Алгоритмы растеризации отрезков, окружностей и эллипсов

3.4. Изображение окружностей

Для начала перейдем к канонической системе координат, в которой центр окружности совпадает с началом координат. Тогда можно заметить, что в силу симметрии окружности относительно прямых, разделяющих октанты, достаточно построить растровое представление в одном октанте, а затем с помощью симметрий получить изображения в других октантах (см. рис. 3.7). Будем пользоваться заданием окружности в виде неявной функции: x² + y² - R² = 0.

Рис. 3.7. Симметрии при изображении окружности.

Пусть f(x, y) = x² + y² - R². Будем рисовать часть окружности в 4 -м октанте, начиная с точки (-R, 0) (см. рис. 3.7, показано стрелкой).

Пусть , тогда . Пусть функция plot8(x, y) отображает на растре все 8 точек, полученных из (x, y) с помощью симметрий.

Алгоритм Брезенхема

Будем рассуждать подобно алгоритму Брезенхема для отрезков (с соответствующими поправками на 4 -й октант) [17]. Из двух возможных пикселов в 4 -м октанте (соответствующих вертикальному и диагональному смещениям, которые обозначаются аналогично прежним s и d, см. рис. 3.10) будем выбирать тот, расстояние от окружности до которого меньше.

Рис. 3.8. Расстояния до окружности.

Для того чтобы выбрать один из двух возможных пикселей, будем сравнивать расстояния от них до окружности: где расстояние меньше - тот пиксел и будет искомым. В примере на рис. 3.8 сравниваются расстояния от точек S(x_s, y_s) и D(x_d, y_d) до окружности с радиусом R. Из евклидовой метрики получаем:

Но вычисление квадратного корня - вычислительно трудоемкая операция, поэтому при достаточно больших R мы будем заменять сравнение расстояний сравнением приближенных значений их квадратов (см. рис. 3.9):

Рис. 3.9. Приближенное сравнение расстояний.

Уменьшим два слагаемых на приблизительно одинаковые величины:

заменим на ,

заменим на

получим

Таким образом, приближенно

1. D ближе к окружности, чем S
   
2. S ближе к окружности, чем D
   

Рис. 3.10. Алгоритм Брезенхема для окружности.

Пусть (x, y) - текущий пиксель. Обозначим

Тогда из двух возможных смещений d и s выберем.

1. , т.е. (x + 1, y + 1) ближе к окружности, чем (x, y + 1):

   d: Переходим в (x + 1, y + 1) и придаем соответствующие приращения F, , :

   
2. , т.е. (x, y+1) ближе к окружности, чем (x + 1, y + 1):

   s: Переходим в (x, y + 1) и придаем соответствующие приращения F, , :

   

Если мы начинаем из (-R, 0), то начальные значения будут следующими:

Легко видеть, что в алгоритме все величины, связанные с F, кроме F начального, будут кратны 2. Но, если мы поделим все эти величины на 2 (в дальнейшем значения всех величин уже понимаются в этом смысле), то . Так как приращения F могут быть только целочисленными, то , где ; т.е. если отнять от всех значений, то знак F не изменится для всех T, кроме T = 0. Для того чтобы результат сравнения остался прежним, будем считать, что F = 0 теперь соответствует смещению s.

x = -r; y = 0;

F = 1-r;
delta_Fs = 3;
delta_Fd = 5-2*r;

while( x + y < 0 )
{
      plot8( x, y );

      if( F > 0 )
      {
            // d: Диагональное смещение
            F += delta_Fd;
            x++; y++;
            delta_Fs += 2;
            delta_Fd += 4;
      }
      else
      {
            // s: Вертикальное смещение
            F += delta_Fs;
            y++;
            delta_Fs += 2;
            delta_Fd += 2;
      }
}

Размерность вычислений этого алгоритма (т.е. отношение максимальных модулей значений величин, с которыми он оперирует к модулям исходных данных (в данном случае R )) равна 2.