count; //служебное поле
point *left;//адрес левого поддерева
point *right;//адрес правого поддерева
};Основными операциями, осуществляемыми с бинарными деревьями, являются:
- создание бинарного дерева;
- печать бинарного дерева;
- обход бинарного дерева;
- вставка элемента в бинарное дерево;
- удаление элемента из бинарного дерева;
- проверка пустоты бинарного дерева;
- удаление бинарного дерева.
Для описания алгоритмов этих основных операций используется следующее объявление:
struct BinaryTree{
int Data; //поле данных
BinaryTree* Left; //указатель на левый потомок
BinaryTree* Right; /указатель на правый потомок
};
. . . . . . . . . .
BinaryTree* BTree = NULL;Приведем функции перечисленных основных операций при работе с бинарным деревом.
//создание бинарного дерева
void Make_Binary_Tree(BinaryTree** Node, int n){
BinaryTree** ptr;//вспомогательный указатель
srand(time(NULL)*1000);
while (n > 0) {
ptr = Node;
while (*ptr != NULL) {
if ((double) rand()/RAND_MAX < 0.5)
ptr = &((*ptr)->Left);
else ptr = &((*ptr)->Right);
}
(*ptr) = new BinaryTree();
cout << "Введите значение ";
cin >> (*ptr)->Data;
n--;
}
}
//печать бинарного дерева
void Print_BinaryTree(BinaryTree* Node, int l){
int i;
if (Node != NULL) {
Print_BinaryTree(Node->Right, l+1);
for (i=0; i< l; i++) cout << " ";
printf ("%4ld", Node->Data);
Print_BinaryTree(Node->Left, l+1);
}
else cout << endl;
}
//прямой обход бинарного дерева
void PreOrder_BinaryTree(BinaryTree* Node){
if (Node != NULL) {
printf ("%3ld",Node->Data);
PreOrder_BinaryTree(Node->Left);
PreOrder_BinaryTree(Node->Right);
}
}
//обратный обход бинарного дерева
void PostOrder_BinaryTree(BinaryTree* Node){
if (Node != NULL) {
PostOrder_BinaryTree(Node->Left);
PostOrder_BinaryTree(Node->Right);
printf ("%3ld",Node->Data);
}
}
//симметричный обход бинарного дерева
void SymmetricOrder_BinaryTree(BinaryTree* Node){
if (Node != NULL) {
PostOrder_BinaryTree(Node->Left);
printf ("%3ld",Node->Data);
PostOrder_BinaryTree(Node->Right);
}
}
//вставка вершины в бинарное дерево
void Insert_Node_BinaryTree(BinaryTree** Node,int Data) {
BinaryTree* New_Node = new BinaryTree;
New_Node->Data = Data;
New_Node->Left = NULL;
New_Node->Right = NULL;
BinaryTree** ptr = Node;//вспомогательный указатель
srand(time(NULL)*1000);
while (*ptr != NULL) {
double q = (double) rand()/RAND_MAX;
if ( q < 1/3.0) ptr = &((*ptr)->Left);
else if ( q > 2/3.0) ptr = &((*ptr)->Right);
else break;
}
if (*ptr != NULL) {
if ( (double) rand()/RAND_MAX < 0.5 )
New_Node->Left = *ptr;
else New_Node->Right = *ptr;
*ptr = New_Node;
}
else{
*ptr = New_Node;
}
}
//удаление вершины из бинарного дерева
void Delete_Node_BinaryTree(BinaryTree** Node,int Data){
if ( (*Node) != NULL ){
if ((*Node)->Data == Data){
BinaryTree* ptr = (*Node);
if ( (*Node)->Left == NULL && (*Node)->Right == NULL ) (*Node) = NULL;
else if ((*Node)->Left == NULL) (*Node) = ptr->Right;
else if ((*Node)->Right == NULL) (*Node) = ptr->Left;
else {
(*Node) = ptr->Right;
BinaryTree ** ptr1;
ptr1 = Node;
while (*ptr1 != NULL)
ptr1 = &((*ptr1)->Left);
(*ptr1) = ptr->Left;
}
delete(ptr);
Delete_Node_BinaryTree(Node,Data);
}
else {
Delete_Node_BinaryTree(&((*Node)->Left),Data);
Delete_Node_BinaryTree(&((*Node)->Right),Data);
}
}
}
//проверка пустоты бинарного дерева
bool Empty_BinaryTree(BinaryTree* Node){
return ( Node == NULL ? true : false );
}
//освобождение памяти, выделенной под бинарное дерево
void Delete_BinaryTree(BinaryTree* Node){
if (Node != NULL) {
Delete_BinaryTree(Node->Left);
Delete_BinaryTree(Node->Right);
delete(Node);
}
}
Листинг
.
Ключевые термины
Бинарное (двоичное) дерево – это дерево, в котором каждая вершина имеет не более двух потомков.
Вершина (узел) дерева – это каждый элемент дерева.
Ветви дерева – это направленные дуги, которыми соединены вершины дерева.
Высота (глубина) дерева – это количество уровней, на которых располагаются его вершины.
Дерево – это структура данных, представляющая собой совокупность элементов и отношений, образующих иерархическую структуру этих элементов.
Корень дерева – это начальный узел дерева, ему соответствует нулевой уровень.
Листья дерева – это вершины, в которые входит одна ветвь и не выходит ни одной ветви.
Неполное бинарное дерево – это дерево, уровни которого заполнены не полностью.
Нестрогое бинарное дерево – это дерево, у которого вершины имеют степень ноль (у листьев), один или два (у узлов).
Обход дерева – это упорядоченная последовательность вершин дерева, в которой каждая вершина встречается только один раз.
Поддерево – это часть древообразной структуры данных, которая может быть представлена в виде отдельного дерева.
Полное бинарное дерево – это дерево, которое содержит только полностью заполненные уровни.
Потомки – это все вершины, в которые входят ветви, исходящие из одной общей вершины.
Почти сбалансированное дерево – это дерево, у которого длины всевозможных путей от корня к внешним вершинам отличаются не более, чем на единицу.
Предок – это вершина, из которой исходят ветви к вершинам следующего уровня.
Сбалансированное дерево – это дерево, у которого длины всех путей от корня к внешним вершинам равны между собой.
Степень вершины – это количество дуг, которое выходит из этой вершины.
Степень дерева – это максимальная степень вершин, входящих в дерево.
Строгое бинарное дерево – это дерево, у которого вершины имеют степень ноль (у листьев) или два (у узлов).
Упорядоченное дерево – это дерево, у которого ветви, исходящие из каждой вершины, упорядочены по определенному критерию.
Уровень вершины – это количество дуг от корня дерева до вершины.
Краткие итоги
- Деревья являются одними из наиболее широко распространенных структур данных в программировании, которые представляют собой иерархические структуры в виде набора связанных узлов.
- Каждое дерево обладает следующими свойствами: существует узел, в который не входит ни одной дуги (корень); в каждую вершину, кроме корня, входит одна дуга.
- С понятием дерева связаны такие понятия, как корень, ветвь, вершина, лист, предок, потомок, степень вершины и дерева, высота дерева.
- Списочное представление деревьев основано на элементах, соответствующих вершинам дерева.
- Дерево можно упорядочить по указанному ключу.
- Просмотреть с целью поиска все вершины дерева можно с помощью различных способов обхода дерева.
- Наиболее часто используемыми обходами являются прямой, симметричный, обратный.
- В программировании при решении большого класса задач используются бинарные деревья.
- Бинарные деревья по степени вершин делятся на строгие и нестрогие, по характеру заполнения узлов – на полные и неполные, по удалению вершин от корня – на сбалансированные и почти сбалансированные.
- Основными операциями с бинарными деревьями являются: создание бинарного дерева; печать бинарного дерева; обход бинарного дерева; вставка элемента в бинарное дерево; удаление элемента из бинарного дерева; проверка пустоты бинарного дерева; удаление бинарного дерева.
- Бинарные деревья могут применяться для поиска данных в специально построенных деревьях (базы данных), сортировки данных, вычислений арифметических выражений, кодирования.
