Системы компьютерной алгебры

Создание графических изображений

В системе Mathematica для построения графиков вида y=f(x) используется функция Plot, первым параметром которой является функция или список функций, графики которых должны быть построены, а вторым - список из трех величин: аргумент функций и концы промежутка, на котором должен быть построен график, например,

Plot[{Sin[x/2], 1.5 Sin[2x]}, {x, -3Pi,3Pi}]

Полученные изображения можно сохранить в форматах EPS, GIF, PDF, TIFF и некоторых других (смотри Help) при помощи функции Display. Ее первым аргументом является имя создаваемого файла, заключенное в кавычки, вторым - графическое изображение, а третьим - формат выходного файла, например,

Display["g1.gif", 
   Plot[ArcTan[x]-0.5, {x, -10, 10}],
   "GIF"]

Для каждого графика можно задать набор параметров PlotStyle, задающий цвет, толщину и тип линии графика. Опция RGBColor[r,g,b] (каждая составляющая есть число в диапазоне от 0 до 1) задает цвет графика в цветовой модели RGB. Для применения цветовой модели HSB (H - hue, тон; S - saturation, насыщенность; B - brightness, яркость) указывается опция Hue[h, s, b], (h, s и b из интервала [0; 1]). Возможно указание сокращенной формы этой опции - Hue[h], соответствующей значению Hue[h, 1, 1]. В следующем примере используются две различные цветовые модели для изображения двух графиков:

Plot[{Sin[x], Sin[2x]}, {x, -2Pi,2Pi},  
     PlotStyle -> {RGBColor[1,0,0], Hue[.4]}]

Другими опциями PlotStyle являются толщина линии (Thickness) и характеристики пунктирной линии (Dashing):

Plot[{x Sin[2x], x^3 - 3x +1}, {x, -4, 4},
     PlotStyle -> {{Hue[0], Thickness[.01]}, 
                  {Hue[.6], Dashing[{.02}]}}]

Функция Plot допускает задание множества других опций, относящихся как ко всему изображению в целом, так и к каждому из его составляющих в отдельности. Их полный список можно получить при помощи команды Options[Plot]. Вот примеры использования некоторых из них:

Пример

На следующем рисунке изображен график функции arctg x и две его горизонтальные ассимптоты (PI/2 и -PI/2). Опция PlotStyle задает параметры каждого графика в отдельности, а остальные опции задают внешний вид всего изображения в целом. Переменная p2 используется затем для сохранения изображения.

p2=Plot[{ArcTan[x], Pi/2, - Pi/2}, {x, -10, 10},
     PlotStyle -> {{RGBColor[0, 1, 0]}, 
                  {RGBColor[1, 0, 1], Dashing[{.015}]},
                  {RGBColor[1, 0, 1], Dashing[{.015}]}},
     Ticks -> {Automatic, {-Pi/2, -Pi/4, Pi/4, Pi/2}}, 
     PlotLabel->"f(x) = arctg(x)", 
     PlotRange ->{-2, 2}]

Для сохранения в файле g2.gif полученного изображения в формате GIF использовалась функция Display:

Display["g2.gif", p2, "GIF"]

Функция ParametricPlot используется для рисования графиков функций, заданных параметрически. Отметим, что Mathematica по умолчанию отображает графические объекты таким образом, что отношение высоты рисунка к его ширине равно величине, обратной золотому сечению (около 0.618034). Для сохранения естественных пропорций изображения следует указывать опцию AspectRatio -> Automatic. После этого круг выглядит действительно кругом, а не овалом. Ниже приведены примеры, демонстрирующие построение параметрически заданных кривых.

ParametricPlot[{Sin[t], Cos[t]}, {t, 0, 2Pi}]
ParametricPlot[{Sin[t], Cos[t]},
          {t, 0, 2Pi}, AspectRatio -> Automatic]
ParametricPlot[{Sin[3t], Cos[2t]},
          {t, 2Pi/3, 4Pi/3}, AspectRatio -> Automatic]
ParametricPlot[{{Sin[2t], Sin[3t]},
          {0.5*Sin[t], 0.5*Cos[t]}},
          {t, 0, 2Pi}, AspectRatio -> Automatic]

Для построения графиков в полярной системе координат следует предварительно загрузить модуль расширения Graphics, после чего использовать функцию PolarPlot:

<<Graphics`Graphics`            
PolarPlot[phi, {phi,0,10Pi}] 
PolarPlot[Cos[t], {t,0,2 Pi}]   
PolarPlot[Cos[a]^2 -Sin[a]^2,{a,0,2Pi}]
PolarPlot[Sin[5t],{t,0,2 Pi}]   
PolarPlot[1-Sin[fi],{fi,0,2Pi}]

Функции Plot3D и ParametricPlot3D являются основными инструментами программы Mathematica для изображения трехмерных графических объектов. Эти функции кроме трех обязательных параметров, задающих функцию и диапазоны изменения переменных, используют множество дополнительных опций. Отметим среди них только PlotPoints, указывающую на сколько частей следует разбить интервалы изменения переменных. Ниже приведены два примера использования этих функций.

Plot3D[Sin[xy], {x, 0, 4}, {y, 0, 4}, PlotPoints -> 40, Mesh ->False, FaceGrids ->All, AxesLabel -> {"Length", "Width", "Height"}]
ParametricPlot3D[ {u Cos[u](4 + Cos[u+v]), u Sin[u](4 + Cos[u+v]), u Sin[u + v]}, {u, 0, 3Pi},{v, 0, 3Pi}, PlotPoints ->{60, 12}]

Следующие изображения построены при помощи модуля расширения Graphics

Построение икосаэдра <<Graphics`Polyhedra` Show[Polyhedron[Icosahedron], Boxed -> False]
Лист Мебиуса - пример односторонней поверхности <<Graphics`Shapes` Show[Graphics3D[ MoebiusStrip[2, 0.5, 150], Boxed ->False]]
Сфера с отверстием <<Graphics`ContourPlot3D` ContourPlot3D[ Cos[Sqrt[x^2+y^2+z^2]], {x, -2, 2}, {y, -1.5, 2}, {z, -2, 2}, Boxed -> False, PlotPoints ->{3,15}]

Задания

Постройте графики следующих функций, используя различные параметры, задающие цвет и тип линий, добавьте подписи к рисункам и сохраните их в формате GIF: