Лекция 6: Некоторые задачи нелинейного программирования и нахождение опорного плана для задачи линейного программирования

Параллельное решение задач НП при линейных ограничениях

Пусть решается задача

f(x₁, ... ,x_n) -> max

при ограничениях

g₁(x₁, ... ,x_n) >= 0

g₂(x₁, ... ,x_n) >= 0

...

g_m(x₁, ... ,x_n) >= 0

и при условиях: g_i — линейны, x_i >= 0, i = 1, ... ,m.

Предположим, что гиперплоскости g_i, i = 1, ... ,m, возможно, совместно с координатными плоскостями, образуют в n -мерном пространстве выпуклый многогранник R допустимых решений, т.е. область задания функции f.

Определим, как и ранее, все вершины {X₁, ... ,X_n}, X_l =(x₁^(l) , ... ,x_n^(l) ), l = 1, ... ,N, этого многогранника в результате решения C_{m + n}ⁿ систем n линейных уравнений на основе всех заданных и возможных его граней

Тогда множество точек X = (x₁,x₂, ... ,x_n) этого многогранника описывается как , где 0 <= k_l<= 1, . Или: а целевая функция на многограннике R становится функцией параметров f(x₁, ... ,x_n) = f^*(k₁, ... ,k_{N-1}).

Т.е., задавая разные значения k₁, k₂, ... ,k_{N-1} так, чтобы выполнялось условие 0<= k_l <= 1, так же как и для

мы можем организовать перебор всех точек R с некоторым шагом h по всем параметрам. Этим мы накладываем N -мерную "сетку" на многогранник R. В каждой точке-узле этой сетки мы будем находить значение функции f^* и выберем максимальное. Шаг h должен быть выбран так, чтобы обеспечить необходимую точность решения задачи.

Распараллеливание возможно на двух этапах решения:

1. Распределение систем линейных уравнений между процессорами для нахождения всех вершин многогранника допустимых решений. (Эквивалентно прямому перебору при решении задачи линейного программирования.)
2. Распределение между процессорами узлов сетки — точек многогранника допустимых решений для нахождения и анализа в них значений целевой функции.

Метод допускает развитие и совершенствование.

Например, движение в сторону возрастания функции f может быть направленным, определяемым с помощью конечно-разностных значений частных производных по параметрам k_l в точке текущего анализа функции f. Это вариант так называемого градиентного метода. Эти же значения частных производных могут определять переменный шаг h.

Пример (рис. 6.1)

f(x,y)=x²+y -> max

при ограничениях

-x-2y+12 >= 0

-3x-y+21 >= 0

и при условии x,y >= 0.

Решая попарно уравнения границ, находим

X_l=(0,0), X₂=(0,6), X₃=(6,3), X₄=(7,0).

Уравнение многогранника R:

Пусть h — шаг изменения каждого k_i для получения испытываемой точки X многогранника R. Будем перебирать точки

k₁ = 0, k₂ = 0, k₃ = 0 ( тем самым k₄ = 1);

k₁ = h, k₂ = 0, k₃ = 0 (k₄ = 1-h);

k₁ = h, k₂ = h, k₃ = 0 (k₄ = 1-2h);

k₁ = h, k₂ = h, k₃ = h (k₄ = 1-3h);

k₁ = 2h, k₂ = h, k₃ = h (k₄ = 1-4h);

...

Однако нам надо следить, чтобы величина k₄ = 1 - k₁ - k₂ - k₃ оставалась неотрицательной.

Выполнив такой перебор, например, для h = 0,1, получим max f(x,y) = f*(k₁ = 0, k₂ = 0, k₃ = 0, k₄ = 1) = f(7,0) = 49.