НОУ ИНТУИТ | Основы САПР. Лекция 13: Математические модели (ММ) на различных иерархических уровнях

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 13.03.2008 | Уровень: специалист | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 18 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

13.2.3. Математические модели на метауровне

Математические модели в технологических системах довольно разнообразны.

Математические модели с использованием целочисленного программирования

Для создания технологических структур из РТК необходимо приобрести n PTK для участка. Для этого выделен фонд в сумме N рублей. Стоимость РТК j -ro типа — Cj, а производительность — a_j, j = 1,n. Требуется выбрать РТК, обеспечивающие максимальную суммарную производительность в пределах установленного денежного лимита N. Математическая модель:

$\left\{\begin{array}{l} max\sum\limits_{j=1}^n a_j x_j,\\ \sum C_j x_j\le N,\\ {x_j=\left\{\begin{array}{ll} 1\mbox{ - если приобретается РТК}\\ 0\mbox{ - в противном случае,} \end{array} \right.} \end{array} \right.$

( 13.8)

где x = (x₁, x₂, ..., x_j, …, x_n); a_j >= 0; Cj >= 0; N > 0 — целые числа.

Решение ведется методом ветвей и границ.

Если отбросим требования целочисленности, переменные a_j, C_j изменяются непрерывно на отрезке [0, 1]. Решение такой непрерывной задачи будет верхней границей (так как определяется максимум) множества значений целевой функции на соответствующем подмножестве решения. Алгоритм решения непрерывной задачи состоит в следующем. Упорядочим коэффициенты a₁, a₂, ..., a_j ... а_п порядке убывания величин $\lambda _{j} = a_{j} /C_{j}$ и соответственно этому порядку нумеруем переменные и параметры задачи.

Процедура разбиения (методом ветвей и границ) допустимого множества G, задаваемого ограничениями, такова: разбивают G на два подмножества G₁ и G₂, первому подмножеству принадлежат все решения с х₁=1, а второму — с x₁ = 0. Далее каждое из подмножеств G₁ и G₂ опять разбивают на два: в первом x₁ = 1, во втором х₁ = 0 и т. д.

На каждом шаге очередного разбиения выбирают подмножество, которому соответствует максимальное значение оценки. Поиск решения заканчивают, если на некотором шаге получают допустимое решение значения целевой функции, на котором шаг будет наибольшим по сравнению с оценками для всех подмножеств — кандидатов на разбиение.

Математические модели с использованием систем массового обслуживания

Эти системы основаны на марковском случайном процессе. Физическая система S с течением времени меняет свое состояние (переходит из одного состояния в другое) случайным образом [38]. Тогда в системе S протекает случайный процесс, который называется марковским, если для любого момента времени t₀ вероятностные характеристики процесса в "будущем" зависят только от его состояния в данный момент времени t₀ и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние. Вероятностные характеристики в "будущем" можно найти: например, вероятность того, что через некоторое время $\tau$ система S окажется в состоянии S₁ или сохранит состояние S₀ и т. .

Таким образом, в марковском случайном процессе "будущее" зависит от "прошлого" только через "настоящее".

Рассматривая марковские процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем, удобно будет представлять, что все переходы системы S из состояния в состояние происходят под действием каких-то потоков событий (поток вызовов, отказов, восстановлений и т. п.). Если все потоки событий, переводящие систему S из состояния в состояние, — простейшие, то процесс, протекающий в системе, будет марковским. Это и естественно, так как простейший поток не обладает последействием: в нем "будущее" не зависит от "прошлого".

Если система S находится в каком-то состоянии S_i, из которого есть непосредственный переход в другое состояние S_j (стрелка, ведущая из S_i в S_j на графе состояний), то это можно представлять так, как будто на систему, пока она находится в состоянии S_j, действует простейший поток событий, приводящий ее по стрелке S_i – S_j. Как только появится первое событие этого потока, происходит "перескок" системы из S_i в S_j.

Для наглядности очень удобно представлять граф состояний. Построим размеченный граф состояний для технического устройства из двух узлов. Состояния системы будут:

S₀ — оба узла исправны;
S₁ — первый узел ремонтируется, второй исправен;
S₂ — второй узел ремонтируется, первый исправен;
S₃ — оба узла ремонтируются.

Интенсивность потоков событий, переводящих систему из состояния в состояние, вычисляется при условии, что среднее время ремонта узла не зависит от того, ремонтируется ли один узел или оба сразу. Это будет именно так, если ремонтом каждого узла занят отдельный специалист. Найдем все интенсивности потоков событий, переводящих систему из состояния в состояние. Пусть система находится в состоянии S_o. Какой поток событий переводит ее в состояние S₁? Очевидно, поток отказов первого узла. Его интенсивность $\lambda _{1}$ равна единице, деленной на среднее время безотказной работы первого узла. Какой поток событий переводит систему обратно из S_i в S_j? Очевидно, поток "окончаний ремонтов" первого узла. Его интенсивность $\mu _{1}$ равна единице, деленной на среднее время ремонта первого узла. Аналогично вычисляются интенсивности потоков событий, переводящих систему по всем стрелкам графа рис. 13.2.

Имея в своем распоряжении размеченный граф состояний системы, легко построить математическую модель данного процесса.

В самом деле, пусть рассматривается система S, имеющая n возможных состояний S₁, S₂, …, S_n. Назовем вероятностью i -го состояния вероятность p_i(t) того, что в момент t система будет находиться в состоянии S_j. Очевидно, что для любого момента сумма всех вероятностей состояний равна единице:

$\sum\limits_{j=1}^n p_i(t)=1$

( 13.9)

Рис. 13.2. Размеченный граф

Имея в своем распоряжении размеченный граф состояний, можно найти все вероятности состояний p_i(t) как функции времени. Для этого составляют и решают так называемые уравнения Колмогорова — особый вид дифференциальных уравнений, в которых неизвестными функциями являются вероятности состояний.

Математические модели с использованием сетей Петри

Сети Петри являются эффективным инструментом дискретных процессов, в частности, функционирования станочных систем. Их особенность заключается в возможности отображения параллелизма, асинхронности и иерархичности.

На рис. 13.3 приводится сети Петри, где Р — конечное непустое множество позиций (состояний); Т — конечное непустое множество переходов (событий), причем $p \in P$ и $t_{i} \in T; F: Р x Т — \{ 0, 1, 2, \dots \} ; Н: Т x Р \to \{ 0, 1, 2, \dots \}$ — функции входных и выходных инциденций; $\mu _{0} : Р \to \{ 0, 1, 2, \dots \}$ — начальная маркировка. Вершины сети $p \in P$ изображены кружками, а вершины $t_{i} \in T$ — черточками (маркерами). Дуги соответствуют функциям инцидентности позиций и переходов. Точки в кружочках означают заданную начальную маркировку. Число маркеров в позиции равно значению функции $\mu : Р \to \{ 0, 1, 2, \dots \}$ . Переход от одной маркировки к другой осуществляется срабатыванием переходов. Переход t может сработать при маркировке $\mu,$ если он является возбужденным:

$\mu(P)-F(P,t)\ge 0,\forall p\in P.$

( 13.10)

Рис. 13.3. Сеть Петри

Данное условие показывает, что в каждой входной позиции перехода t число маркеров не меньше веса дуги, соединяющей эту позицию с переходом. В результате срабатывания перехода t, удовлетворяющего условию (13.10), маркировку $\mu$ заменяют маркировкой $\mu '$ по следующему правилу:

$\mu'(p)=\mu(p)\_ F(p,t)+H(t,p),\forall p\in P.$

( 13.11)

По этому правилу в результате срабатывания из всех входных позиций перехода t изымается F(p,t) маркеров и в каждую выходную позицию добавляется H(t,p) маркеров. Это означает, что маркировка $\mu '$ непосредственно достижима из маркировки $\mu.$ Функционирование сети Петри — последовательная смена маркировок в результате срабатывания возбужденных переходов.

Состояние сети в данный момент времени определяется ее текущей маркировкой. Важная характеристика сети Петри — граф достижимости, с помощью которого описываются возможные варианты функционирования сети. Такой граф имеет вершины, которые являются возможными маркировками. Маркировки $\mu$ и $\mu '$ соединяются в направлении t дугой, помеченной символами перехода $t \in T$ или $\mu ^{t} \to \mu '$ . Маркировка $\mu '$ такая последовательность переходов: $\tau = t_{1}, t_{2}, \dots , t_{k}$ является достижимой из маркировки $\mu,$ если существует, что $\mu ^{t1}\to \mu '^{t2} \to \dots \mu ^{ tk} \to \mu$ .

В качестве примера рассматривается сеть Петри, изображенная на рис. 13.3.

$N = (Р, Т, F, Н, \mu _{0})$ , где Р = {Р₁, Р₂, Р₃, Р₄, Р₅},

$T = \{ t_{1}, t_{2}, t_{3}, t_{4}, t_{5}\} , \mu _{0} = (1, 1, 0, 0, 0)$ . Функции F и Н заданы матрицами

		P₁	P₂	P₃	P₄	P₅
H =	t₁	0	0	1	2	0
	t₂	1	0	0	0	1
	t₃	1	1	0	0	0
	t₄	0	0	0	1	0

		t₁	t₂	t₃	t₄
F =	P₁	1	0	0	0
	P₂	1	0	0	0
	P₃	0	1	0	0
	P₄	0	0	1	0
	P₅	0	0	0	1

Фрагмент графа достижимости для сети Петри приведен на рис. 13.4.

Рис. 13.4. Фрагмент графа достижимости сети Петри

13.3. Структурные модели

Структурные или структурно-логические модели, согласно ГОСТ 14.416-83, подразделяются на табличные, сетевые и перестановочные. Сетевые определяются строками булевой матрицы (таблица 13.2).

Здесь S_i — свойства моделей, влияющих на содержание проектирования; F(S) — набор свойств, если все графы объектов А_к, проектируемых по данной модели, простые пути или цепи, F_g = 1 и F_g = 0 в противном случае; F_n — набор свойств, учитывающих число элементов во всех вариантах объектов A_k ( F_n = 1 — число элементов во всех a_i одинаково, F_n = 0 — в противном случае); $F_{\lambda }$ — набор свойств, учитывающих отношения между любыми элементами объекта $a_{i}a_{j} \in А_{k}$ во всех вариантах объектов А_k ( $F_{\lambda } = 1$ — отношение не меняется, $F_{\lambda } = 0$ — в противном случае); F_а — набор свойств, учитывающих состав элементов a_i в А_k ( F_а = 1 — состав одинаков, F_а = 0 — в противном случае).

Таблица 13.2.
	F_g	F_a	$F_{\lambda}$	F_n
[S_i x F(S)] =	1	1	1	1	S₁
	1	1	1	0	S₂
	1	1	0	1	S₃
	1	1	0	0	S₄
	1	0	1	0	S₅
	1	0	0	0	S₆
	0	1	1	1	S₇
	0	1	1	0	S₈
	0	1	0	1	S₉
	0	1	0	0	S₁₀
	0	0	1	0	S₁₁
	0	0	0	0	S₁₂

В матрице (13.2) модели класса S_i называют табличными. В табличной модели каждому набору свойств F(А_k) соответствует единственный вариант проектируемого объекта А_k, поэтому табличные модели используют для поиска стандартных, типовых и готовых решений. Модели остальных классов применяют для получения типовых унифицированных и индивидуальных проектных решений при наличии их вариантов и необходимости оптимизации решения. Модели классов S₂ , S₅ , S₇ , S₈ и S₁₁ называют сетевыми. Структура элементов сетевой модели описывается ориентированным графом, не имеющим ориентированных циклов. В этой модели может содержаться несколько вариантов проектируемого объекта А_k, однако во всех вариантах сохраняется неизменным соотношение порядка между входящими элементами. Модели классов S₃ , S₄ , S₆ , S₉ , S₁₀ и S₁₂ называют перестановочными. Соотношение порядка между элементами проектируемого объекта А_k в перестановочных объектах обычно задается с помощью графа, содержащего ориентировочные циклы, причем все варианты объектов А_k, проектируемые по перестановочным моделям, различаются порядком между элементами, входящими в них.

Объектом проектирования А_k может быть технологический процесс, операция или технологический переход. Если рассматривать технологический процесс в качестве объекта проектирования, то операции будут элементами. При проектировании операции элементами будут технологические переходы.

Если А_k должен содержать фиксированный набор элементов $a_{i} \in А_{k},$ то

$A=a_1\wedge a_2\wedge,\ldots,\wedge a_i\wedge,\ldots,\wedge a_n=\bigwedge\limits_{i=1}^n a_i$

Если А_k может содержать любой элемент $a_{i} \in А_{k}$ , то

$A=a_1\vee a_2\vee,\ldots,\vee a_i\vee,\ldots,\vee a_n=\bigvee\limits_{i=1}^n a_i$

А если какой-либо единственный элемент $a_{i} \in А_{k}$ , то

$A=a_1\nabla a_2\nabla,\ldots,\nabla a_i\nabla,\ldots,\nabla a_n=\bigtriangledown\limits_{i=1}^n a_i$

При обработке группы деталей на токарном прутковом автомате с помощью табличной модели устанавливается последовательность обработки поверхностей. Каждая деталь имеет поверхности F₁, F₂, ...., F₈ с определенными свойствами, поэтому состав свойств поверхностей, относящихся к группе деталей, будет

$F(A) = (F_1 \wedge F_2 \wedge F_4 \wedge F_8) \vee F_3 \vee F_5 \vee F_6 \vee F_7$

Если ввести совокупность свойств более высокого уровня:

$F_1' = \{F_1, F_2, F_4, F_8\}, \mbox { то получим}$

$F'A) = F_1' \vee F_3 \vee F_5 \vee F_6 \vee F_7,$

а если совокупность свойств деталей 1-й, 2-й, 3-й групп (соответственно, элементам а₁, а₂, а₃ группы А деталей, т. е. $а_{1}, а_{2}, а_{3} \in А$ ), то получим

$\begin{array}{l}F''_1=F(a_1)=\{F_1 F_2 F_3 F_4 F_5 F_6 F_7 F_8 \},\\ F''_2=F(a_2)=\{F_1 F_2 F_3 F_4 F_7 F_8 \},\\ F''_3=F(a_3)=\{F_1 F_2 F_4 F_8 \},\end{array} F''(A)=F''\nabla_1 F''_2 \nabla F''_3$

Контрольные вопросы и упражнения

В чем сущность блочно-иерархического подхода к проектированию?
Как составляется полная модель?
Что характерно для макромодели?
Что представляют собой сети Петри?
Какие модели называют табличными?
Для чего используют табличные модели?
Что называется сетевой моделью?
Как описывается структура сетевых моделей?
Что называется перестановочной моделью?

Дальше >>

Основы САПР

Основы САПР

Математические модели (ММ) на различных иерархических уровнях

13.2.3. Математические модели на метауровне

Математические модели с использованием целочисленного программирования

Математические модели с использованием систем массового обслуживания

Математические модели с использованием сетей Петри

13.3. Структурные модели

Контрольные вопросы и упражнения

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Основы САПР

Основы САПР

Математические модели (ММ) на различных иерархических уровнях

13.2.3. Математические модели на метауровне

Математические модели с использованием целочисленного программирования

Математические модели с использованием систем массового обслуживания

Математические модели с использованием сетей Петри

13.3. Структурные модели

Контрольные вопросы и упражнения

Вопросы и ответы

Студенты