НОУ ИНТУИТ | Основы теории информации и криптографии. Лекция 10: Групповые коды

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 11.04.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 53 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Полиномиальные коды

При полиномиальном кодировании каждое сообщение отождествляется с многочленом, а само кодирование состоит в умножении на фиксированный многочлен. Полиномиальные коды - блочные и отличаются от рассмотренных ранее только алгоритмами кодирования и декодирования.

Пусть $a=a_0\ldots a_{m-1}$ - двоичное сообщение. Тогда сопоставим ему многочлен $a(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_{m-1}x^{m-1}$ . Все вычисления происходят в поле классов вычетов по модулю 2, т. е. от результата любой арифметической операции берется остаток от его деления на 2.

Например, последовательности 10011 при m=5 соответствует многочлен 1+x^3+x^4 .

Зафиксируем некоторый многочлен степени ,

$g(x)=g_0+g_1x+\cdots+g_kx^k,\quad g_0\ne0,\quad g_k\ne0.$

Полиномиальный код с кодирующим многочленом g(x)

кодирует слово сообщения a(x)

многочленом $b(x)=a(x)g(x)=b_0+b_1x+\cdots+b_{n-1}x^{n-1}$ или кодовым словом из коэффициентов этого многочлена $b=b_0\ldots b_{n-1}$ . Условия $g_0\ne0$ и $g_k\ne0$ необходимы, потому что в противном случае b_0

и $b_{n-1}$ не будут нести никакой информации, т.к. они всегда будут нулями.

Пример. Рассмотрим кодирующий многочлен g(x)=1+x^2+x^3 . Сообщение 01011, отвечающее многочлену a(x)=x+x^3+x^4 , будет закодировано коэффициентами многочлена b(x)=g(x)a(x)=x+x^5+x^7 , т.е. b=01000101 .

Полиномиальный код с кодирующим многочленом g(x) степени является матричным кодом с кодирующей матрицей размерности $m\times(m+k)$ :

$G=\left\lbrack\matrix{ g_0 & g_1 & g_2 & \cdots & g_k & 0 & 0 & \cdots & 0\cr 0 & g_0 & g_1 & \cdots & g_{k-1} & g_k & 0 & \cdots & 0\cr 0 & 0 & g_0 & \cdots & g_{k-2} & g_{k-1} & g_k & \cdots & 0\cr \cdots&\cdots&\cdots& \cdots &\cdots & \cdots &\cdots& \cdots &\cdots\cr 0 &0 &0 & \cdots &\cdots & \cdots &\cdots& \cdots &g_k\cr} \right\rbrack.$

Т е. ненулевые элементы в

-й строке - это последовательность коэффициентов кодирующего многочлена, расположенных с

-го по

-й столбцах.

Например, (3,6) -код с кодирующим многочленом 1+x+x^3 отвечает матрице

$G=\left\lbrack\matrix{1&1&0&1&0&0\cr 0&1&1&0&1&0\cr 0&0&1&1&0&1\cr}\right\rbrack$

или отображению: $000\rightarrow000000$ ; $001\rightarrow001101$ ; $010\rightarrow011010$ ; $011\rightarrow010111$ ; $100\rightarrow110100$ ; $101\rightarrow111001$ ; $110\rightarrow101110$ ; $111\rightarrow100011$ .

Полиномиальные коды являются групповыми.

Это следует из того, что коды, получаемые матричным кодированием, - групповые.

Рассмотрим (m,n) -код с кодирующим многочленом g(x) . Строка ошибок $e=e_0\ldots e_{n-1}$ останется необнаруженной в том и только в том случае, если соответствующий ей многочлен $e(x)=e_0+e_1x+\cdots+e_{n-1}x^{n-1}$ делится на g(x) .

Действительно, a(x)g(x)+e(x) делится на g(x) тогда и только тогда, когда e(x) делится на g(x) . Поэтому любая ошибка, многочлен которой не делится на g(x) , будет обнаружена и, соответственно, любая ошибка, многочлен которой делится на g(x) , не может быть обнаружена.

Таким образом, обнаружение ошибки при использовании полиномиального кода с кодирующим многочленом g(x) может быть реализовано при помощи алгоритма деления многочленов с остатком: если остаток ненулевой, то при передаче произошло искажение данных.

Коды Хэмминга можно строить как полиномиальные, например, кодирующий многочлен x^3+x^2+1 определяет совершенный (4,7) -код, отличный от рассмотренного ранее.

Вообще же, если кодирующий многочлен g(x) , порождающий соответствующий (m,n) -код, не является делителем ни одного из многочленов вида x^j+1 при j<n , то минимальное расстояние между кодовыми словами порожденного им кода не меньше 3.

Пусть - минимальное расстояние между кодовыми словами, оно равно минимуму среди весов ненулевых кодовых слов. Предположим d=2 . Тогда существует a(x) такой, что a(x)g(x)=b(x) и степень b(x) не больше . Вес равен 2, поэтому b(x)=x^m+x^l и l<m<n . Следовательно, $b(x)=x^l(x^{m-l}+1)$ , что означает, что $x^{m-l}+1$ должен делиться на g(x) , а это невозможно по условию. Если предположить, что d=1 , то это приведет к утверждению о том, что x^m должен делиться на g(x) , что тоже противоречит условию. Итак, $d\ge3$ .

Кодирующий многочлен $x^{11}+x^9+x^7+x^6+x^5+x+1$ определяет совершенный (12,23) -код Голея (Golay) с минимальным расстоянием между кодовыми словами 7.

В 1971 году финскими и советскими математиками было доказано³²⁰, что кроме кодов Хэмминга и Голея других совершенных кодов нет.

Наиболее интересными среди полиномиальных кодов являются циклические коды, в которых вместе с любым кодовым словом вида $b_0\ldots b_{n-2}b_{n-1}$ есть кодовое слово $b_{n-1}b_0\ldots b_{n-2}$ .