Алгебраические структуры

Циклические подгруппы

Если подгруппа группы может быть сгенерирована, используя возведение в степень элемента, то такая подгруппа называется циклической подгруппой. Термин возведение в степень здесь означает многократное применение к элементу групповой операции:

Множество, полученное в результате этого процесса, обозначается в тексте как <a>. Обратите внимание также, что a⁰ = e.

Пример 5.7

Из группы G = < Z₆, +> могут быть получены четыре циклических подгруппы. Это H₁ = <{0},+>, H₂ =<{0, 2, 4}, +>, H₃ = <{0, 3}, +> и H₄ = G. Заметим, что когда операция — сложение, то aⁿ означает умножение n на a. Заметим также, что во всех этих группах операция — это сложение по модулю 6. Ниже показано, как мы находим элементы этих циклических подгрупп.

a. Циклическая подгруппа, сгенерированная из 0, — это H₁, имеет только один элемент (нейтральный элемент).

00 mod 6 = 0 (остановка, далее процесс повторяется).

б. Циклическая подгруппа, сгенерированная на основе 1, — это H₄, которая есть сама группа G.

10 mod 6 = 0
11 mod 6 = 1
12 mod 6 = (1 + 1) mod 6 = 2
13 mod 6 = (1 + 1 + 1) mod 6 = 3
14 mod 6 = (1 + 1 + 1 + 1) mod 6 = 4
15 mod 6 = (1 + 1 + 1 + 1 + 1) mod 6 = 5(остановка, далее процесс повторяется)

в. Циклическая подгруппа, сгенерированная на основе 2, — это H₂, которая имеет три элемента: 0, 2, и 4.

20 mod 6 = 0
21 mod 6 = 2
22 mod 6 = (2 + 2) mod 6 = 4 (остановка, далее процесс повторяется)

г. Циклическая подгруппа, сгенерированная на основе 3, — это H₃, которая имеет два элемента: 0 и 3.

30 mod 6 = 0 
31 mod 6 = 3 (остановка, далее процесс повторяется)

д. Циклическая подгруппа, сгенерированная на основе 4, — H₂ ; это — не новая подгруппа.

40 mod 6 = 0
41 mod 6 = 4
42 mod 6 = (4 + 4) mod 6 = 2 (остановка, далее процесс повторяется)

е. Циклическая подгруппа, сгенерированная на основе 5, — это H₄, она есть сама группа G.

50 mod 6 = 0
51 mod 6 = 5
52 mod 6 = 4
53 mod 6 = 3
54 mod 6 = 2
55 mod 6 = 1  (остановка, далее процесс повторяется)

Пример 5.8

Из группы можно получить три циклических подгруппы. G имеет только четыре элемента: 1, 3, 7 и 9. Циклические подгруппы — и . Ниже показано, как мы находим элементы этих подгрупп.

a. Циклическая подгруппа, сгенерированная на основе 1, — это H₁. Подгруппа имеет только один элемент, а именно — нейтральный.

10 mod 10 = 1 (остановка, далее процесс повторяется)

б. Циклическая подгруппа, сгенерированная на основе 3, — это H₃, которая есть группа G.

30 mod 10 = 1
31 mod 10 = 3
32 mod 10 = 9
33 mod 10 = 7 (остановка, далее процесс повторяется)

в. Циклическая подгруппа, сгенерированная на основе 7, — это H₃, которая есть группа G.

70 mod 10  = 1
71 mod 10  = 7
72 mod 10  = 9
73 mod 10  = 3 (остановка, далее процесс повторяется)

г. Циклическая подгруппа, сгенерированная на основе 9, — это H₂. Подгруппа имеет только два элемента.

90 mod 10 = 1
91 mod 10 = 9 (остановка, далее процесс повторяется)

Циклические группы

Циклическая группа — группа, которая является собственной циклической подгруппой. В примере 5.7 группа G имеет циклическую подгруппу H₅ = G. Это означает, что группа G — циклическая группа. В этом случае элемент, который генерирует циклическую подгруппу, может также генерировать саму группу. Этот элемент далее именуется "генератор". Если g — генератор, элементы в конечной циклической группе могут быть записаны как

{e,g,g²,….., g^n-1}, где gⁿ = e.

Заметим, что циклическая группа может иметь много генераторов.

Пример 5.9

а. Группа G = <Z₆, +> — циклическая группа с двумя генераторами, g = 1 и g = 5.

б. Группа — циклическая группа с двумя генераторами, g = 3 и g = 7.

Теорема Лагранжа

Теорема Лагранжа показывает отношение между порядком группы к порядку ее подгруппы. Предположим, что G — группа и H — подгруппа G. Если порядок G и H — |G| и |H|, соответственно, то согласно этой теореме |H| делит |G|. В примере 5.7 |G| = 6. Порядок подгруппы — |H1| = 1, | H2| = 3, |H3| = 2 и |H4| = 6. Очевидно, все эти порядки есть делители 6.

Теорема Лагранжа имеет очень интересное приложение. Когда дана группа G и ее порядок |G|, могут быть легко определены порядки потенциальных подгрупп, если могут быть найдены делители. Например, порядок группы G = <Z₁₇, +> — это |17|. Делители 17 есть 1 и 17. Это означает, что эта группа может иметь только две подгруппы — нейтральный элемент и H₂ = G.

Порядок элемента

Порядок элемента в группе ord (a) (порядок (a)) является наименьшим целым числом n, таким, что a ⁿ = e. Иными словами: порядок элемента — порядок группы, которую он генерирует.

Пример 5.10

a. В группе G = <Z₆, +>, порядки элементов: порядок ord(0) = 1, порядок ord (1) = 6, порядок ord (2) = 3, порядок ord (3) = 2, порядок ord (4) = 3, порядок ord (5) = 6.

b. В группе G = <Z₁₀, * >, порядки элементов: порядок ord (1) = 1, порядок ord (3) = 4, порядок ord (7) =4, порядок (9) = 2.

Кольцо

Кольцо, обозначенное как , является алгебраической структурой с двумя операциями. Первая операция должна удовлетворять всем пяти свойствам, требуемым для абелевой группы. Вторая операция должна удовлетворять только первым двум свойствам абелевой группы. Кроме того, вторая операция должна быть распределена с помощью первой. Дистрибутивность означает, что для всех a, b и c элементов из R мы имеем и . Коммутативное кольцо — кольцо, в котором коммутативное свойство удовлетворено и для второй операции. Рисунок 5.4 показывает кольцо и коммутативное кольцо.

Дополнительное замечание

Кольцо включает две операции. Однако вторая операция может не соответствовать третьему и четвертому свойствам. Другими словами, первая операция — фактически операция пары операций, таких как сложение и вычитание; вторая операция может содержать единственную операцию, например умножение, но может не содержать деление.

Пример 5.11

Множество Z с двумя операциями — сложением и умножением — является коммутативным кольцом, которое обозначается . Сложение удовлетворяет всем пяти свойствам; умножение удовлетворяет только трем свойствам.

Рис. 5.4. Кольцо

Умножение дистрибутивно с помощью сложения. Например, . Хотя, мы можем выполнить на этом множестве сложение и вычитание и умножение, но не деление. Деление не может применяться в этой структуре, потому что оно приводит к элементу из другого множества. Результат деления 12 на 5 есть 2,4, и он не находится в заданном множестве.