Квантовый аналог NP: класс BQNP
Лемма 13.4. Пусть ,
— неотрицательные операторы,
,
— их нулевые подпространства, причем
. Пусть также ненулевые собственные числа
и
не меньше
. Тогда
![]() |
( 13.16) |
![\vt=\vt(\calL_1,\calL_2)](/sites/default/files/tex_cache/62ec4773e641392597dc049b9f784df4.png)
![\calL_1](/sites/default/files/tex_cache/d2f228490a19376323a4232db4605b0d.png)
![\calL_2](/sites/default/files/tex_cache/4036785a12e2ab0aba4e402478fdd919.png)
Обозначение (
— оператор,
— число) нужно понимать как сокращение от
. Другими словами, если
, то все собственные числа
не меньше
.
В нашем случае мы получим оценки и
для ненулевых собственных чисел
и
(об этом уже говорилось выше) и
для угла. Отсюда вытекает искомое неравенство
![H\double\geq c(1-\sqrt{\eps})L^{-3}.](/sites/default/files/tex_cache/10f0d6f18f4352eb7b799860bfd58b94.png)
Доказательство (леммы 13.4). Очевидно, что и
, поэтому достаточно доказать неравенство
. Оно, в свою очередь, эквивалентно такому неравенству:
![]() |
( 13.17) |
Пусть — собственный вектор оператора
, отвечающий собственному числу
. Тогда
![\Pi_{\calL_1}\ket\xi=u_1\ket{\eta_1},\quad\ \Pi_{\calL_2}\ket\xi=u_2\ket{\eta_2},\qquad u_1\ket{\eta_1}+u_2\ket{\eta_2}=\lambda\ket\xi,](/sites/default/files/tex_cache/bf44b4ad8a8186decf7b3a3f1290f45a.png)
![\ket{\eta_1}\in\calL_1](/sites/default/files/tex_cache/91c0d111efd5f50ca544fc49ac1f1a06.png)
![\ket{\eta_2}\in\calL_2](/sites/default/files/tex_cache/e5d498fb6798b6737fed3b6eb502cc08.png)
![u_1](/sites/default/files/tex_cache/d33def0eb4933f91b88eb4e784adaf05.png)
![u_2](/sites/default/files/tex_cache/89ae78be880a004aa5404ac874a01bff.png)
![\begin{multiline}
\lambda=\bra\xi\bigl(\Pi_{\calL_1}+\Pi_{\calL_2}\bigr)\ket\xi=u_1^2+u_2^2,\\
\lambda^2=\bigl(u_1\bra{\eta_1}+u_2\bra{\eta_2}\bigr)
\bigl(u_1\ket{\eta_1}+u_2\ket{\eta_2}\bigr)=
u_1^2+u_2^2+2u_1u_2\Re\langle\eta_1|\eta_2\rangle.
\end{multiline}](/sites/default/files/tex_cache/1f639666ac89be710da6d508d527eb4b.png)
![(1+x)\lambda-\lambda^2=x(u_1\pm u_2)^2\ge 0,\quad\ \text{где}\,\x=\bigl|\Re\langle\eta_1|\eta_2\rangle\bigr|.](/sites/default/files/tex_cache/d1706ddce4e4e58c4998e5de8ecaddba.png)
![\lambda\le 1+x\le 1+\cos\vt](/sites/default/files/tex_cache/0d3ad2e608cd1b020d38143a2829e1dd.png)
Теперь получим упомянутые выше оценки. Нулевые подпространства и
представляются в виде
![]() |
( 13.18) |
![]() |
( 13.19) |
![\ket\psi](/sites/default/files/tex_cache/183782dd3f17f359d0c9b213663cd764.png)
Для оценки
![]() |
( 13.20) |
![A_1](/sites/default/files/tex_cache/4be60c01260fad068dd84cb934d15c36.png)
Для оценки нужно найти первое положительное собственное число матрицы
. Собственные векторы и собственные числа
даются формулами
![\ket{\psi_k}=\alpha_k\sum_{j=0}^{L} \cos\Bigl(q_k\bigl(j+\frac{1}{2}\bigr)\Bigr)\,\ket{j},\qquad \lambda_k=1-\cos q_k,](/sites/default/files/tex_cache/5c4367cafe26daf29627ec73f7432cde.png)
![q_k=\pi k/(L+1)](/sites/default/files/tex_cache/affdbce9c40cce3281a98983b08b56ab.png)
![k=0,\dots,L](/sites/default/files/tex_cache/a08936527143df7473d562c98738f637.png)
![]() |
( 13.21) |
Наконец, нужно оценить угол между подпространствами и
. Будем оценивать квадрат косинуса угла
![]() |
( 13.22) |
![\ket{\eta_2}](/sites/default/files/tex_cache/414295094f7814fdd51285cf254ca6b2.png)
![\ket\xi\otimes\ket\psi](/sites/default/files/tex_cache/c78c8502e2c338c02d2b0a31319294ac.png)
![\calL_1](/sites/default/files/tex_cache/d2f228490a19376323a4232db4605b0d.png)
![(L-1)/(L+1)](/sites/default/files/tex_cache/d672be3d6c1d035e19868234bc04458a.png)
![\frac{1}{L+1}\bra\xi\bigl(\Pi_{\calK_1}+\Pi_{\calK_2}\bigr)\ket\xi \le \frac{1+\cos\phi}{L+1},](/sites/default/files/tex_cache/80b49ff747907aa2ee03a9f58f8b284d.png)
![\calK_1=\BB^{\otimes N}](/sites/default/files/tex_cache/bc7a18468e3634c8cef494429223899b.png)
![\calK_2=U^\dagger\left(\ket{1}\otimes\BB^{\otimes(N-1)}\right)](/sites/default/files/tex_cache/6f1052532fbfc642d66136cf6a3c6a48.png)
![\phi](/sites/default/files/tex_cache/1ed346930917426bc46d41e22cc525ec.png)
Величина равна максимальной вероятности получения ответа
исходной схемой; по условию она не больше, чем
. Получаем такую, продолжающую (13.22), оценку:
![\langle \eta_2|\Pi_{\calL_1}|\eta_2\rangle \le \frac{L-1}{L+1}+\frac{1+\sqrt{\eps}}{L+1} = 1-\frac{1-\sqrt{\eps}}{L+1}.](/sites/default/files/tex_cache/8ce6b2def41e6aa2b6934cdfd2f510c4.png)
![\sin^2\vt=1-\cos^2\vt\ge(1-\sqrt{\eps})/(L+1)](/sites/default/files/tex_cache/f8edfe8a4dc603fca2e93988d136589c.png)
Реализация счетчика. Мы написали замечательный гамильтониан, почти удовлетворяющий требуемым свойствам. У него есть только один недостаток — он лишь -локальный (в пространстве счетчика мы действуем на все q-биты).
Этот недостаток можно преодолеть, если вложить пространство счетчика в большее пространство. Возьмем q-битов, занумерованных от
до
. Искомое вложение
выглядит так:
![\ket{j} \mapsto \ket{% \underbrace{1,\dots, 1}_{\scriptstyle j}, \underbrace{0,\dots, 0}_{\scriptstyle L-j}}.](/sites/default/files/tex_cache/51a6488f9ef953599ef73c369255ec81.png)
![H](/sites/default/files/tex_cache/c1d9f50f86825a1a2302ec2449c17196.png)
![]() |
( 13.23) |
Если говорить точнее, мы заменили гамильтониан , действовавший на пространстве
, на новый гамильтониан
, определенный на большем пространстве
. Оператор
отображает подпространство
в себя и действует на нем так же, как
.
Теперь возникает новая проблема: что делать с лишними состояниями в расширенном пространстве счетчика? Мы справимся с этой проблемой, добавив еще одно слагаемое к гамильтониану :
![H_{\rm stab}=I_{\BB^{\otimes N}}\otimes \sum_{j=1}^{L-1} \Pi^{(0)}_j \Pi^{(1)}_{j+1}.](/sites/default/files/tex_cache/b01ddd8e8e380767071dd99d5eb5cdf7.png)
Нулевое подпространство оператора совпадает со старым рабочим пространством
, поэтому дополнительное слагаемое не меняет верхней оценки минимального собственного числа при ответе "да".
При ответе "нет" требуемую нижнюю оценку для собственных чисел оператора можно получить следующим образом. Оба слагаемых оставляют инвариантным подпространство
, поэтому можно оценивать независимо на
и его ортогональном дополнении
. На
имеем
и
, а на
—
и
. (Здесь мы пользуемся тем, что каждое из слагаемых гамильтониана, (13.8), (13.9) и (13.10), остается неотрицательным при замене (13.23)). В любом случае
![H_{\rm ext}+H_{\rm stab}\double\geq c(1-\sqrt{\eps})L^{-3}.](/sites/default/files/tex_cache/0a19438c8a9088abdf0e696fbd459c44.png)
Место BQNP среди других сложностных классов.
Прямо из определения следует, что класс BQNP содержит класс MA (а, значит, и BPP, и NP). Ничего более определенного о силе "недетерминированных" квантовых алгоритмов сказать пока нельзя1Предупреждение: в литературе встречается другое определение квантового недетерминированного вычисления, для которого получена полная характеризация в терминах классических сложностных классов (см. [46]).
Не слишком много можно сказать и об их "слабости".
Утверждение 13.5. .
Доказательство. Максимальная вероятность того, что подсказка Мерлина будет принята Артуром, равна масимальному собственному числу оператора (см. формулу (13.3)). Нам нужно вычислить эту величину с точностью
, (
).
Заметим, что . Для оценки максимального собственного числа будем использовать следующее предельное равенство:
![\ln\lambda_{\rm max}=\lim_{d\to\infty}\frac{\ln \Tr X^d}{d}.](/sites/default/files/tex_cache/05459ea0f32797a49a552d9a842e3e9b.png)
![\lambda_{\rm max}=\lambda_1\ge\lambda_2\ge\ldots\ge\lambda_{2^m}](/sites/default/files/tex_cache/da75eb717681f9bf7dd76d96e2237269.png)
![X](/sites/default/files/tex_cache/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png)
![m=\poly(n)](/sites/default/files/tex_cache/f9af6f0ea973cf3b439c385b989c55f3.png)
![\ln\lambda_{\rm max}\leq\frac{\ln \Tr X^d}{d}=\frac{\ln\sum\limits_{j=1}^{2^m}\lambda_j^d}{d} \leq \ln\lambda_{\rm max}+\frac{m}{d}\ln 2,](/sites/default/files/tex_cache/da411519b97cdbf0d39bce403c7c81bf.png)
![m](/sites/default/files/tex_cache/6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png)
![m](/sites/default/files/tex_cache/6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png)
Вычисление величины делается на полиномиальной памяти тем же способом, что и моделирование работы квантовой схемы.
Замечание 13.3. Полученный результат можно усилить: . Доказательство полностью аналогично решению задачи 8.3.
Замечание 13.4. Мы ограничились случаем игр Мерлина и Артура, которые продолжаются один раунд. Недавно было показано [45], что уже двух раундов такой квантовой игры достаточно, чтобы получить весь класс PSPACE. В классическом случае для достижения класса PSPACE требуется полиномиальное количество раундов [36, 37], причем в широких кругах узких специалистов господствует мнение, что никакого фиксированного количества раундов недостаточно.