Опубликован: 16.03.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: платный
Лекция 6:

m-сводимость и свойства перечислимых множеств

< Лекция 5 || Лекция 6: 1234 || Лекция 7 >

Перечислимые множества, дополнения которых продуктивны, называются креативными (creative; иногда это слово переводят как " творческие "). Название объясняется так: это множество (точнее, его дополнение) более изобретательно, чем любой алгоритмический процесс: если кто-то предлагает способ порождать некоторые элементы из дополнения, то в ответ можно указать элемент дополнения, который нельзя получить таким способом.

Как мы видим, творческие множества, перечислимые множества с эффективно неперечислимым дополнением и m -полные множества один и тот же класс, и любые два множества из этого класса в некотором смысле изоморфны (отличаются лишь вычислимой перестановкой).

Если множество продуктивно, то можно порождать его элементы следующим индуктивным процессом. На первом шаге имеется пустое множество. Применив к нему продуктивную функцию (е функцию, существующую по определению продуктивного множества), мы получим некоторый элемент. Он образует одноэлементное подмножество. Применив к этому подмножеству продуктивную функцию, получим другой элемент. К полученному двухэлементному подмножеству можно снова применить продуктивную функцию и так далее. Получится бесконечная вычислимая последовательность элементов продуктивного множества. (Это мы уже делали, когда доказывали, что эффективно неперечислимое множество содержит бесконечное перечислимое подмножество.) Но этот индуктивный процесс можно " трансфинитно " продолжить, по крайней мере еще немного: имея перечислимое подмножество нашего продуктивного множества (множество членов последовательности), можно найти еще один элемент продуктивного множества (так сказать, элемент номер \omega ). Добавим его к последовательности, снова применим продуктивную функцию, получится (\omega +1) -ый элемент и так далее, затем получится новая последовательность, (\omega *2) -й элемент, (\omega *3) -й,..., \omega ^{2} -й элемент и т.д.

Но, конечно, получить таким образом алгоритм, перечисляющий продуктивное (и потому неперечислимое) множество, не удастся.

  50. Не используя теорему о неподвижной точке (и теорему 42), покажите, что для всякого продуктивного множества A существует всюду определенная вычислимая функция f, для которой W_{n} \subset  A влечет f(n) \in  A \setminus  W_{n}. (Указание: чередуйте Wn с пустым множеством, как это делается при доказательстве леммы к теореме 41.)

Пары неотделимых множеств

В этом разделе мы сформулируем некоторые результаты, касающиеся пар непересекающихся перечислимых множеств. Эти результаты параллельны только что доказанным нами теоремам о m -полноте, продуктивности, эффективной неперечислимости и об изоморфизме m -полных множеств.

Пусть A и B два непересекающихся множества (натуральных чисел). Напомним, что они называются неотделимыми, если не существует разрешимого множества, содержащего одно из них и не пересекающегося с другим. Это определение можно переформулировать так: если Wx и Wy два непересекающихся перечислимых множества, содержащие A и B соответственно, то объединение W_{x} \cup  W_{y} содержит не все натуральные числа. (Нам будет удобно обозначать перечислимые множества через Wx и Wy, считая, что W главное универсальное множество.)

Теперь ясно, как можно сформулировать эффективный вариант этого определения. Будем говорить, что непересекающиеся множества A и B эффективно неотделимы, если существует вычислимая функция h с таким свойством: если A \subset  W_{x}, B \subset  W_{y} и W_{x} \cap  W_{y}=\varnothing, то h(x,y) определено и h(x,y) \notin  W_{x} \cup  W_{y}.

Определение неотделимости можно сформулировать чуть-чуть иначе: не существует вычислимой функции \varphi _{n}, которая была бы всюду определенной, во всех точках множества A равнялась бы нулю, а во всех точках множества B единице. (Будем считать, что \phi главная универсальная функция.) Соответственно изменится и эффективный вариант: множества A и B сильно эффективно неотделимы, если существует всюду определенная вычислимая функция h, которая по любому n указывает точку h(n), в которой функция \varphi _{n} " ошибается ". Ошибка возможна трех видов: либо \varphi _{n}(h(n)) не определено, либо h(n) \in  A, но \varphi _{n}(h(n)) не равно нулю, либо h(n) \in  B, но \varphi _{n}(h(n)) не равно единице.

  51. Покажите, что из сильной эффективной неотделимости вытекает эффективная неотделимость (что оправдывает используемую нами терминологию).

Обратное утверждение также верно, но доказывается несколько сложнее, и мы к нему еще вернемся.

Существуют ли сильно эффективно неотделимые перечислимые множества? Легко понять, что стандартная диагональная конструкция дает пару таких множеств, а именно множества \{ x | \varphi  _{x}(x)=1\} и \{ x | \varphi _{x}(x)=0\}, для которых в качестве функции h можно взять тождественную функцию.

  52. Проверьте это.

Продолжая нашу аналогию (между множествами и парами), определим понятие m -сводимости для пар. Здесь тоже будет два варианта. Пусть \langle A,B\rangle и \langle C,D\rangle две пары непересекающихся перечислимых множеств ( A не пересекается с B, а C с D ). Будем говорить, что вычислимая всюду определенная функция f m -сводит \langle A, B\rangle к \langle C,D\rangle, если f(A) \subset  C и f(B) \subset  D.

  53. (а) Покажите, что если f сводит \langle A,B\rangle к \langle C,D\rangle и C отделимо от D разрешимым множеством, то и A отделимо от B разрешимым множеством. (б) Покажите, что если f сводит \langle A,B\rangle к \langle C,D\rangle и пара \langle A,B\rangle эффективно неотделима, то и пара \langle C,D\rangle эффективно неотделима. (в) Покажите, что если f сводит \langle A,B\rangle к \langle C,D\rangle и пара \langle A,B\rangle сильно эффективно неотделима, то и пара \langle C,D\rangle сильно эффективно неотделима.

Определение сводимости можно усилить, потребовав дополнительно, чтобы при x \notin  A \cup  B выполнялось f(x) \notin C \cup  D (другими словами, f должна сводить A к C и одновременно B к D ). В этом случае мы будем говорить, что f сильно сводит пару \langle A,B\rangle к паре \langle C,D\rangle.

Теперь мы можем определить m -полноту и сильную m -полноту для пары непересекающихся перечислимых множеств, требуя m -сводимости (соответственно сильной m -сводимости) любой такой пары к данной.

  54. Покажите, что если пара является сильно эффективно неотделимой, то она является сильно m -полной. (Указание. Пусть пара \langle A,B\rangle сильно эффективно неотделима, а \langle K,L\rangle любая пара непересекающихся перечислимых множеств. По любому натуральному числу x можно построить вычислимую функцию \psi _{x} с таким свойством: если x \in  K, то \psi _{x} всюду определена и отличается от единицы лишь в конечном числе точек, причем все эти точки принадлежат A ; если x \in  L, то \psi _{x} всюду определена и отличается от нуля лишь в конечном числе точек, причем все эти точки принадлежат B ; если x \notin  K \cup  L, то \psi _{x} равна нулю на A и единице на B. Чтобы построить такую функцию, перечисляем K и L ; пока x не обнаружилось в одном из этих множеств, добавляем в график \psi _{x} пары вида \langle a,0\rangle и \langle b,1\rangle ; когда x обнаруживается, перестраиваемся. Далее остается воспользоваться свойствами главной нумерации \phi и сильной эффективной неотделимостью A и B.)

  55. Покажите, что всякая m -полная пара является сильно эффективно неотделимой. (Указание: сильно эффективно неотделимая пара существует и к ней сводится.)

Из сформулированных в качестве задач утверждений вытекает, что свойства m -полноты, сильной m -полноты и сильной эффективной неотделимости пар непересекающихся множеств эквивалентны. Можно доказать, что и кажущееся более слабым свойство эффективной неотделимости эквивалентно им. Рассуждение при этом аналогично доказательству теоремы 42 о том, что всякое креативное множество является m -полным. Заметим, что разница между эффективной неотделимостью и сильной эффективной неотделимостью примерно такая же, как между продуктивностью и эффективной неперечислимостью.

  56. Пусть \langle A,B\rangle эффективно неотделимая пара непересекающихся перечислимых множеств. Покажите, что она является сильно m -полной. (Указание. Пусть K и L произвольные непересекающиеся перечислимые множества. Пусть h функция из определения эффективной неотделимости (множеств A и B ). С помощью теоремы о неподвижной точке постройте всюду определенные вычислимые функции x(n) и y(n) с такими свойствами: (1) если n \in  K, то Wx(n)=A, W_{y(n)}=B \cup  \{ h(x(n),y(n))\} ; (2) если n \in  L, то W_{x(n)}=A \cup  \{ h(x(n),y(n))\}, Wy(n)=B ; (3) если n \notin  K \cup  L, то Wx(n)=A, Wy(n)=B. Выведите отсюда, что при n \in  K значение h(x(n),y(n)) определено и принадлежит A, при n \in  L значение h(x(n),y(n)) определено и принадлежит B, а при n \notin  K \cup  L значение h(x(n),y(n)) определено и лежит вне A \cup  B.)

Итак, все четыре сформулированных свойства эквивалентны. Продолжая нашу аналогию, можно доказать изоморфность любых двух пар эффективно неотделимых множеств, для чего предварительно научиться получать сколь угодно много чисел, " эквивалентных " данному с точки зрения пары эффективно неотделимых множеств.

Более точно, пусть имеются непересекающиеся множества A и B. Назовем два числа \langle A,B\rangle -эквивалентными в любом из следующих трех случаев: оба они принадлежат A, оба они принадлежат B или оба они не принадлежат A \cup  B. (Таким образом, есть три класса эквивалентности множество A, множество B и остаток.)

  57. Пусть \langle A,B\rangle сильно m -полная пара непересекающихся перечислимых множеств. Покажите, что по любому числу k можно алгоритмически получать сколь угодно много различных чисел, которые будут \langle A,B\rangle -эквивалентны k. (Указание: действуйте по аналогии с доказательствами теоремы 22 и леммы к теореме 41.)

  58. Пусть \langle  A_1,B_1\rangle и \langle A_2, B_2\rangle две сильно m -полные пары непересекающихся перечислимых множеств. Тогда они вычислимо изоморфны в следующем смысле: существует вычислимая перестановка (биекция) i : N -> N, при которой i(A1)=A2 и i(B1)=B2. (Указание: действуйте по аналогии с доказательствами теорем 23 и 41.)

< Лекция 5 || Лекция 6: 1234 || Лекция 7 >
Жансерик Амзеев
Жансерик Амзеев
Казахстан, Алматы
Виталий Федоров
Виталий Федоров
Россия, Ярославская область