Моделирование в GPSS World

6.3. Решение прямой и обратной задач в системе моделирования

При имитационном моделировании с использованием специальных инструментальных средств, например, GPSS World, в общем случае решаются две задачи. Назовем их прямой и обратной.

Прямая задача заключается в нахождении оценки математического ожидания какого-либо параметра моделируемой системы при заданном времени ее функционирования.

Обратная задача состоит в определении оценки математического ожидания времени функционирования моделируемой системы, за которое какой-либо ее показатель достигает заданного значения.

Решение этих задач, особенно обратной задачи, имеет свои особенности. Рассмотрим эти особенности на примере.

6.3.1. Постановка прямой и обратной задач

Пример 6.1. Сервер обрабатывает запросы, поступающие с автоматизированных рабочих мест (АРМ) с интервалами, распределенными по показательному закону со средним значением T1= 2 мин. Вычислительная сложность запросов распределена по нормальному закону с математическим ожиданием S1 = 6 x 10⁷ оп и среднеквадратическим отклонением S2 = 2*10⁵ Производительность сервера Q = 6*10⁵ оп /c. В случае занятости сервера поступающий запрос теряется.

Сервер представляет собой однофазную систему массового обслуживания разомкнутого типа с отказами.

Прямая задача.Построить имитационную модель для определения оценки математического ожидания количества запросов (дальше - количества запросов), обработанных сервером за время функционирования T = 1 час, и оценки математического ожидания вероятности обработки запросов (дальше - вероятности обработки запросов).

Обратная задача.Построить имитационную модель для определения оценки математического ожидания времени (дальше - времени обработки), за которое будет обработано сервером N запросов, и оценки математического ожидания вероятности обработки запросов.

6.3.2. Решение прямой задачи

Рассчитаем количество прогонов, которые нужно выполнить в каждом наблюдении, т. е. проведем так называемое тактическое планирование эксперимента. Пусть результаты моделирования (вероятность обработки запросов) нужно получить с доверительной вероятностью и точностью . Расчет проведем для худшего случая, т. е. при вероятности так как до эксперимента неизвестно:

В модели для имитации источника запросов следует использовать блок GENERATE, для имитации сервера как одноканального устройства - блоки SEIZE и RELEASE, для имитации обработки запросов - блок ADVANCE.

В модели должны быть следующие элементы:

• задание исходных данных;
• описание арифметических выражений;
• сегмент имитации поступления и обработки запросов;
• сегмент задания времени моделирования и расчета результатов моделирования.

Серверу дадим имя Server. Для вывода из модели транзактов, имитирующих обработанные и потерянные запросы, используем блоки TERMINATE с метками ObrZap и PotZap соответственно. Для счета количества всех запросов используем метку KolZap.

6.3.2.1. Блок-диаграмма модели

Построим блок-диаграмму модели для решения прямой задачи, т. е. сегмент имитации поступления и обработки запросов и сегмент задания времени моделирования и расчета результатов моделирования (рис. 6.1).

Блок-диаграмма представляет собой набор стандартных блоков [5]. Она строится так. Из множества блоков выбирают нужные и далее выстраивают их в диаграмму для того, чтобы в процессе функционирования модели они как бы взаимодействовали друг с другом. Диаграмма сопровождается необходимыми комментариями. Использование блоков при построении моделей зависит от логических схем работы реальных систем, моделируемых на ЭВМ.

Теперь приступим к написанию программы модели.

Рис. 6.1. Блок-диаграмма модели

6.3.2.2. Программа модели

Для задания исходных данных используем переменные пользователя. Они задаются с помощью команды EQU. Переменным пользователя даны такие же имена, как и в постановке задачи, но добавлен знак подчеркивания. Например, T1_, S1_ и т. д. Время моделирования зададим переменной пользователя VrMod.

Арифметическая переменная для расчета времени обработки VrObr запроса на сервере:

VrObr          VARIABLE        (Normal(2,S1_#Koef,S2_#Koef))/Q_

Переменная пользователя Koef введена для удобства изменения (пропорционального изменения) характеристик нормального закона распределения, которому подчиняется вычислительная сложность запросов. Особенно целесообразно использование этой переменной при проведении экспериментов. Примеры применения приведены в "Организация компьютерных экспериментов" .

Вероятность обработки VerObr запросов на сервере будем определять как отношение количества обработанных N$ObrZap запросов к количеству всего поступивших N$KolZap запросов:

VerObr         VARIABLE        N$ObrZap/N$KolZap

В арифметическом выражении VerObr, например, N$ObrZap - системный числовой атрибут - количество транзактов, вошедших в блок с меткой ObrZap, а N$KolZap - количество транзактов, вошедших в блок с меткой KolZap.

Все необходимое для написания программы модели имеется. Напишем программу решения прямой задачи.

; Обработка запросов сервером. Прямая задача
; Задание исходных данных
T1_	EQU		120	; Средний интервал поступления запросов, с
S1_	EQU		60000000	; Среднее значение вычислительной сложности запросов, оп
S2_	EQU		200000	; Стандартное отклонение вычислительной сложности запросов, оп
Q_	EQU		600000	; Среднее значение производительности сервера, оп/с
Koef	EQU		1	; Коэффициент изменения характеристик нормального распределения
VrObr	VARIABLE	(Normal(2,(S1_#Koef),(S2_#Koef))/Q_
VerObr	VARIABLE	N$ObrZap/N$KolZap
VrMod	EQU	3600   ; Время моделирования, 1 ед. мод. времени = 1 с.
; Сегмент имитации обработки запросов
	GENERATE	(Exponential(1,0,T1_))	; Источник запросов
KolZap	GATE NU	Server,PotZap	; Свободен ли сервер? Если да, то
	SEIZE	Server	; занять сервер
	ADVANCE	V$VrObr ; Имитация обработки запроса
	RELEASE	Server	; Освободить сервер ObrZap	TERMINATE	; Обработанные запросы
PotZap	TERMINATE	; Потерянные запросы
; Сегмент задания времени моделирования и расчета результатов
	GENERATE	VrMod
	TEST L	X$Prog,TG1,Met1	; Если X$Prog < TG1,
	SAVEVALUE	Prog,TG1	; то X$Prog = TG1
Met1	TEST E	TG1,1,Met2	; Если TG1 = 1, то
	SAVEVALUE	VerObr, V$VerObr	; расчет и сохранение
в ячейке VerObr вероятности обработки запросов
	SAVEVALUE	Res,(INT(N$ObrZap/X$Prog))	; расчет и сохранение в ячейке Res количества обработанных запросов
Met2	TERMINATE	1
	START	1000,NP	; Прогоны до установившегося режима
	RESET	; Сброс накопленной статистики
	START	9604	; Количество прогонов модели

При расчете количества обработанных запросов

SAVEVALUE	Res,(INT(N$ObrZap/X$Prog))

в арифметическом выражении N$ObrZap/X$Prog используется число прогонов. В арифметическом выражении указано не явное число прогонов, а в виде содержимого ячейки X$Prog. Число прогонов заносится предварительно в эту ячейку по завершении первого прогона модели, но до того момента, когда из счетчика завершений TG1 будет вычтена первая единица. В этом случае арифметическое выражение не зависит от числа прогонов, которое может меняться на различных этапах создания и эксплуатации модели, в том числе и в зависимости от исходных данных, а также от точности и достоверности результатов моделирования. Поскольку количество обработанных запросов не может быть дробным числом, то для получения целого числа, записываемого в ячейку Res, используется процедура INT из встроенной библиотеки.

Для уменьшения машинного времени расчет искомых показателей производится не после каждого прогона, а после завершения последнего прогона, т. е. когда содержимое счетчика завершений будет равно единице ( TG1 = 1 ).

6.3.2.3. Ввод текста программы модели, исправление ошибок и проведение моделирования

1. Запустите GPSS World.
2. Закройте окно напоминания о необходимости обновления "Заметок". Откроется главное меню.
3. Для ввода текста GPSS World имеет текстовый редактор. Откройте окно текстового редактора. Для этого выберите в меню File / New и в появившемся меню выберите Model. Нажмите Ok.
4. Наберите текст программы модели, т. е. создайте объект "Модель". При вводе текста следует использовать клавишу [Tab]. Например, после набора Т1_ нужно нажать клавишу [Tab]. Интервалы табуляции установлены по умолчанию.
5. После ввода текста программы модели создайте объект "Процесс моделирования", представляющий собой оттранслированный объект "Модель". Для трансляции объекта "Модель" выберите Command / Creat e Simulation. По этой команде транслятор GPSS проверяет текст программы модели на наличие синтаксических ошибок.
6. При наличии синтаксических ошибок транслятор в окне JOURNAL выдаст список сообщений об ошибках трансляции. Перейдите к п. 7. При отсутствии ошибок в окне JOURNAL появится сообщение Model Translation Begun. Ready. Перейдите к п. 9.
7. Исправьте ошибки. Для поиска ошибок в тексте программы модели и их исправления используйте команду Search / Next Error. При первом выполнении этой команды курсор мыши помещается в строке текста модели с ошибкой. После исправления первой ошибки вновь используйте команду Search / Next Error и т.д. столько раз, сколько ошибок в тексте программы.
8. После исправления ошибок перейдите к п.5.
9. Сохраните модель. Для этого выберите в главном меню File / Save As. Дайте модели имя Модель процессов изготовления изделий и нажмите Ok.
10. Откликом в данной модели является вероятность обработки запросов сервером. Рассчитаем количество прогонов модели при среднеквадратическом отклонении для худшего случая при точности , и доверительной вероятности :
11. Запустите модель. Для этого в главном меню выберите Command / Start и в диалоговом окне вместо 1 наберите 9604. Нажмите Ok.
12. При наличии логических ошибок для их поиска в тексте программы модели и исправления используйте команду Search / Goto Line столько раз, сколько ошибок указано в окне JOURNAL. Там же (в окне JOURNAL ) указаны номера строк с ошибками.
13. При отсутствии логических ошибок в модели по окончании ее работы система GPSS World автоматически создает стандартный отчет, который появится в окне Report. В окне будут содержаться следующие данные:
    • об именах объектов модели;
    • блоках модели;
    • ОКУ и МКУ;
    • очередях;
    • сохраняемых величинах.

В результате решения прямой задачи получим, что за один час сервером будет обработано N=16 запросов, а вероятность обработки составит VerObr = 0,546. Если не использовать процедуру INT - выделения целого числа с отбрасыванием дробной части, будет обработано 16,345 запроса.

6.3.3. Решение обратной задачи

Для решения обратной задачи возьмем количество запросов, ожидаемое время обработки которых нужно определить, N =16 - результат решения прямой задачи.

Программа модели приведена ниже.

; Обработка запросов сервером. Обратная задача
; Задание исходных данных
T1_	EQU	120	 ; Средний интервал поступления запросов, с
S1_	EQU	60000000 ; Среднее значение вычислительной сложности запросов, оп
S2_	EQU	200000	 ; Стандартное отклонение вычислительной сложности запросов, оп
Q_	EQU	600000	 ; Среднее значение производительности сервера, оп/c
Koef	EQU	1	 ; Коэффициент изменения характеристик нормального распределения
Koef1	EQU	1	 ; Коэффициент учета дробной части
N_	EQU	16	 ; Количество запросов
; Сегмент имитации обработки запросов
	GENERATE	(Exponential(1,0,T1_))	; Источник запросов
KolZap	GATE NU	Server,PotZap   ; Свободен ли сервер? Если да, то
	SEIZE	Server	; занять сервер
	ADVANCE	((Normal(2,(S1_#Koef),(S2_#Koef)))/Q_) ; Имитация обработки запроса
	RELEASE	Server	; Освободить сервер
	TRANSFER	,ObrZap   ; Запрос отправляется в сегмент завершения моделирования
PotZap	TERMINATE	; Потерянные запросы
; Сегмент организации завершения моделирования и расчета результатов
ObrZap	TEST L	X$Prog,TG1,Met1	; Если X$Prog < TG1,
	SAVEVALUE	Prog,TG1	; то X$Prog = TG1
	SAVEVALUE	NZap,0 ; Обнуление счетчика обработанных запросов
Met1	SAVEVALUE	NZap+,1 ; Счет количества обработанных запросов
	TEST E	X$NZap,N_,Ter1 ; Если X$NZap = N_, то
	TEST E	TG1,1,Met2 ; если TG1 = 1, то
	SAVEVALUE	VerObr,(N$ObrZap/N$KolZap)
; расчет и сохранение в ячейке VerObr вероятности обработки запросов
	SAVEVALUE	TimeNZap,((AC1-X$AC2)/(X$Prog#Koef1))
;расчет и сохранение в ячейке TimeNZap времени обработки запросов
	SAVEVALUE	AC2,AC1 ; Запомнить абсолютное модельное время в ячейке АС2
Met2	SAVEVALUE	NZap,0 ; Обнуление счетчика обработанных запросов
	TERMINATE	1
Ter1	TERMINATE
	START	1000,NP   ; Прогоны до установившегося режима
	RESET	; Сброс накопленной статистики
	START	9604	; Количество прогонов модели

При решении обратной задачи один прогон определяется заданным количеством запросов N_, а не временем моделирования. Для этого организован счетчик обработанных запросов в виде сохраняемой ячейки NZap. Как только содержимое X$NZap = N_, из счетчика завершений вычитается единица.

Для расчета времени обработки заданного количества запросов используется арифметическое выражение (AC1-X$AC2)/X$Prog. В состав этого выражения входят абсолютное модельное время АС1 и опять количество прогонов. Запоминается количество прогонов также как и при решении прямой задачи.

Кроме этого, в арифметическом выражении есть сохраняемая ячейка X$AC2. Дело в том, что команда RESET не влияет на абсолютное модельное время АС1. Время же выполнения 1000 прогонов до установившегося режима не должно участвовать в расчете. Поэтому оно запоминается, а затем вычитается из абсолютного модельного времени выполнения 1000 + 9604 = 10604 прогонов. Количество прогонов до установившегося режима может быть и другим.

В результате моделирования получим время обработки 16 запросов 3523,658 с.

Фрагмент из отчета моделирования приведен ниже:

SAVEVALUE	RETRY	VALUE
PROG		0	9604.000
NZAP		0	0
VEROBR		0	0.546
TIMENZAP	0	3523.658

А почему не 3600 с? Ведь это же время моделирования было задано при решении прямой задачи. Потому что мы отбросили дробную часть, т. е. взяли 16, а не 16,345. Как же поступить, чтобы учесть и отброшенную дробную часть? Ведь в счетчике фиксируются обработанные запросы только целыми числами, а не дробными?

Для учета десятых долей дробной части зададим N_ = 163, т. е. увеличим в 10 раз. Это нужно учесть и в арифметическом выражении: ((AC1-X$AC2)/(X$Prog#Koef1)). Переменной пользователя Koef1 задается значение 10. По завершении моделирования получим 3586,504. Этот результат уже ближе к 3600.

Для учета сотых долей дробной части зададим N_ = 1634, а Koef1 = 100. Получим 3595,399 с.

Вероятность обработки запросов во всех случаях практически одна и та же, т. е. 0,546. Однако время моделирования существенно возрастает: 4 с, 39 с и 6 мин 29 c, т. е. в 10 и 100 раз соответственно.

В примере решения обратной задачи также показано, что арифметические выражения можно не описывать отдельно до блоковой части программы вместе с заданием исходных данных (как в модели прямой задачи), а сразу записывать в соответствующих блоках, заключив в скобки (скобки можно и не ставить, но лучше это делать).

Например (см. сегмент организации завершения моделирования и расчета результатов):

ADVANCE		((Normal(2,(S1_#Koef),(S2_#Koef)))/Q_)	; Розыгрыш времени обработки запроса
SAVEVALUE	VerObr,(N$ObrZap/N$KolZap))	; Расчет вероятности обработки запросов
SAVEVALUE	TimeNZap,((AC1-X$AC2)/(X$Prog#Koef1))	;Расчет среднего времени обработки запросов