Комитетные методы решения задач распознавания

7.3. Комитеты линейных функционалов

Пусть , , в – конечные множества в пространстве признаков; – точки общего положения.

Определение. Точки пространства называются точками общего положения, если никакая точка не лежит в гиперплоскости размерности .

Приме р. Пусть , т.е. рассматривается пространство (плоскость). Тогда точки – точки общего положения, если никакие три из них не лежат на одной прямой.

Теорема. Существует разделяющий комитет аффинных функционалов, состоящий из не более, чем членов при нечетном и не более, чем при четном .

Доказательство. Рассмотрим случай , т.е. пространство .

Пусть , . Тогда возможны два случая.

Для первого случая (рис. слева) функционал имеет вид:

Для второго случая (рис. справа) функционал имеет вид:

– количество функционалов для худшего случая.

Пусть , . Тогда возможны следующие варианты.

Все случаи вида показанного на рис. слева сводятся к предыдущему . Во всех остальных случаях функционалы надо располагать аналогично рис. справа. Для худшего случая .

Пусть (четное количество точек). Рассмотрим худший из возможных вариантов.

В данном случае функционалы надо располагать как показано на рис. .

Пусть (нечетное количество точек). Рассмотрим худший из возможных вариантов.

В данном случае функционалы надо располагать как показано на рис. . Все остальные случаи можно свести либо к этим двум, либо к предыдущим.

Таким образом, по методу математической индукции существует разделяющий комитет аффинных функционалов из не более, чем членов при нечетном и не более, чем при четном в пространстве .

Многомерный случай сводится к одномерному следующим образом. Ищем подпространство такое, что , при . Проектируем все на соответствующие подпространства, пока не получим одномерную задачу. В многомерном случае для разделения и служит гиперплоскость: