Методы оптимизации

Здесь F - целевая функция, условие (0) описывает вхождение грузов в транспортную систему. Условия (1) - (3) задают балансовые соотношения для узлов 1- 3 системы. Другими словами, для каждого из внутренних узлов входящий поток грузов равен выходящему потоку, грузы не скапливаются внутри и системы и не "рождаются" в ней. Условие (4) - это условие "выхода" грузов из системы. Вместе с условием (0) оно составляет балансовое соотношение для системы в целом ("вход" равен "выходу"). Следующие девять неравенств задают ограничения на пропускную способность отдельных "веток" транспортной системы. Затем в системе ограничений задачи линейного программирования указана неотрицательность объемов перевозок и целевой функции. Ясно, что последнее неравенство вытекает из вида целевой функции (соотношения (0) или (4)) и неотрицательности объемов перевозок. Однако последнее неравенство несет некоторую общую информацию - через систему может быть пропущен либо положительный объем грузов, либо нул евой (например, если внутри системы происходит движение по кругу), но не отрицательный (он не имеет экономического смысла, но формальная математическая модель об этом "не знает").

О многообразии оптимизационных задач. В различных проблемах принятия решений возникают самые разнообразные задачи оптимизации. Для их решения применяются те или иные методы, точные или приближенные. Задачи оптимизации часто используются в теоретико-экономических исследованиях. Достаточно вспомнить оптимизацию экономического роста страны с помощью матрицы межотраслевого баланса Василия Леонтьева или микроэкономические задачи определения оптимального объема выпуска по функции издержек при фиксированной цене (или в условиях монополии) или минимизации издержек при заданном объеме выпуска путем выбора оптимального соотношения факторов производства (с учетом платы за них).

Кроме затронутых выше методов решения задач оптимизации, напомним о том, что гладкие функции оптимизируют, приравнивая 0 производную (для функций нескольких переменных - частные производные). При наличии ограничений используют множители Лагранжа. Эти методы обычно излагаются в курсах высшей математики и потому опущены здесь.

Представляют интерес задачи оптимизации с нечеткими переменными [12.5], а также задачи оптимизации, возникающие в эконометрике [12.6]. Например, метод наименьших квадратов, разобранный в следующей главе, основан на решении задачи оптимизации. Итоговое мнение комиссии экспертов часто вычисляют как решение задачи оптимизации. Конкретные виды задач оптимизации и методы их решения рассматриваются в соответствующей литературе.

Задачи по методам принятия решений

1. Изобразите на плоскости ограничения задачи линейного программирования и решите (графически) эту задачу:

2. Решите задачу линейного программирования:

3. Решите задачу целочисленного программирования:

4. Решите задачу о ранце:

Управляющие параметры принимают значения из множества, содержащего два элемента - 0 и 1.

5. Решите задачу коммивояжера для четырех городов (маршрут должен быть замкнутым и не содержать повторных посещений). Затраты на проезд приведены в табл.12.7.

6. Транспортная сеть (с указанием расстояний) приведена на рис.12.8. Найдите кратчайший путь из пункта 1 в пункт 4.

Рис. 12.9. Исходные данные к задаче о кратчайшем пути

7. Как послать максимальное количество грузов из начального пункта 1 в конечный пункт 8, если пропускная способность путей между пунктами транспортной сети (рис.12.10) ограничена (табл.12.8)?

Рис. 12.10. Транспортная сеть к задаче о максимальном потоке

Темы докладов и рефератов

1. Классификация оптимизационных задач.
2. Решения, оптимальные по Парето.
3. Многокритериальные задачи оптимизации: различные методы свертки критериев.
4. Задачи оптимизации и нечеткие переменные.
5. Место метода множителей Лагранжа в теории оптимизации.