Системы компьютерной алгебры

Решение уравнений, систем и неравенств

Mathematica включает в себя средства поиска корней различных типов уравнений и систем. Чаще всего для этих целей используется функция Solve[eqn, var], где eqn - уравнение или система, задаваемая списком уравнений, var - переменная или список переменных, которые требуется определить. Результат вычислений - список корней (возможно пустой).

Палитра Basic Calculations в разделе Algebra содержит несколько шаблонов для ввода функции Solve (пункт Solving Equations ). Обратите внимание, что левая и правые части уравнения соединяются символами ==, например,

Solve[3 x + 9 == 0, x]
Solve[x^2 + 2b*x + c == 0, x]
Solve[x^2 + 1 == 0, x]
Solve[{x==1+2a*y, y==9+2x}, 
      {x,y}]

Решения ищутся на множестве комплексных чисел, причем мнимая единица обозначается символом I. Для тригонометрических уравнений выдается только одно из бесконечного множества решений.

Программа позволяет также решать логарифмические и показательные уравнения. Натуральные логарифмы задаются функцией Log, а логарифмы по произвольному основанию n - в виде Log[n, expr], где expr - аргумент логарифмической функции, например, Log[2, 1024]. Для Эйлеровой константы (основания натурального логарифма) используется обозначение E.

Пример

Следующий фрагмент демонстрирует решение уравнения

In[12]:= Solve[Log[Sqrt[x]]==Sqrt[Log[x]], x]
Out[12]= {{x -> 1}, {x -> E^4}}

Для решения неравенств предварительно следует подключить дополнительный модуль расширения Algebra:

<<Algebra`InequalitySolve`

Имя функции, решающей неравенства, совпадает с названием подпакета - InequalitySolve. Для задания неравенств используют знаки > (строго больше), >= (больше или равно), < (строго меньше) и <= (меньше или равно), например,

In[13]:= InequalitySolve[x^2-1<0,x]
Out[13]= -1<x<1

In[14]:= InequalitySolve[x^2/(x^2-1)>=0,x]
Out[14]= x<-1 || x==0 || x>1

In[15]:= InequalitySolve[(2x-1)/(4(x+1))<Cos[5Pi/3],x]
Out[15]= x<-1

При решении неравенств, отличных от дробно-рациональных, система выдает предупреждение о возможном некорректном решении:

In[16]:= InequalitySolve[2^(x^2)>16,x]
InequalitySolve::"npi": "A nonpolynomial equation
       or inequality encountered. The solution
       set may be incorrect."
Out[16]= x<-2 || x>2

В тех случаях, когда невозможно решить заданное уравнение аналитически, можно приближенно вычислить значение корня следующим образом. Сначала при помощи функции Plot строятся графики левой и правой частей уравнения и по рисунку находится первое приближение x0. Затем для уточнения значения корня применяется функция FindRoot. Если L(x) и R(x) - соответственно левая и правая части уравнения, x - искомый корень, а x0 - его приближенное значение, определенное с помощью графика, то функция для поиска корня имеет вид:

FindRoot[L(x)==R(x), {x,x0}]

Пример

Найдем приближенное решение уравнения e^x=x². Построим графики функций e^x и x², выполнив команду Plot[{Exp[x], x^2}, {x, -1, 1}].

Мы получим изображение графиков функций e^x и x² на одном чертеже для значений аргумента x, изменяющегося на отрезке [-1,1].

Глядя на графики, видим, что в качестве начального приближения может быть взято значение x0 = -0.5.

Для уточнения решения нашего уравнения воспользуемся командой FindRoot[Exp[x]==x^2, {x, -0.5}] и получим приближенное значение корня x = -0.703467. Если требуется большая точность (но не более 16 знаков после запятой), то можно воспользоваться функцией N. Так, выполнив команду N[FindRoot[Exp[x]==x^2, {x, -0.5}], 16], мы получим приближенное значение корня с точностью до 16 знаков после запятой: x = -0.7034674295409824.

Пример

Как правило, тригонометрические уравнения имеют бесконечно много решений, поэтому можно указывать различные начальные приближения и получать приближенные значения разных корней уравнения. Так, выполнив команду FindRoot[Sin[x^2]==0, {x, 2}], найдем x = 1.77245, а изменив начальное приближение с 2.0 на 3.0, с помощью команды FindRoot[Sin[x^2]==0, {x, 3}] получим приближенное значение другого корня уравнения, а именно x=3.06998.

Задания

1. Решите системы уравнений:

   1.

   2.
2. Решите неравенства:

   1.

   2.
3. Найдите приближенно наименьший положительный корень уравнения 1/x²=5 cos x.
4. Найдите с точностью 12 знаков после запятой все корни уравнения (1 - x)/(x⁴ + 1) = sin x, принадлежащие отрезку [-1,4].