Опубликован: 19.01.2010 | Уровень: специалист | Доступ: платный
Лекция 3:

Сравнения и матрицы

< Лекция 2 || Лекция 3: 1234 || Лекция 4 >

Детерминант

Детерминант — квадратная матрица A размера m \times m, обозначаемая как det (A) — скалярное вычисление рекурсивно, как это показано ниже:

  1. If\  m = 1,{\text{ }}\det (A) = {a_{11}}
  2. If\ m > 1,{\text{ }}\det (A) = \sum\limits_{i = 1 \ldots m}^{} {{{( - 1)}^{i + j}} \times {a_{ij}}}  \times \det ({A_{ij}})
где Aij получается из A удалением i -той строки j -того столбца.
Детерминант определяется только для квадратной матрицы.

Пример 3.5

Рисунок 3.6 показывает, как можно вычислить детерминант матрицы 2 \times 2, базируясь на детерминанте матрицы 1 \times 1 и используя приведенное выше рекурсивное определение. Пример доказывает, что когда m 1 или 2, это позволяет найти детерминант матрицы достаточно просто.

 Вычисление детерминанта матрицы  2 x 2

Рис. 3.6. Вычисление детерминанта матрицы 2 x 2

Пример 3.6

Рисунок 3.7 показывает вычисление детерминанта матрицы 3 \times 3.

 Вычисление детераминаната матрицы 3 x 3

Рис. 3.7. Вычисление детераминаната матрицы 3 x 3

Инверсии

Матрицы имеют аддитивные и мультипликативные инверсии.

Аддитивная инверсия

Аддитивная инверсия матрицы — это другая матрица B, такая, что A + B = 0. Другими словами, мы имеем элементы bij = –aij для всех значений i и j. Обычно аддитивная инверсия A обозначается как (-A).

Мультипликативная инверсия

Мультипликативная инверсия определена только для квадратных матриц. Мультипликативная инверсия квадратной матрицы A — квадратная матрица B, такая, что A \times B = B \times A = I. Обычно мультипликативная инверсия обозначается как A-1. Мультипликативная инверсия существует только, если det (A) имеет мультипликативную инверсию в соответствующем инверсном множестве. Если целое число не имеет мультипликативной инверсии в Z, то не существует мультипликативной инверсии матрицы в Z. Однако матрицы с реальными элементами имеют инверсии, только если \det \left( A \right) \ne 0.

Мультипликативные инверсии определены только для квадратных матриц.

Матрицы вычетов

Криптография использует матрицы вычетов: матрицы могут содержать все элементы из Zn. Все операции на матрицах вычетов выполняются так же, как и на матрицах целых чисел, за исключением того, что операции производятся в модульной арифметике. Есть одно интересное свойство: матрица вычетов имеет мультипликативную инверсию, если детерминант матрицы имеет мультипликативную инверсию в Zn. Другими словами, матрица вычета имеет мультипликативную инверсию, если НОД (det (A), n) = 1.

Пример 3.7

Рисунок 3.8 показывает матрицу вычетов в Zn и его мультипликативной инверсии A-1. Возьмем детерминант det (A) = 21, который имеет мультипликативную инверсию 5 в Z26. Обратите внимание, что когда мы умножаем эти две матрицы, то результат — единичная матрица мультипликативная матрица, в Z26.

 Матрица вычетов и мультипликативная инверсия

Рис. 3.8. Матрица вычетов и мультипликативная инверсия
Сравнение

Две матрицы, сравнимые по модулю n, записываются как A \equiv B(\bmod n), если они имеют одинаковое число строк и столбцов и все соответствующие элементы — сравнимые по модулю n. Другими словами, A \equiv B(\bmod n), если {a_{ij}} \equiv {b_{ij}}(\bmod n) для всех i и j.

< Лекция 2 || Лекция 3: 1234 || Лекция 4 >
Наталья Шульга
Наталья Шульга

Курс "информационная безопасность" .

Можно ли на него записаться на ПЕРЕПОДГОТОВКУ по данному курсу? Выдается ли диплом в бумажном варианте и высылается ли он по почте?

Дмитрий Плешаков
Дмитрий Плешаков

Здравствуйте. На данныйц момент я изучаю курс Математика криптографии и теория шифрования. Стоимость обучения на данном курсе указана 1 руб., но, при этом доступ к лекциям указан платный. Не могли бы Вы прояснить данный момент, и, если доступ платный, какова стоимость лекций и общая стоимость курса.

Заранее благодарен.

Сергей Христовский
Сергей Христовский
Россия, Омск
Александр Шумаев
Александр Шумаев
Россия