НОУ ИНТУИТ | Основы информационных технологий. Лекция 7: Передача информации

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 19.11.2012 | Уровень: для всех | Доступ: платный | ВУЗ: Национальный исследовательский университет "Высшая Школа Экономики"

|

Вам нравится? Нравится 127 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Декодирование линейного кода по синдрому

Путь - матрица размера $(п-к) \times п$ и ранга (п-к) над полем GF(2) . Эта матрица задает линейное отображение $B^n \stackel{H} B^{n-k}$ пространства В^n в пространство $В^{n-k}$ по формуле у=Нх . Ядро этого линейного отображения или множество решений уравнения Hх=0 , образующее подпространство пространства В^n , является линейным кодом. Можно рассмотреть разбиение пространства B^n на классы равнообразности. В один класс входят все элементы B^n , которые при отображении $В^n \stackel{H} B^{n-k}$ переходят в один и тот же элемент пространства $B^{n-k}$ . Элемент пространства $B^{n-k}$ , в который переходят все элементы одного класса, называется синдромом. Pис.7.8 иллюстрирует разбиение пространства B^n на классы равнообразности.

Отображение $В^n\stackel{H} B^{n-k}$ является отображением на все пространство $B^{n-k}$ . Для систематической матрицы H это практически очевидно. Действительно, для любого $yB^{n-k}$ можно найти (построить) xB^n , такой, что y=Hx .

Рис. 7.8. Разбиение пространства Bn на классы равнообразности

Произведение $Hx, x \in B^n$ называется синдромом [29], [33]. Фактически, синдромом вектора $x\in B^n$ является образ этого вектора при отображении - $В^n \stackrel{H} B^{n-k}$ . Все векторы $x \in B^n$ , имеющие один синдром, образуют класс. Так как синдром $s = Hx \in B^{n-k}$ имеет размерность n-k , всего существует $2^{n-k}$ классов (если проверочная матрица имеет ранг n-k , в частности, если матрица имеет систематический вид). Из определения линейного кода следует, что класс, которому соответствует нулевой синдром, является кодом . Каждый класс C_i , отличный от кода, порождается "сдвигом" C_i =C+a_i кода на один из векторов a_i класса C_i . Действительно, если $y \in C_i$ ., то есть Hy = s_i, Ha_i =s_i , тогда H(y-a_i)=0 и, следовательно, $y-a_i =c \in C$ и y=a_i+c , где $c \in C$ - кодовое слово. Таким образом, любой некодовый вектор, имеющий синдром $s \ne 0$ , можно представить в виде суммы кодового вектора и вектора, имеющего синдром . Представление такого вида не является единственным. Некодовый вектор a_i в этой сумме можно рассматривать как вектор ошибок, произошедших в тех разрядах кодового слова , в которых соответствующие компоненты вектора a_i равны 1. Из всех векторов ошибок, имеющих один синдром, наиболее вероятным является вектор l_s (векторы) с минимальным весом (числом единичных компонент). Такой вектор (векторы) называется лидером класса.

Алгоритм декодирования заключается в следующем. Если получен вектор и $Ну = s \ne 0$ , считаем, что ошибкам соответствует наиболее вероятный вектор из класса C_s , то есть лидер l_s класса C_s . Тогда декодирование осуществляется в вектор z=у-l_s=У+l_s , получающийся из принятого вектора удалением лидера.

Рассмотрим пример построения кода по заданной проверочной матрице и декодирования полученного сообщения по синдрому. Пусть дана проверочная матрица $H=\begin{pmatrix}1&1&1&0\\ 1&0&0&1\end{pmatrix}$ . Запишем уравнение для определения кодовых векторов (слов) для данной матрицы:

$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=0\\x_1+x_4=0\end{cases}\Rightarrow \begin{matrix}x_3=x_1+x_2\\x_4=x_1\end{matrix}$

x_1 и x_2 которые можно рассматривать как информационные разряды, задаются произвольно (всего 4 варианта 00, 01, 10, 11), а проверочные разряды x_3 и x_4 определяются через x_1 и x_2 . В итоге все кодовые слова определяются из выражения

$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\1&1\\1&0\end{pmatrix}*{x_1 \choose x_2},$

где x_1 и х_2 - информационные разряды, а $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\1&1\\1&0\end{pmatrix}$ - порождающая матрица, столбцами которой являются кодовые векторы.

Кодовые слова, рассматриваемые как векторы-столбцы, образуют матрицу кода

$C=\begin{pmatrix}0&0&1&1\\ 0&1&0&1\\ 0&1&1&0\\ 0&0&1&1\end{pmatrix}$

Расстояние кода $\rho_C$ равно минимальному весу ненулевого слова $\rho_C =2$ .

Найдем смежные классы, которые состоят из векторов пространства В^4 , имеющих одинаковый синдром, и выберем в каждом классе лидера (вектор из класса с минимальным весом).

Синдромом является любое возможное значение произведения Н*х .

В данном случае имеется 4 синдрома: ${0 \choose 0}, {0 \choose 1}, {1 \choose 0}, {1 \choose 1}$ .Каждому синдрому соответствует смежный класс, синдром ${0 \choose 0}$ соответствует коду. Смежные классы (столбцы матриц) для каждого синдрома и выбранные лидеры приведены в таблице.

Синдром	${o \choose 0}$	${0 \choose 1}$	${1 \choose 0}$	${1 \choose 1}$
Класс смежности	$\begin{pmatrix}0&0&1&1\\0&1&0&1\\0&1&1&0\\0&0&1&1\end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix}0&0&1&1\\0&1&0&1\\0&1&1&0\\1&1&0&0\end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix}0&0&1&1\\1&0&1&0\\0&1&1&0\\0&0&1&1\end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&0&1\\0&1&1&0\\0&0&1&1\end{pmatrix}$
Лидер	$\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}$

В третьем смежном классе - два потенциальных лидера с весом (нормой), равным 1. Один из них выбирается в качестве лидера произвольно.

Рассмотрим на этом примере процесс декодирования полученного вектора (слова) с использованием синдромов. Пусть передавался кодовый вектор $\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}$ и в процессе переачи произошла ошибка в первом разряде. Это означает, что на приемном конце был получен вектор $у=\begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}$ , полученный из переданного вектора $\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}$ в результате добавления вектора ошибки $\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}$ (ошибка в первом разряде). Определим синдром, вычислив произведение Н*y . В данном случае получим $H*y={1 \choose 1}$ . Это означает, что полученный вектор водит в четвертый смежный класс (см. таблицу). Лидером этого смежного класса является вектор $l=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}$ , соответствующий данному синдрому. Вычитая (добавляя) лидер к принятому вектору, производим декодирование $y-l=y+l=\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}$ В данном случае декодирование выполнено правильно.